La cédula ampliada al 150%

La semana pasada, al realizar un trámite oficial en una oficina, la persona encargada de recibirme los documentos que presenté, entre ellos una fotocopia de mi cédula, me dijo que esa copia no servía: “debe traer una fotocopia de la cédula ampliada al 150%”, me dijo. Entonces yo pregunté: “hmm… perdón, usted quiere que el área sea aumentada al 150% o que la longitud de los lados sea ampliada al 150%? El funcionario me miró con cara de lástima y me dijo: “usted es el primer cliente que no me entiende”. “De acuerdo”, dije; “pero ¿me puede entonces explicar qué es lo que necesita usted que yo haga?”. Seguidamente el funcionario me dijo: “vea señor, no se haga el chistoso que no sabe, que yo no tengo tiempo qué perder; eso es lo mismo, pero tranquilo que en la fotocopiadora que hay aquí volteando la esquina saben cómo hacer la copia ampliada y allá le explican, si quiere”, y mirando hacia otro lado dijo en voz alta: “¡siguiente!”.

Yo hice caso de ir a la fotocopiadora y pedir, como me dijo el funcionario, una fotocopia ampliada al 150%, sin preguntar nada. Ya con la copia en la mano recordé que en otras ocasiones también yo había tenido que enviar copia ampliada de mi cédula, pero como tenía una secretaria, ella se encargaba del asunto y nunca me había preocupado por el tema. No obstante en plena calle saqué mi cédula original y comparando con la copia de marras deduje que el tamaño tenía aumentado en un 50% los lados, no el área, y que a eso se refería la ampliación ordenada.

En el trayecto de regreso a la oficina en la que había quedado suspendido el trámite y estaba pendiente la entrega de la copia aumentada, pensé en cuál podría ser el origen o la utilidad de tener la “copia al 150%”. No puede ser un argumento de calidad, pues la copia en el tamaño original era más nítida y la foto y demás datos pueden verse con mayor claridad. La única razón, pensé, debe ser que algún funcionario no veía bien y necesitaba letras más grandes “al 150%” y después se volvió norma. Bien podrían dotar a todos de lupas con 1.5 de aumento y evitarnos esto,  pensé.

 Cuando regresé con la fotocopia de mi cédula, “ampliada al 150%”, me acerqué a la ventanilla y aprovechando que no había nadie más en la fila, le expliqué al funcionario que me había atendido, que yo soy matemático y profesor; por lo tanto me sentía obligado a sacarle de su error sobre cómo aumentar el área de un rectángulo. Y con los ojos un poco desorbitados me miraba incrédulo, pero respetuoso; así que me escuchó.

Después de unos minutos el funcionario ya prestaba atención a lo que yo escribía en la hoja de papel que contenía mi explicación con dibujos de figuras geométricas para aclararle. Cuando me dijo que ya había entendido, terminé recomendándole la lectura de un artículo que escribí recientemente sobre la historia del famoso problema planteado en la antigua Grecia consistente en la duplicación del cubo (ver https://www.rcnradio.com/opinion/el-problema-de-la-duplicacion-del-cubo). 

Pero mi sorpresa fue aún mayor cuando me dijo que no olvidara firmar sobre la copia ampliada de la cédula con nombre y número de cédula. “Pero si es una copia de la cédula, ahí están esos datos”, dije. Su repuesta fue “no importa, así son las reglas”.

Finalmente me despedí, me agradeció la explicación, me pidió que le regalara la hoja con la explicación y me preguntó: “¿eso con lo que usted escribe tan chévere es una pluma, cierto?” 

No es mi intención hoy controvertir estas disposiciones tan absurdas, pero sí quiero aprovechar la anécdota para aclarar, como lo hice con el funcionario, qué significa ampliar el área de un rectángulo al 150% para dejar claro que eso no es lo mismo que aumentar la longitud de sus lados al 150%. 

El problema que planteo es: ¿en qué porcentaje debe aumentarse la longitud de cada lado para que el área de un rectángulo se aumente al 150%? Podemos suponer, como ocurre con la fotocopia de la cédula, que cada lado se va a aumentar en el mismo porcentaje, conservando la misma proporción entre los lados del rectángulo. Pero antes de pasar a explicar la solución, pongamos en contexto el tema.

La cédula de ciudadanía tiene unas dimensiones iguales a las de las tarjetas de crédito, y esas medidas tienen un origen matemático relacionado con la proporción dorada o el número de oro φ que es aproximadamente igual a 1,61803398…, del cual les hablaré en un próximo artículo. Las dimensiones de la cédula no son por lo tanto un capricho de algún registrador criollo, se trata de un plástico con la forma de un rectángulo (ligeramente redondeado en las esquinas) que mide 8,560 cm. de largo y 5,398 cm. de ancho (que en pulgadas equivale a 3 pulgadas y 3/8 por 2 pulgadas y 1/8) y cuando sus lados se amplían a un 150%, el nuevo rectángulo obtenido tiene entonces 12,840 cm. de largo por 8,097 cm. de ancho. Esa es la medida que corresponde a la cédula ampliada al 150% que me pidieron, eso sí, por capricho de algún funcionario que logró imponer ese requisito en cuanto trámite vayamos a realizar.

Ahora bien, el área de la cédula se aumenta realmente en más del doble, exactamente en 2,25 veces el área original si aumentamos al 150% sus lados. Si lo que queremos es aumentar el área al 150%, veamos en qué porcentaje deben incrementarse los lados de la cédula. 

El problema puede resolverse de manera general: si el rectángulo original tiene lados de longitud a y b, y llamamos P el porcentaje buscado, entonces el área del nuevo rectángulo será:

(Pa)(Pb) = (P²)(a × b). Como debe ser el 150%, entonces

(P²)(a × b) = (1,5)(a × b). Por lo tanto 

P² = 3/2, es decir que 

P =  (√6)/2 ≈ 1,225. 

Así que los lados deben aumentarse en aproximadamente un 22,5% para que el área aumente al 150%. 

Como se puede concluir, el error está en afirmar que aumentando en un 50% la longitud de los lados de la cédula, se aumenta en un 50% también el área de la copia de la cédula.

Cuando vaya usted, apreciado lector, a realizar un próximo trámite, no olvide llevar una copia de su cédula, “ampliada al 150%”.

@MantillaIgnacio