Comúnmente las noticias que recibimos diariamente son abundantes en información sobre el quehacer político tanto nacional como internacional o sobre los logros de nuestros más destacados deportistas, pero menos frecuentemente recibimos noticias sobre los descubrimientos científicos. Y dentro de estas últimas es poco común que haya noticias sobre logros matemáticos; y más extraño aún es, que si los hay, se consideren noticias importantes, de interés general, que valga la pena comunicar y compartir.
No me voy a referir a descubrimientos matemáticos para no entrar ahora en la discusión sobre si las matemáticas las descubrimos o las inventamos, pero sí deseo compartir con los lectores lo que para la comunidad matemática es una gran noticia, como es dar a conocer la solución de un problema clásico que se constituye en un avance para resolver una conjetura que ha esperado durante varios siglos su demostración o su refutación.
En efecto, un matemático británico, de la Universidad de Bristol, de nombre Andrew Booker, ha resuelto el problema que planteaba una pregunta no respondida, detrás del número entero 33.
Para explicar de qué se trata, intentaré poner en contexto este logro, explicando que las “ecuaciones diofánticas” (denominadas así en honor al matemático griego del siglo III, Diofanto de Alejandría, quien contribuyó notablemente al estudio de la Aritmética y al perfeccionamiento de la notación algebraica) son las ecuaciones algebraicas de dos o más incógnitas con coeficientes en los números enteros, que tienen también soluciones enteras.
Un ejemplo de una ecuación diofántica es precisamente la que resulta al plantear el problema de intentar escribir cualquier número entero como la suma de tres números enteros elevados al cubo. Más precisamente: dado un entero k, encontrar a, b y c tales que:
a³ + b³ + c³ = k
El problema resulta sencillo para algunos casos, así por ejemplo para k = 20 o k = 16 tenemos:
3³ + (-2)³ + 1³ = 20,
2³ + 2³ + 0³ = 16.
Pero la gran pregunta es si siempre puede encontrarse al menos una tripla de números enteros que elevados al cubo den como resultado un entero dado k.
En 1825 el matemático S. Ryley demostró que todo número racional se puede representar como la suma de tres cubos de números racionales. Y hasta hace apenas unos meses se creía que en el caso de los enteros, la conjetura debía ser falsa ya que no había sido posible encontrar la solución para expresar así algunos números enteros positivos. El menor de ellos era el número k = 33, pero el matemático Andrew R. Booker ha producido la noticia que ha vuelto a avivar el reto, pues ha encontrado por primera vez una solución, publicada en marzo de este año; se trata de estos bellos enteros de 16 cifras:
a = 8 866 128 975 287 528,
b = −8 778 405 442 862 239,
c = −2 736 111 468 807 040.
Es decir que:
33 = (8 866 128 975 287 528)³ + (−8 778 405 442 862 239)³ +
(−2 736 111 468 807 040)³
Obviamente, ni la solución, ni el método de encontrarla son sencillos. Para obtener esta tripla de cubos, Booker usó un algoritmo programado cuyo tiempo estimado de cálculo en un computador normal es de cinco años. El uso de la programación en paralelo permitió correr el programa en tan solo tres semanas en una red computacional del Advanced Computing Research Centre de la Universidad de Bristol. (Para quienes se interesen en profundizar un poco más en el tema recomiendo ver el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=wymmCdLdPvM ).
El siguiente y único número positivo menor que 100, aún sin solución es k = 42. Pero todavía quedan 11 números más, menores que 1000, que tampoco han podido escribirse como suma de tres cubos. Ellos son:
114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 y 975.
Naturalmente, aún encontrando las triplas para cada número, la demostración de la conjetura no estará completa a menos que en un futuro se presente una prueba general, que no necesariamente debe arrojar un método para encontrar la solución en cada caso. También es posible que en unos años se demuestre que para algún número entero particular (podría ser k = 42 o uno de los otros 11 menores que 1000) no existe tal tripla, lo cual se constituiría en un contraejemplo, suficiente para demostrar que la conjetura no es cierta. Precisamente la noticia despierta un interés especial por cuanto desde hace 70 años se intentaba demostrar que no existía una tripla para k = 33; así que el candidato para el contraejemplo se ha derrumbado ahora, animando la creencia de la veracidad de la conjetura.
Para los que se pregunten que para qué sirve esto, hay que repetir que puede tener la misma utilidad que la composición de una bella canción o la pintura de un hermoso cuadro o la de escribir y publicar un libro de ciencia ficción. Disfrutamos con ello, disfrutamos de la cultura. Pero en el caso de las matemáticas hay muchos ejemplos de resultados que se demostraron respondiendo a retos lógicos, algebraicos, analíticos o computacionales solamente, pero que siglos después han sido fundamentales en aplicaciones insospechadas.
Por eso, aunque parezca increíble, el número 33 es la noticia y para deleite de todos ya ha sido caracterizado con una tripla, poniendo en la lista de espera a su vecino, el número 42. Es un gran reto para cualquier persona que quiera entretenerse con el número 42 para darnos una gran noticia futura producida en el mundo de las matemáticas.
@MantillaIgnacio