Números malvados: un número malvado es un número natural cuya expansión binaria (en base2) contiene un número par de unos. Por ejemplo:

15 = 1 · 2³ + 1 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰

entonces 15₁₀ = 1111₂ por lo tanto 15 es un número malvado. Los primeros números malvados son:

3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 33, …

Los números que no son malvados, es decir cuya expansión binaria contiene un número impar de unos, se denominan números odiosos.

Números de Cunningham: el nombre es en honor al matemático británico-indio Allan J. C. Cunninghamun. Los números de Cunningham son números naturales de la forma 

bⁿ ± 1

donde b no puede ser una potencia perfecta. En el caso n = 2 los números de Cunningham son de la forma b² ± 1, donde b no puede ser un cuadrado perfecto. A manera de ejemplo, el número 10 es un número de Cunningham porque se puede escribir como 

3² + 1 

y 3 no es un cuadrado perfecto. 

También el número 9 es de Cunningham porque puede escribirse como 

2³ + 1

y 2 no es un cubo perfecto. Los primeros números de Cunningham son: 

3, 5, 7, 8, 9, 10, 15, 17, 24, 26, 28, 31, 33, 35, …

Hay infinitos números de Cunningham pares e impares. Una explicacion sencilla es porque tanto los números de la forma 6ⁿ ± 1 como los números de la forma 5ⁿ ± 1 son números de Cunningham. Los primeros siempre son impares y los segundos, todos son pares.

Números abundantes: un número abundante es un número natural para el cual la suma de sus divisores propios; es decir los divisores diferentes al mismo número, es mayor que el propio número. El número 12 es el primer número abundante: en efecto, sus divisores propios son1, 2, 3, 4 y 6 que suman 16 > 12. 

La cantidad en que la suma excede al número se denomina abundancia del número; o sea que el número 12 tiene una abundancia de 4.

Los primeros números abundantes son: 

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, …

Números asombrosos: un número asombroso es un número natural que tiene exactamente tres divisores distintos. Así por ejemplo 4 es asombroso, sus divisores son 1, 2, 4. Los números asombrosos tienen exactamente un divisor diferente a 1 y al mismo número, por esta razón un número primo no puede ser asombroso. Los números asombrosos son entonces todos los cuadrados de los números primos:

2² = 4 (divisores: 1, 2, 4)

3² = 9 (divisores: 1, 3, 9)

5² = 25 (divisores: 1, 5, 25)

7² = 49 (divisores: 1, 7, 49)

11² = 121 (divisores: 1, 11, 121)

…

Números intocables: un número intocable es un entero positivo que no puede expresarse como la suma de todos los divisores propios de ningún entero positivo. Así por ejemplo 4 no es intocable porque puede escribirse como la suma de los divisores propios de 9, ya que 4 = 1 + 3; pero 5 sí es intocable porque la única forma de escribirlo como suma de distintos enteros positivos que incluyan al 1 es:

5 = 4 + 1

y estos dos números, 1 y 4, no pueden ser todos los divisores propios de algún entero positivo, ya que si 4 es divisor, también lo es 2.

Los primeros números intocables son:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, …

Números desnudos: un número desnudo es un entero positivo que es divisible entre cada uno de sus dígitos. Por ejemplo, 12 es un número desnudo porque es divisible entre 1 y 2. 

Los primeros números desnudos son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 22, …

Números ondulados: un número ondulado es un entero positivo de tres o más cifras, de la forma «ababab… ». Por ejemplo, los números 313, 79797 son números ondulados.

Números vampiros: un número vampiro es un entero positivo que tiene un número par de dígitos y que puede factorizarse como producto de dos números naturales, cada uno con la mitad de dígitos del número original y que no terminen ambos en cero, donde los dos factores contienen exactamente todos los dígitos del número original, en cualquier orden. Por ejemplo 1435 es un número vampiro porque:

1435 = 35 × 41.

Y aquí aparece un concepto muy divertido: los colmillos de los números vampiros son los dos números que forman la factorización. En el ejemplo anterior, 35 y 41 son los colmillos de 1435.

Un número vampiro puede tener distintos pares de colmillos, por ejemplo:

125460 = 204 x 615 = 246 x 510.

Los primeros números vampiros y sus respectivos colmillos son 

1260 = 21 × 60

1395 = 15 × 93

1435 = 35 × 41

1530 = 30 × 51

1827 = 21 × 87

2187 = 27 × 81

6880 = 80 × 86

102510 = 201 × 510

104260 = 260 × 401

105210 = 210 × 50

Y continúan los siguientes vampiros:

104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, …

Números magnánimos: un número magnánimo es un entero positivo tal que las sumas obtenidas al insertar un «+» entre sus dígitos, en cualquier posición, arroja números primos. Por ejemplo, 4001 es un número magnánimo porque los números

4 +001 = 5, 40 + 01 = 41 y 400 + 1 = 401

son primos.

