La conjetura de Euler y el artículo más corto de la historia

Indudablemente, el matemático suizo Leonhard Euler (1707–1783), reconocido como el más prolífico de la historia, realizó aportes trascendentales en múltiples ramas y resolvió problemas de enorme profundidad. También formuló otros que llevan ese sello de genialidad tan característico de su obra. Sin embargo, en esa misma labor de proponer nuevos desafíos, su intuición no siempre lo condujo por el camino acertado.

Un ejemplo de ello es la célebre conjetura de Euler, formulada en 1769, según la cual, para todo $n>2$:

«No existen $n-1$ números cuyas potencias $n$-ésimas sumen otra potencia $n$-ésima».

De ser cierta, esta afirmación implicaría, entre otras cosas, que tres números elevados a la cuarta potencia no pueden sumar otro número también elevado a la cuarta potencia. En otras palabras, la ecuación

$a^4 + b^4 + c^4 = d^4$

no tendría soluciones enteras positivas.

Y del mismo modo, tampoco las tendría, por ejemplo, la ecuación

$a_1^7 + a_2^7 + a_3^7 + a_4^7 + a_5^7 + a_6^7 = b^7,$

pues la conjetura sostiene que no existen $n-1$ potencias $n$-ésimas que sumen otra potencia $n$-ésima.

Esta conjetura de Euler parece inspirada en el último teorema de Fermat, que afirma que la ecuación

$x^n + y^n = z^n$

no admite soluciones enteras positivas cuando $n > 2$. La idea de Euler extiende, en cierto sentido, este fenómeno: si dos potencias $n$-ésimas no pueden sumar otra potencia $n$-ésima, quizá tampoco puedan hacerlo $n-1$ de ellas.

Pero, a diferencia del último teorema de Fermat, la conjetura de Euler resultó ser falsa. En 1966, Lander y Parkin hallaron un contraejemplo que derriba por completo su afirmación: un solo caso basta para invalidarla, y este es tan sorprendente como elegante —cuatro quintas potencias que suman exactamente otra quinta potencia:

$27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5.$

Es decir, la conjetura es falsa, ya que se ha encontrado un contraejemplo para un cierto valor de $n$, concretamente $n=5$. Este ejemplo contradice directamente la formulación de Euler, según la cual “se requieren al menos $n$ potencias $n$-ésimas para obtener una suma que sea otra potencia $n$-ésima cuando $n > 2$”.

Pero esta conjetura —y el contraejemplo encontrado por Lander y Parkin— tiene un ingrediente adicional que la hace aún más fascinante. El artículo donde se publica el resultado que demuestra que la conjetura de Euler es falsa es considerado el artículo más corto aparecido en una revista matemática de alto prestigio: ocupa un solo párrafo, compuesto por dos frases, y contiene una única referencia bibliográfica.

Esta es la imagen de página de la prestigiosa revista “Bulletin of the American Mathematical Society. 72: 1079, 1966) en la que aparece la publicación:

Pero continuando con la exploración de la Conjetura de Euler, podría pensarse que aún sería válida para $n=4$. Sin embargo en 1986, Noam Elkies se encargó de refutarla también para este caso, al descubrir el siguiente contraejemplo mediante un método ideado por él mismo:

$2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4$.

Posteriormente, en 1988, Roger Frye, utilizando las técnicas sugeridas por Elkies, encontró el contraejemplo más pequeño para $n=4$:

$95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4.$

Estos sorprendentes contraejemplos revelan la riqueza y la complejidad de las ecuaciones diofánticas. No solo resuelven una conjetura formulada hace más de dos siglos, sino que también muestran la vitalidad de la matemática: una disciplina donde las ideas más brillantes pueden afianzarse o refutarse con un único ejemplo fruto de nuevas ideas, técnicas y herramientas que amplían su desarrollo.

@MantillaIgnacio