Números metálicos

Hay algunos números que son estrellas, y que como ellas, se han vuelto famosos; tal es el caso del número π, por ejemplo. Y hay también algunos números especiales que por sus características reciben nombres muy particulares, hasta de metales. Esos son los números que voy a presentarles en esta nota.

El primero de esos “números metálicos” se ha bautizado con la letra griega φ y es conocido como el número de oro, por cuanto es una perfecta medida para muchas cosas presentes en la naturaleza y para otras que utilizamos diariamente. Este número, con infinitas cifras decimales, surge de la división de un segmento en dos partes a y b, guardando las proporciones: «longitud total del segmento (a+b) es a longitud del segmento más largo a, como longitud del segmento a es a longitud del segmento más corto b».

Esto se expresa más precisamente mediante la igualdad:

Aun cuando el número de oro φ era conocido en civilizaciones antiguas, la referencia más divulgada es la del dibujo de Leonardo Da Vinci conocido bajo el nombre de “El Hombre de Vitruvio”, que ilustra lo que es la divina proporción, un dibujo en el que las distintas partes del cuerpo guardan la proporción áurea en una figura humana perfecta.

La proporción áurea está presente en muchas medidas de objetos rectangulares que usamos a diario como por ejemplo en los tamaños de las tarjetas de crédito, la licencia de conducción, la cédula de ciudadanía, las hojas de papel tamaño oficio, tamaños de ventanas, de muebles y hasta en las cajetillas de cigarrillos. 

El número de oro se relaciona también con la famosa sucesión de números enteros no negativos que se conoce como la Sucesión de Fibonacci, en honor al matemático italiano Leonardo de Pisa (1170 – 1240), así apodado. Esta sucesión se construye iniciando con los números 0 y 1, y cada nuevo término se obtiene sumando los dos anteriores. De esta manera se logra entonces la sucesión:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… .

Con esta sucesión Fibonacci describió la forma en que crece una población de conejos a partir de una pareja. La sucesión de Fibonacci se usa también para describir múltiples fenómenos y en algunos casos puede mostrar la armonía y la incomparable perfección que esconde la belleza de la naturaleza. Sorprendentemente el cociente entre dos números consecutivos de esta sucesión tiende a nuestro número de oro φ.

Una útil coincidencia, que permite pasar de millas a kilómetros en forma aproximada, es la que nos ofrece el hecho de saber que una milla es aproximadamente igual a φ kilómetros; así entonces, usando la sucesión de Fibonachi tenemos que:

3 mi ≃ 5 km

5 mi ≃ 8 km

8 mi ≃ 13 km

13 mi ≃ 21 km.

El número de oro ha sido ampliamente estudiado y no deja de sorprender por sus propiedades extraordinarias. Pero conozcamos otros números metálicos menos famosos. 

Puesto que el número de oro φ, como hemos visto, es la solución positiva de la ecuación cuadrática (*) cuando n = 1, vamos a reemplazar ahora el valor de n con los números 2, 3, 4, y así sucesivamente para obtener los siguientes números metálicos. 

Para cada valor de n, la solución positiva de la ecuación (*) es:

Los primeros números metálicos son entonces: 

Los números metálicos, posteriores al número de oro, fueron estudiados y divulgados por la matemática argentina Vera Marta Winitzky (1929-2017) quien los definió en el artículo el tituladoLa familia de números metálicos en Diseño en cuya introducción se puede leer que «… el hecho que los números metálicos aparezcan desde los sistemas usados en el diseño de sus construcciones por la civilización romana antigua hasta los más recientes trabajos de caracterización de caminos universales al caos los convierte en instrumentos invalorables para la búsqueda de relaciones viables cuantitativas entre la Matemática y el Arte».

Una importante propiedad matemática que Vera M. Winitzky demuestra en su artículo, además de otras propiedades útiles en diseño, arquitectura y arte, es que los números metálicos satisfacen la fracción continua:

Como se observa con la divulgación de estas curiosidades, las matemáticas pueden estar en todas partes. La autora, quien fue profesora de matemáticas en la Facultad de Arquitectura y Urbanismo de la Universidad de Buenos Aires, revela cómo logró, mediante el estudio de los números metálicos, introducir contenidos matemáticos sorprendentes para los programas de los cursos de diseño y despertar así el interés matemático de sus estudiantes mostrando la interacción entre las matemáticas y el diseño.

@MantillaIgnacio