Los primeros números magnánimos son:

2, 3, 5, 7, 11, 12, 14, 16, 20, 21, 23, 25, 29, 30, 32, 34, 38, 41, 43, 47, 49, 50, 52, 56, 58, 61, …

Como puede observarse, los números con nombre propio son muchos y muy diversos y divertidos; el descubrimiento de cada nuevo conjunto nos invita a realizar un ejercicio propio de nuestra curiosidad, que es la madre de la investigación científica.

Me atrevería a afirmar que la aparición de cada nuevo conjunto de números es el resultado de un intento de resolver algún problema de matemáticas. Aún tengo en mi colección muchos otros conjuntos de números con nombre propio que harán parte de un futuro artículo.

@MantillaIgancio

Y así se pasaba todo el día, coleccionando roces de manos y aguantando las ganas de llorar. Hasta que un día, lluvioso por cierto aunque nada tenga que ver, lo hallaron muerto.

Después de hablarlo con mi amigo Navidad y de recibir su reprimenda por no haberme interesado en el tema desde el principio, al menos por simple provecho literario, decidí iniciar la investigación del hecho. Y a estas consideraciones me ha llevado.

Lo llamaré José, pues nunca supimos su nombre. Fue encontrado entre bolsas de basura. Muerto por estrangulamiento, con fuertes golpes en la cabeza y totalmente desnudo. Como es habitual no hay testigos. Lo encontraron los barrenderos del lugar, pero aseguran no haber visto nada. Acostumbrado a esto ni siquiera insistí. Revisé el cuerpo. Parecía estar vivo, sus ojos aun brillaban. Le miré las manos, los pies. Busqué heridas con objetos contundentes: nada. Sólo hallé golpes en la cabeza, cuello destrozado y un número escrito en su pierna derecha: seis mil veinticinco. Esto último me dio en qué pensar. 

Los análisis fueron sorprendentes. Al parecer José se había asfixiado así mismo: se encontraron indicios en sus manos. ¿Había podido mantener su fuerza aún estando sin aire? Sin embargo, los signos de estrangulamiento encajaban perfectamente con el ángulo, la altura y muchas otras cosas que no es menester mencionar aquí. Pero esto poco me importó (con el perdón de Navidad). Seguía pensando en el misterioso número en el que, creía, se encontraba la explicación del misterio, que entre otras cosas ya se había resuelto. 

Aunque me lo explicaran desde el principio, que mira las marcas del cuello, que los golpes se deben a la caída que siguió al estrangulamiento, que la ropa se la habrían robado… yo decía: ¿Y el número? Y ellos callaban un momento antes de volver a repetir la misma historia. 

Esa noche, mientras salía del trabajo caminando, no sobre el suelo sino sobre mis furtivos pensamientos, me cruce con un compañero. Este se despidió estrechándome la mano y yo, sin razón, pensé en un número. Luego, llegando a casa, sin quererlo en verdad, toqué violentamente la mano de un desconocido que se disponía llamar al ascensor, me disculpé y pensé en otro número. Ya solo, comprendí cual era el significado de aquella cifra que José llevaba; y escribí en mi pierna, donde sabia que nadie lo iba a notar, el número dos, iniciando así mi propia cuenta.

Publicado origninalmente el 03 de octubre de 2010 en El Magazín de El Espectador

Excluyendo esos conjuntos de primos antes mencionados (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/los-nombres-de-los-numeros/) y sin seguir un orden especial, empiezo por presentarles los

Números triangulares: un número triangular es el que se obtiene al sumar los primeros números enteros positivos consecutivos. Se pueden disponer formando un triángulo equilátero como indica la figura 

así que los primeros números triangulares son:  1, 3, 6, 10, 15, 2, 28, 36, 45, 55, …

y la fórmula general para determinarlos es:

Números Oblongos: un número oblongo es el que resulta de multiplicar dos números naturales consecutivos. Estos números también se conocen como números rectangulares o números prónicos. La fórmula general de los números oblongos es:

Números corteses: un número cortés es el que puede escribirse como la suma de dos o más números naturales consecutivos. Y si un número natural no es cortés, se dice que es un número descortés. Estos son los primeros números corteses:

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, … 

Los números corteses no tienen una expresión única, pueden obtenerse en forma diferente como suma de dos o más naturales consecutivos; así por ejemplo:

15 = 7 + 8

15 = 4 + 5 + 6

Los números descorteses son exactamente las potencias positivas de dos y los números corteses son entonces todos los números naturales que no son potencias de dos.

Números odiosos: un número odioso es un número natural cuya expresión binaria (en base 2) contiene un número impar de unos. Por ejemplo, 13₁₀ = 1011₂ es un número odioso. Los primeros números odiosos son:

1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, …

Números felices: un número feliz es un número natural que cumple la siguiente regla: si sumamos los cuadrados de sus dígitos y seguimos ese mismo proceso con los resultados obtenidos, el resultado final es 1. Por ejemplo, el número 365 es un número feliz ya que:

3² + 6² +5² = 70

7² + 0² = 49

4² + 9² = 97

9² + 7² = 130

1² + 3² + 0² = 10

1² + 0² = 1.

