Los números felices

Los nombres de las personas, de las ciudades o de las teorías son parte esencial del lenguaje y son muchos los nombres que dan información inmediata, como si contuvieran una definición.

En el caso de las matemáticas los nombres aportan indicios sobre las características del elemento nombrado, sobre la pertenencia a un grupo con propiedades comunes o sobre el origen o autoría del concepto o del objeto. Teorema de Pitágoras, por ejemplo, es ya un nombre propio que con el “apellido” Pitágoras nos indica quién patentó una  verdad que se demostró y que por lo tanto es irrefutable.

Con los conjuntos más importantes de números sucede algo parecido, aun cuando sus nombres obedecen más a una clasificación universalmente impuesta y aceptada, es sorprendente, sin embargo, la cantidad de nombres propios existentes hoy en día para distinguir conjuntos de números que comparten algunas propiedades. 

Los lectores están familiarizados o han oído mencionar seguramente algunos: números naturales, enteros, racionales, irracionales, trascendentes, complejos, algebraicos, binarios, primos, pares, de Fibonacci. Pero es poco probable que hayan oído hablar de números abundantes, automorfos, amigos, de Bernoulli, de Cayley, deficientes, de Descartes, extravagantes, de Fermat, de Euler, felices, multifactoriales, narcisistas, normales, palíndromos, prácticos, amigos, sublimes, de Stirling, vampiros, novios, primos gemelos, infelices o tristes, de Mersenne, perfectos o números cíclicos, entre otros.

En esta ocasión quiero presentarles un divertido conjunto de estos últimos, los llamados Números Felices.

Lo primero que hay que decir es que la felicidad es una característica, que en el caso de los números solo se da entre los números naturales, dicho más precisamente, los números felices son un subconjunto de los números naturales; es decir un subconjunto del conjunto infinito de números  

N = {0, 1, 2, 3, 4,…} 

que, de la misma forma en que se puede dividir entre los impares y los pares, también puede repartirse en dos grupos: los números felices y los números tristes (o infelices).  

Para saber si un número es feliz se suman los cuadrados de sus dígitos y con el resultado se repite lo mismo hasta que se obtenga el número 1 o se caiga en un bucle distinto. Así por ejemplo, el número 365 es un número feliz ya que:

3² + 6² +5² = 70

7² + 0² = 49

4² + 9² = 97

9² + 7² = 130

1² + 3² + 0² = 10

1² + 0² = 1

En cambio el número 2020 es un número triste (como debía ser este año infeliz de pandemia) porque:

2² + 0² + 2² + 0² = 8

8² = 64

6² + 4² = 52

5² + 2² = 29

2² + 9² = 85

8² + 5² = 89.  (*)

8² + 9² = 145

1² + 4² + 5² = 42

4² + 2² = 20

2² + 0² = 4

4² = 16

1² + 6² = 37

3² + 7² = 58

5² + 8² = 89 (*)

El bucle se va a repetir siempre que obtengamos 89, como ocurre entre las líneas marcadas con (*).

Claramente todos los números que aparecen a la derecha de la igualdad, en las comprobaciones de la felicidad, serán tristes o felices, como el inicial. 

Los únicos números felices hasta 100 son: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97 y 100. A medida que aumenta el número de cifras es menos probable encontrar números felices; con números de tres dígitos, por ejemplo, apenas un 14% son números felices; sin embargo el conjunto de números felices contiene infinitos elementos: basta pensar en los números de la forma 10 elevado a la n, que son todos felices. Los dos primeros números felices consecutivos son 31 y 32 y curiosamente hay un trío de números felices consecutivos de 4 cifras: 1880, 1881 y 1882.

Una propiedad de los números felices, fácil de demostrar, es que cualquier número obtenido como permutación de sus cifras es también un número feliz. “La felicidad no se consigue permutando las cifras de los infelices”.

Si observamos la lista de los primeros números felices podemos deducir que hay números primos felices; no obstante hay una pregunta abierta y es: ¿hay infinitos números primos que sean también felices?

A esta altura algunos lectores ya estarán formulando la pregunta de siempre ¿y eso para qué sirve? y no faltará quien se pregunte ¿y eso da plata? No, para nada. Sólo brinda entretención y da felicidad a quienes disfrutamos de la belleza de las matemáticas sin preocuparnos por su utilidad inmediata; pero podemos buscar aplicaciones. A mí se me ocurre proponer que habiendo demostrado que el número 2020 es infeliz y sabiendo que 70 es un número feliz, el confinamiento obligatorio en la cuarentena para los mayores de 70 hasta agosto 31 debería permitir su libre desplazamiento a partir de hoy, al menos en los días del año que sean felices, es decir desde el día de hoy, que es el día 149 del año, podrían salir libremente en los días: 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236 y 239. Para una entera entretención, el lector debe determinar las fechas correspondientes. 

Los números felices aplicados a las medidas habituales también podrían ofrecer alternativas de combinaciones más imaginativas que las comunes “pico y placa”, “pico y cédula” o “pico y género”. Y seguramente habrá abundantes aplicaciones que la imaginación de ustedes podrá proponer para usar este concepto de número feliz.

A todos los lectores les deseo Feliz Día.

@MantillaIgnacio