Matemáticas contra el fraude

Al profesor de estadística de la Universidad de Chicago, Stephen Stigler, se le reconoce como autor de la llamada Ley de Stigler, formulada en 1980, según la cual «ningún descubrimiento científico recibe el nombre de quien lo hizo en primer lugar».

Este es precisamente el caso de la conocida Ley de Benford, a la que me referiré a continuación. Aunque lleva el nombre de Benford, fue descubierta varias décadas antes por el matemático y astrónomo canadiense Simon Newcomb (1835‑1909).

La historia es bastante interesante y surgió a partir de una observación que hizo Newcomb. En 1881, mientras consultaba una de esas tablas de logaritmos —los pequeños libros que se usaban antes de la aparición de las reglas de cálculo y, más tarde, de las calculadoras— notó algo curioso: las primeras páginas de la tabla que tenía entre las manos estaban mucho más usadas, sucias y desgastadas que las últimas. ¿A qué se debía aquello?

Tras un análisis cuidadoso, Newcomb concluyó que los dígitos iniciales de los números que empleaba para estudiar las observaciones astronómicas no aparecían con la misma frecuencia. El dígito 1 surgía con mayor frecuencia, seguido del 2, mientras que el 9 era el que menos aparecía al comienzo de los números. Así llegó a la sorprendente conclusión de que la posición de los dígitos iniciales no era equiprobable.

La pregunta que se formuló Newcomb fue sencilla pero profunda: ¿es más probable que un número empiece por el dígito 1 que por otro dígito, como el 7, por ejemplo? En principio, parecería lógico suponer que todos los dígitos tienen la misma probabilidad de ocupar la primera posición en un número elegido al azar. Sin embargo, Newcomb dedujo —sin ofrecer aún una explicación matemática formal— que el dígito inicial no nulo más frecuente es el 1, seguido del 2, luego del 3, y así sucesivamente hasta el 9.

Con base en esta observación, expresó que la probabilidad de que un número tenga como primera cifra no nula un dígito $C$ puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

$P = \log(1 + 1/C)$

Décadas después, en 1938, el físico Frank Benford retomó las observaciones de Newcomb y amplió notablemente su alcance. Reunió más de 20 000 datos provenientes de fuentes muy diversas —longitudes de ríos, constantes físicas, números de artículos periodísticos, direcciones, valores bursátiles— y comprobó que el patrón descrito por Newcomb se mantenía de manera sorprendente en múltiples contextos.

Esta curiosa propiedad se verifica para cualquier lista de números que se obtenga como resultado de datos tomados en forma aleatoria, por ejemplo se ha verificado con estadísticas deportivas, valores de impuestos, constantes y magnitudes físicas, longitudes de ríos y carreteras, poblaciones de países y ciudades, cifras económicas.

A partir de ese estudio sistemático, Benford publicó la propiedad que hoy lleva su nombre: la Ley de Benford, según la cual los dígitos iniciales de muchos conjuntos de datos reales no se distribuyen de forma uniforme, sino que siguen la pauta logarítmica descubierta por Newcomb.

Paradójicamente, y en perfecta sintonía con la Ley de Stigler, el crédito histórico terminó asociado al segundo investigador, no al primero.

Los conjuntos de datos que no se ajustan a la Ley de Benford suelen ser aquellos que provienen de distribuciones uniformes o normales, en los que los dígitos iniciales están determinados por reglas externas. Tal es el caso de los números de loterías, las listas telefónicas, los números de identidad y, en general, cualquier secuencia numérica construida artificialmente o restringida por formatos fijos.

Pero, de manera sorprendente, se han descubierto aplicaciones insospechadas de la Ley de Benford que han motivado una intensa actividad investigativa en las ciencias de la computación, un campo particularmente dinámico en la actualidad y, en especial, en áreas como la criptografía y el análisis algorítmico de datos.

Además, la ley ha encontrado usos muy efectivos en la detección de fraudes, tanto en datos electorales como en auditorías fiscales, donde las desviaciones respecto del patrón de Benford pueden revelar manipulaciones o irregularidades en los registros numéricos.

Uno de los usos más frecuentes consiste en aplicar la ley a través de pruebas repetidas sobre conjuntos de datos similares, con el fin de verificar si su distribución de dígitos iniciales se ajusta al patrón esperado. Cuando la ley no se cumple o aparece una desviación significativa, es razonable sospechar que existe alguna anomalía o que ciertas cifras han sido manipuladas, lo que permite identificar rápidamente los datos que requieren una revisión rigurosa.

Un ejemplo ilustrativo aparece en el ámbito electoral: si en los resultados de unos comicios la distribución de los primeros dígitos se aparta de manera notable de la Ley de Benford, resulta prudente realizar un reconteo de votos o una auditoría detallada para confirmar la validez de los resultados.

Una de las aplicaciones más importantes de la Ley de Benford se encuentra en la detección de fraudes financieros. En 1992 se demostró que los datos contables y tributarios reales se ajustan notablemente bien al patrón de Benford, lo que permite identificar cambios, alteraciones o inconsistencias en declaraciones de impuestos y en las cifras que las empresas reportan periódicamente.

La presencia de dígitos iniciales con frecuencias que violan la Ley de Benford no implica necesariamente la existencia de fraude, pero sí constituye un indicio sólido de que algo no encaja y de que conviene realizar una investigación más detallada. En auditorías modernas, esta desviación funciona como una señal temprana que orienta al revisor hacia los segmentos de datos que requieren especial atención.

En tiempos recientes, la Ley de Benford ha encontrado una aplicación especialmente relevante en el análisis de las cifras asociadas al comportamiento del COVID‑19. Diversos estudios han mostrado que tanto el número de contagios como el de muertes atribuidas a la pandemia siguen una distribución tal que las frecuencias de los dígitos iniciales reportados por distintos países se ajustan de manera sorprendentemente precisa al patrón previsto por esta ley.

En la página web coronavirus.app/map puede consultarse, entre otros ejemplos, el ajuste entre las frecuencias de los casos de contagio y de las muertes reportadas por COVID‑19 en Colombia y las distribuciones esperadas según la Ley de Benford.

Este tipo de análisis resulta útil para evaluar la consistencia estadística de los datos epidemiológicos y para detectar posibles irregularidades en los reportes oficiales. Cuando las cifras se alinean con la distribución de Benford, ello sugiere que reflejan un comportamiento natural del fenómeno; por el contrario, desviaciones significativas pueden señalar errores de registro o incluso manipulación, y constituyen un indicio que amerita una revisión más detallada.

Así, la Ley de Benford se convierte en una herramienta estadística de gran utilidad para analizar la evolución de una epidemia y anticipar comportamientos anómalos en los datos. Su capacidad para detectar desviaciones en las cifras reportadas permite identificar a tiempo inconsistencias que podrían afectar la interpretación del avance del coronavirus en una población. De este modo, el uso adecuado de la ley contribuye tanto a predecir tendencias como a tomar medidas de control oportunas, apoyando la toma de decisiones en contextos donde la calidad y fiabilidad de la información son esenciales.

La historia de la Ley de Benford, desde la observación casual de Newcomb hasta sus aplicaciones contemporáneas en la detección de fraudes y el análisis epidemiológico, revela cómo una simple curiosidad matemática puede transformarse en una herramienta poderosa para comprender la realidad. Más allá de su aparente sencillez, esta ley nos recuerda que los números —cuando se observan con atención— pueden revelar patrones ocultos y advertirnos sobre irregularidades que escapan a la mirada superficial. En última instancia, la Ley de Benford es una prueba de que las matemáticas no solo describen el mundo, sino que también lo protegen.

@MantillaIgnacio