Los números que no son felices son los números infelices y al seguir el procedimiento anterior se cae en un bucle que no conduce a 1; por ejemplo 2025 es un número infeliz porque:

2² + 2² + 5² = 33

3² + 3² = 18

1² + 8² = 65

6² + 5² = 61

6² + 1² = 37        (*)

3² + 7² = 58

5² + 8² = 89

8² + 9² = 145

1² + 4² + 5² = 42

4² + 2² = 20

2² + 0² = 2

2² = 4

4² = 16 

1² + 6² = 37    

A partir del último valor, que coincide con el señalado con (*), se va a repetir el mismo bucle siempre que obtengamos 37 y es imposible entonces llegar al número 1.

Los primeros números felices son: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100.

Números colombianos: para definir un número colombiano primero les cuento cuáles son los números que no lo son, mediante un sencillo ejemplo: si sumamos el número 12 con sus cifras obtenemos:

12 + 1 + 2 = 15

esto significa que 15 no es un número colombiano. 

Un número colombiano es un entero positivo que no puede escribirse como la suma de otro entero positivo con sus cifras. Por ejemplo, el número 20 es colombiano porque no existe un entero que al sumarle sus cifras nos dé como resultado 20. Los primeros números colombianos, menores que 100 son: 

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97.

Entre 100 y 200 hay sólo 10 números colombianos:

108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198.

El origen del nombre, está en un artículo publicado en 1974, en la revista The American Mathematical Monthly Vol. 81, N. 4, en el que el profesor de la Universidad de Winsconsin, D. W. Bange, da la solución a un problema planteado un año antes por el matemático colombiano Bernardo Recamán Santos, consistente en demostrar que en cualquier base existen infinitos números que él llamó “decimales colombianos”, como los descritos anteriormente en base 10.

Números narcisistas: un número narcisista es un número natural que puede expresarse como la suma de las potencias de sus cifras elevadas a la cantidad de cifras que tiene el número. Por ejemplo, el número 1634 es un número narcisista, puesto que, teniendo 4 cifras, que son 1, 6, 3 y 4, se cumple que:

1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256 = 1634.

Su nombre seguramente alude a lo mucho que se quieren a sí mismos ya que parecen estar enamorados de su propia imagen. 

Los números narcisistas menores que 100.000 son: 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727 y 93084. 

Números prácticos: un número práctico es un número natural tal que todos los enteros positivos menores que él, pueden representarse como sumas de distintos divisores suyos. Por ejemplo, el número 12 es un número práctico porque con sumas de algunos de sus divisores {1, 2, 3, 4, 6} se pueden obtener todos los números del 1 al 11. En efecto:

1 = 1,

2 = 2,

3 = 3,

4 = 4,

5 = 3 + 2, 

7 = 6 + 1, 

8 = 6 + 2, 

9 = 6 + 3, 

10 = 6 + 3 + 1 y 

11 = 6 + 3 + 2.

Los primeros números prácticos son:

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, …

Como lo mencioné al principio, son tantos los números con nombre propio, que amerita preparar otro artículo para presentarles más números como los expuestos hasta aquí. Estos números se usan generalmente para propósitos criptográficos y también conviene aquí reconocer, como lo expresa el matemático británico G. H. Hardy (1877–1947) en su libro Apología de un matemático, en referencia a algunos de estos conjuntos, que se trata de hechos excepcionales, ideales para acertijos y propósitos similares, que contribuyen a entretener a los aficionados a las matemáticas.

Observen que hay números, como el 7, que es colombiano, feliz, cortés, odioso y narcisista, pero no es práctico. Seguramente los lectores conocerán algún compatriota con estas características. 

@MantillaIgnacio

Si nos detenemos en la forma en que deben expresarse los números decimales, encontramos que el Diccionario panhispánico de dudas publicado en 2005 dice: «En las expresiones numéricas escritas con cifras, la normativa internacional establece el uso de la coma para separar la parte entera de la parte decimal». No obstante, la Ortografía de la lengua española complementa aclarando que: «Con el fin de promover un proceso tendente hacia la unificación, se recomienda el uso del punto como signo separador de los decimales».

La verdad es que sobre el separador decimal no existe un consenso internacional y aunque las Academias de la Lengua intentan uniformidad, otros actores como Icontec o desarrolladores de software imponen sus propios usos; es así como en algunos lenguajes de programación o en herramientas de uso frecuente como Excel, la coma (,) y el punto (.) pueden tener una diferencia que altera completamente el resultado de las operaciones y de las tablas con datos numéricos.

Otras notaciones diferentes al punto (.) o la coma (,) como separadores decimales son bastante caprichosas y comunes, como es por ejemplo el uso del guión (-), para citar solo algunos, sobre el cual se acostumbra escribir los decimales de los precios en tamaño más pequeño, anteponiendo un punto, una coma o nada.

En matemáticas el uso de la coma (,) para los decimales puede llevar a confusiones. En efecto, cuando se escribe el intervalo cerrado con extremos 3,4 y 5 tenemos como resultado:

[3,4, 5], 

que podría interpretarse, si no se observan cuidadosamente los espacios, como el intervalo de extremos 3 y 4,5, o sea

[3, 4,5] 

o podría significar el vector de componentes 3, 4 y 5. 

El uso del punto (.) en cambio, da una mayor claridad y evita una errónea interpretación: 

[3.4, 5].

En el mundo de la ciencia tampoco hay consenso siempre, ni siquiera en un mismo país; así por ejemplo el Consejo Superior de Investigaciones Científicas de España recomienda usar el punto (.), pero las asociaciones de profesores de matemáticas recomiendan utilizar la coma (,) en sus publicaciones.

Justamente el pasado 28 de abril se publicó en España un Real Decreto, el 493/2020, para establecer las unidades legales de medida, acordes con las disposiciones de la Unión Europea. Me llamó poderosamente la atención el capítulo III, que me motivó a escribir este artículo. En él se puede leer:

«El símbolo del separador decimal puede ser la coma o el punto, en la propia línea de escritura. Preferiblemente se utilizará la coma, siempre que la tecnología y las aplicaciones donde se utilicen lo permitan. Si el número está comprendido entre +1 y -1, el separador decimal va siempre precedido de cero».

Me parece que ese texto es una una buena forma de flexibilizar la escritura de los decimales; no obstante, en la misma disposición, con referencia a la manera como deben escribirse los números en general, agrega:

«2.9 Los números con muchas cifras pueden repartirse en grupos de tres cifras separadas por un espacio, a fin de facilitar la lectura. Estos grupos no se separan nunca por puntos ni por comas. Sin embargo, cuando no hay más que cuatro cifras delante o detrás del separador decimal, es usual no insertar un espacio y dejar una única cifra suelta. En los números de una tabla, el formato no debe variar en una misma columna».

El uso del espacio, frente al uso internacional del punto (.), para separar grupos de tres cifras puede tener ventajas; en efecto, un número con tres cifras decimales como 21.456 (o 21,456) podría interpretarse como el entero 21 456, sin embargo el uso frecuente va imponiendo la regla en cada país y lo correcto no siempre es lo más utilizado.

En Colombia es sorprendente la variedad de usos que estamos obligados a aceptar. Me parece fantástico encontrar vinos a 36 pesos, pero la emoción se acaba en la caja, al ir a pagar.

Cuando se hace una transferencia bancaria, por ejemplo, si la cantidad en pesos es de 1 234 721 (un millón doscientos treinta y cuatro mil setecientos veintiuno), debemos escribir sin dejar espacios 1234721, pero en el comprobante de la transferencia se expresa:

“Valor transferido $1,234,721.00”. 

Y la misma entidad bancaria me informa el saldo disponible así:

“$6.717.353,99 saldo disponible”.

¡Vaya incoherencia!

La Secretaría de Hacienda me expide el recibo de pago de impuesto del vehículo en el que se lee al final:

Total con aporte voluntario 472,000.

Lo correcto, pero poco común, será escribir entonces números como

2 567 841,75

o con más cifras decimales, tales como:

3,042 675 83.

No parece muy natural, aunque es lo correcto, encontrar cifras decimales separadas en grupos de tres, en cantidades tales como:  

6 304 575,626 070 15 × 10²³,

que después de la coma (,) o el punto (.) se separan en grupos de tres, formados de izquierda a derecha y antes del separador decimal, también en grupos de tres, pero ahora formados de derecha a izquierda.

Aun cuando no existe un consenso universal sobre cómo deben escribirse los números, sí deberíamos procurar al menos cierta uniformidad en el país. ¿Y usted cómo los escribe?

@MantillaIgnacio

Los nombres de las personas, de las ciudades o de las teorías son parte esencial del lenguaje y son muchos los nombres que dan información inmediata, como si contuvieran una definición.

En el caso de las matemáticas los nombres aportan indicios sobre las características del elemento nombrado, sobre la pertenencia a un grupo con propiedades comunes o sobre el origen o autoría del concepto o del objeto. Teorema de Pitágoras, por ejemplo, es ya un nombre propio que con el “apellido” Pitágoras nos indica quién patentó una  verdad que se demostró y que por lo tanto es irrefutable.

Con los conjuntos más importantes de números sucede algo parecido, aun cuando sus nombres obedecen más a una clasificación universalmente impuesta y aceptada, es sorprendente, sin embargo, la cantidad de nombres propios existentes hoy en día para distinguir conjuntos de números que comparten algunas propiedades. 

Los lectores están familiarizados o han oído mencionar seguramente algunos: números naturales, enteros, racionales, irracionales, trascendentes, complejos, algebraicos, binarios, primos, pares, de Fibonacci. Pero es poco probable que hayan oído hablar de números abundantes, automorfos, amigos, de Bernoulli, de Cayley, deficientes, de Descartes, extravagantes, de Fermat, de Euler, felices, multifactoriales, narcisistas, normales, palíndromos, prácticos, amigos, sublimes, de Stirling, vampiros, novios, primos gemelos, infelices o tristes, de Mersenne, perfectos o números cíclicos, entre otros.

En esta ocasión quiero presentarles un divertido conjunto de estos últimos, los llamados Números Felices.

Lo primero que hay que decir es que la felicidad es una característica, que en el caso de los números solo se da entre los números naturales, dicho más precisamente, los números felices son un subconjunto de los números naturales; es decir un subconjunto del conjunto infinito de números  

N = {0, 1, 2, 3, 4,…} 

que, de la misma forma en que se puede dividir entre los impares y los pares, también puede repartirse en dos grupos: los números felices y los números tristes (o infelices).  

Para saber si un número es feliz se suman los cuadrados de sus dígitos y con el resultado se repite lo mismo hasta que se obtenga el número 1 o se caiga en un bucle distinto. Así por ejemplo, el número 365 es un número feliz ya que:

3² + 6² +5² = 70

7² + 0² = 49

4² + 9² = 97

9² + 7² = 130

1² + 3² + 0² = 10

1² + 0² = 1

En cambio el número 2020 es un número triste (como debía ser este año infeliz de pandemia) porque:

2² + 0² + 2² + 0² = 8

8² = 64

6² + 4² = 52

5² + 2² = 29

2² + 9² = 85

8² + 5² = 89.  (*)

8² + 9² = 145

1² + 4² + 5² = 42

4² + 2² = 20

2² + 0² = 4

4² = 16

1² + 6² = 37

3² + 7² = 58

5² + 8² = 89 (*)

El bucle se va a repetir siempre que obtengamos 89, como ocurre entre las líneas marcadas con (*).

Claramente todos los números que aparecen a la derecha de la igualdad, en las comprobaciones de la felicidad, serán tristes o felices, como el inicial. 

Los únicos números felices hasta 100 son: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97 y 100. A medida que aumenta el número de cifras es menos probable encontrar números felices; con números de tres dígitos, por ejemplo, apenas un 14% son números felices; sin embargo el conjunto de números felices contiene infinitos elementos: basta pensar en los números de la forma 10 elevado a la n, que son todos felices. Los dos primeros números felices consecutivos son 31 y 32 y curiosamente hay un trío de números felices consecutivos de 4 cifras: 1880, 1881 y 1882.

Una propiedad de los números felices, fácil de demostrar, es que cualquier número obtenido como permutación de sus cifras es también un número feliz. “La felicidad no se consigue permutando las cifras de los infelices”.

Si observamos la lista de los primeros números felices podemos deducir que hay números primos felices; no obstante hay una pregunta abierta y es: ¿hay infinitos números primos que sean también felices?

A esta altura algunos lectores ya estarán formulando la pregunta de siempre ¿y eso para qué sirve? y no faltará quien se pregunte ¿y eso da plata? No, para nada. Sólo brinda entretención y da felicidad a quienes disfrutamos de la belleza de las matemáticas sin preocuparnos por su utilidad inmediata; pero podemos buscar aplicaciones. A mí se me ocurre proponer que habiendo demostrado que el número 2020 es infeliz y sabiendo que 70 es un número feliz, el confinamiento obligatorio en la cuarentena para los mayores de 70 hasta agosto 31 debería permitir su libre desplazamiento a partir de hoy, al menos en los días del año que sean felices, es decir desde el día de hoy, que es el día 149 del año, podrían salir libremente en los días: 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236 y 239. Para una entera entretención, el lector debe determinar las fechas correspondientes. 

Los números felices aplicados a las medidas habituales también podrían ofrecer alternativas de combinaciones más imaginativas que las comunes “pico y placa”, “pico y cédula” o “pico y género”. Y seguramente habrá abundantes aplicaciones que la imaginación de ustedes podrá proponer para usar este concepto de número feliz.

A todos los lectores les deseo Feliz Día.

@MantillaIgnacio

Existe una antigua discusión sobre el origen de las matemáticas. Hay quienes defienden la tesis según la cual las matemáticas son solo una invención más de la humanidad y hay quienes sostienen que se trata de un descubrimiento (aún inconcluso) de la humanidad. Galileo Galilei (1564 – 1642) no evadió esta discusión y aunque no respondió directamente si las matemáticas las descubrimos o las inventamos, dejó como respuesta la célebre cita: 

“Las matemáticas son el lenguaje con el cual Dios ha escrito el universo”.

Si aceptamos esta convicción de Galileo, todos diríamos entonces que Dios tampoco las inventó. Los ateos estarían de acuerdo porque no existe Dios (se cumple vacíamente) y los creyentes porque están de acuerdo con Galileo, con lo cual Dios no las inventó, pero sí en cambio las ha usado para ponernos en la tarea de descubrirlas. 

Las matemáticas están presentes y seguirán presentes, bien sean invención o descubrimiento y habrá nuevos inventos para quienes las consideren un invento y nuevos descubrimientos para quienes las consideran descubrimiento porque son dinámicas y cada día nos asombran con sus axiomas, reglas, métodos y aplicaciones que parecen permear todo lo que nos rodea, como un lenguaje de comunicación universal, tal como las concibió Galileo.

Las matemáticas están en casi todo nuestro mundo moderno, se esconden o aparecen para influir en computadores y teléfonos celulares, en las redes de comunicación, en los algoritmos de las cadenas de servicios y de seguridad bancaria y hasta en la comprensión de la propagación de una epidemia como la que estamos viviendo.

No podríamos imaginar un mundo sin matemáticas y sin números; aunque estos son objetos intangibles, son indestructibles; no son una moda, son parte de las mayores riquezas de la humanidad, a disposición del que los necesite. Podrían ser semejantes a unos fósiles vivientes que no envejecen con el paso de los siglos.

En la discusión entre quienes creen que las matemáticas fueron descubiertas y quienes afirman que son inventadas hay argumentos muy convincentes y persuasivos de cada lado. Yo me inclino más por la opinión de que hay de las dos cosas: el número π, por ejemplo, es un objeto matemático que nadie se inventó; fue descubierto al observar que tomando cualquier círculo y dividiendo lo que mide su circunferencia entre lo que mide su diámetro se obtiene siempre la misma cantidad: una constante que no es entera, un poco mayor que 3, pero que no se puede expresar como una fracción de enteros, como se demostró luego. El invento fue llamar π a esa constante y representarla con esa letra griega que ya había sido inventada con anterioridad.

También puede darse un proceso distinto, podemos inventar una teoría nueva o un nuevo objeto, que adquiere el rango de concepto matemático porque satisface todos los requisitos que exige el engranaje lógico, operacional y axiomático de las matemáticas; puede estar totalmente alejado del mundo real y sobrevivir solamente en la mente de los matemáticos por muchos años, como sucedió con la Teoría de Grupos – una robusta área del Álgebra Abstracta -, la Teoría de Grafos o el concepto de Fractal, por ejemplo; pero aparece de repente una aplicación que ni siquiera el inventor pudo imaginar que existiría; en tal caso ese viejo invento se confunde entonces con un descubrimiento asombroso que se adelantó a su tiempo en el mundo real y que alguna mente brillante y prodigiosa fue capaz de formular antes de pensar en su aplicación futura.

Pero aún suponiendo que los inventos no tuvieran aplicación alguna, eso no les quita validez y sobre todo belleza.

También es común denominar invento a las matemáticas que no se les ve aplicación inmediata; se cree que todo lo que no sea descubrimiento o tenga aplicación es inútil; algo ideado para unos pocos que quieren de esa manera entretenerse de forma exclusiva mientras alguien más encuentra su uso o que se trata de una invención incomprensible, diseñada para un limitado grupo de matemáticos que quieren así impedir el entendimiento y torturar a quien desee comprenderlo.

Seguramente, si hay vida inteligente en otra galaxia, allí también tendrán que usar números, posiblemente con una base diferente a la decimal y probablemente su forma de hacer aritmética sea aún ineficiente como lo sería la nuestra si aún usáramos los números romanos (sin el cero) para multiplicar, por ejemplo: CXIV por XXIII. Y tal vez en ese mundo externo hayan combinado su intuición geométrica con precisión aritmética para crear algo como el álgebra y de acuerdo con sus leyes físicas (¿observando la caída de una fruta?) hayan formulado sus propias leyes “universales” y descubierto o inventado también un cálculo como el diferencial.

Invención o descubrimiento, las matemáticas no se pueden evitar, están en todas partes y si se ha peleado con ellas, es mejor reconciliarse cuanto antes y descubrir su lado más divertido. 

@MantillaIgancio

Nos hemos familiarizado desde niños con los números enteros positivos principalmente y en muchos casos ha resultado difícil posteriormente dominar los negativos y por supuesto el cero. Aun cuando también nos hemos acostumbrado al uso de los números enteros en un sistema decimal por la aparente comodidad que éste nos ofrece para las operaciones aritméticas cotidianas y aun cuando también hemos trasladado a nuestras unidades de medida estos usos, logrando casi una uniformidad global de la que solo se apartan algunas medidas tales como las que aún se expresan en galones, docenas, millas, pulgadas, fanegadas, yardas, arrobas, onzas; y aun cuando solo sobreviven algunas pocas divisiones que no son decimales, tales como los minutos de las horas, los días de la semana, los meses del año o algunas escalas de medición no métrica decimal, la verdad es que la naturaleza, no solo no se puede medir ni comprender con el uso de los números enteros únicamente, sino que tampoco es posible hacerlo con la sola inclusión de las fracciones.

Con más frecuencia de lo que podemos creer, en la naturaleza, en la cotidianidad, aparecen cantidades que ya los griegos habían denominado inconmensurables porque no son decimales periódicos, como los que provienen de las fracciones entre enteros. Me refiero a los llamados números irracionales que también conforman un subconjunto infinito de números reales. Algunos se han vuelto famosos porque los hemos tenido que aprender desde la escuela; tal es el caso de π, e o √2. Pero conocemos mucho menos un importante número que se ha bautizado como φ y que no goza de tanta popularidad.

El número φ es conocido como el número de oro, por cuanto es una perfecta medida para muchas cosas presentes en la naturaleza y para otras que utilizamos diariamente. Este número, con infinitas cifras decimales, surge de la división de un segmento en dos partes a y b, guardando las siguientes proporciones: la longitud total (a+b) es a la longitud del más largo a, como la longitud de a es al más corto b. 

De esta proporción a/b surge el valor de φ, como la solución positiva de una ecuación de segundo grado:

(a+b)/a = (a/b), entonces:

1 + (b/a) = (a/b) =: φ

1 + 1/φ = φ

φ² – φ – 1 = 0

por lo tanto

φ = (1+√5)/2.

Expresado en forma decimal, con algunas de sus infinitas cifras,

φ ≈ 1,6180339887498948… . 

De acuerdo con algunos historiadores hay constancia de haberse conocido el número de oro φ en civilizaciones antiguas como la babilónica, hacia el año 2000 a. C., pero la referencia más divulgada se origina en el dibujo que Leonardo Da Vinci hizo hace 500 años para ilustrar el libro ‘La Divina Proporción‘ del matemático Luca Pacioli, proponiendo una figura humana masculina perfecta (homo quadratus). 

En el dibujo de Da Vinci las distintas partes del cuerpo guardan una proporción áurea. En efecto, “El Hombre de Vitruvio”, como se le conoce en honor a Marco Vitruvio, un destacado arquitecto romano del siglo I a. C., quien publicó un tratado de arquitectura, escrito entre el 27 y el 23 a. C. fue pintado atendiendo la mención que hacía Vitruvio de las proporciones que consideraba “ideales” para la figura humana: “… El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano, ya que si un hombre se echa sobre la espalda, con las manos y los pies extendidos, y coloca la punta de un compás en su ombligo, los dedos de las manos y los de los pies tocarán la circunferencia del círculo que así trazamos. Y de la misma forma que el cuerpo humano nos da un círculo que lo rodea, también podemos hallar un cuadrado donde igualmente esté encerrado el cuerpo humano. Porque si medimos la distancia desde las plantas de los pies hasta la punta de la cabeza y luego aplicamos esta misma medida a los brazos extendidos, encontraremos que la anchura es igual a la longitud, como en el caso de las superficies planas que son perfectamente cuadradas.”

Inspirado en esta descripción, Leonardo da Vinci se dispuso a hacer su propia versión de aquel humano idealizado de Vitruvio. Y esto fue lo que obtuvo:

si se divide la altura total de un hombre entre la altura de su ombligo, nos da como resultado el número de oro. Igualmente, el cociente entre la altura del hombre y la distancia del ombligo a la punta de las manos con los brazos extendidos es también el número áureo. (Puede usted, apreciado lector, hacer ahora esa prueba con su propio cuerpo).

Algunos de ustedes se sorprenderían de descubrir la infinidad de medidas en las que está presente esta proporción, el listado escapa a la intención de este texto, no obstante quiero compartirles algunos objetos rectangulares que usamos a diario y que han sido diseñados conservando la proporción áurea que se obtiene dividiendo sus dimensiones de largo y ancho: las tarjetas de crédito, la licencia de conducción, la cédula de ciudadanía, las hojas de papel tamaño oficio, ventanas, muebles y hasta las cajetillas de cigarrillos.

Hay una famosa sucesión de números enteros no negativos que se conoce con el nombre de Sucesión de Fibonacci, en honor al matemático italiano Leonardo de Pisa (1170 – 1240), apodado como Fibonacci. Inicia con los números 0 y 1, y cada término se obtiene sumando los dos anteriores. De esta manera se logra entonces la sucesión:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… .

Con esta sucesión Fibonacci describió cómo crece una población de conejos a partir de una pareja (procreando al mes de existencia) y dando a luz a una nueva pareja tras un mes de gestación, alcanzando los 144 en un año.

La sucesión de Fibonacci se usa también para describir múltiples fenómenos y el cociente entre dos números consecutivos de esta sucesión tiende al número áureo Phi. Una propiedad útil de la sucesión de Fibonacci es la que permite pasar de millas a kilómetros en forma aproximada, ya que una milla es aproximadamente igual a φ kilómetros. Entonces:

3 mi ≃ 5 km

5 mi ≃ 8 km

8 mi ≃ 13 km

13 mi ≃ 21 km.

Como puede concluirse: solo los números pueden describir la incomparable perfección que esconde la belleza de la naturaleza. Como lo expresó muy bien el gran Galileo Galilei (1564 – 1642): “Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo”.

@MantillaIgnacio 

Hace unos días compartí un artículo sobre el número 33 y las razones por las cuales era noticia (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/numero-33-noticia).

Hoy quiero contarles sobre otro número, uno de los que yo incluiría en un grupo especial que podemos denominar “de los destacados”, por las muchas propiedades insospechadas que tiene y por las curiosidades que ofrece. Se trata del número 153, un entero positivo que pasa desapercibido para casi todo el mundo, pero que como pocos, tiene propiedades muy curiosas y sorprendentes.

Empiezo por contarles que el número 153 es el más pequeño entero positivo, mayor que 1, que puede ser expresado como la suma de los cubos de sus dígitos. En efecto: 

153 = 1³ + 5³ + 3³

y la suma de sus dígitos también es especial, pues resulta ser un cuadrado perfecto: 

1 + 3 + 5 = 9 = 3².

Pero también la suma de sus divisores propios (es decir, excluyendo al propio 153) es un cuadrado perfecto:

1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 9². 

Curiosamente, esta última suma resulta ser, además, el cuadrado de la suma de sus dígitos.

Por otra parte, la suma de las potencias 0, 1 y 2 de sus dígitos es igual al producto de ellos:

1º + 5¹ + 3² = 1 x 5 x 3.

Y como si fuera poco, el número 153 es igual a la suma de los factoriales de los primeros 5 enteros positivos:

1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153. 

Ahora bien, para nuestra sorpresa, resulta que si invertimos el orden de sus cifras obtenemos el número 351, que sumado con 153 nos da el número 504, cuyo cuadrado (254 016) es el número más pequeño que puede ser expresado como el producto de dos números diferentes cuyas cifras están invertidas. Es decir:

153 + 351 = 504

504² = 254 016 = 288 x 882.

El número 153 es tan especial, que también es un número triangular; es decir que resulta ser la suma de los primeros N números naturales para algún número N; en este caso N =17. Esto quiere decir que:

153 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 16 + 17.

Entonces 153 es el décimo séptimo número triangular. Pero el número 153 invertido, es decir el número 351, también es triangular, el vigésimo sexto:

351 = 1+ 2 + 3 + 4 + … + 24 + 25 + 26.

Por lo anterior decimos que 153 es un número triangular invertible.

También podemos comprobar entonces que 153 es un número de Harshad o número de Niven, lo que significa que es divisible por la suma de sus dígitos:

153/(1 + 5 + 3) = 153/9 = 17.

Y como también 351 es un número de Harshad, podemos entonces afirmar que 153 es un número invertible de Harshad.

Descubramos otras curiosidades en torno al número 153. Obsérvese que 153 puede ser expresado como producto de dos números que se forman con sus dígitos:

153 = 3 x 51.

Y el número 135, que se forma reordenando sus dígitos, puede ser expresado en la forma siguiente, también muy particular:

135 = 1¹ + 3² + 5³.

Pero una de las mayores curiosidades, la principal que me impulsó a escribir sobre este maravilloso número es la siguiente: si tomamos un número cualquiera que sea múltiplo de 3 y elevamos al cubo cada una de sus cifras y después sumamos esos cubos repitiendo el proceso con el resultado obtenido, al final siempre llegaremos al 153. Por ejemplo, escojamos el número 25 512, que es múltiplo de 3. Entonces a partir de 25512 tenemos:

2³ + 5³ + 5³ + 1³ + 2³=

8 + 125 + 125 + 1 + 8 =

267.

Repitiendo ahora el proceso:

2³ + 6³ + 7³ =

8 + 216 + 343 =

567.

Continuando con este resultado:

5³+ 6³ + 7³ =

684.

Y continuando sucesivamente el proceso tenemos:

6³ + 8³ + 4³ =

792.

7³ + 9³ +2³ =

1080.

1³ + 0³ + 8³ + 0³ =

513.

5³ + 1³ + 3³ =

153.

Por lo anterior podemos decir que el número 25512 alcanza en 7 ciclos a 153.

Puede usted, querido lector, elegir cualquier número múltiplo de 3 y contar el número de ciclos requeridos. Se ha probado que ningún número menor que 10 000 necesita más de 13 ciclos y que 177 es el más pequeño número que necesita de 13 ciclos para alcanzar a 153.

Otras curiosidades y propiedades sorprendentes del número 153 pueden consultarse en Web de Shyam Sunder Gupta o también en World! Of Numbers. 

@MantillaIgnacio