Cuando la intuición falla: el caso de la caja de Bertrand

Con ellas, Bertrand puso de manifiesto la necesidad de replantear la definición de probabilidad basada en eventos equiprobables, un enfoque que ya generaba insatisfacción por la falta de precisión que introducía en ciertos conceptos probabilísticos.

Una de esas paradojas —la que quiero compartirles a continuación— es la conocida como «la paradoja de la caja de Bertrand». Este interesante problema constituye, además, un excelente ejemplo para comprender la importancia del concepto de probabilidad condicional.

El enunciado del problema propuesto por Bertrand es el siguiente: se tienen tres cajas, cada una con dos cajones, uno izquierdo y otro derecho. En cada cajón hay una moneda. La caja 1 contiene dos monedas de oro (ORO, ORO); la caja 2, dos monedas de plata (PLATA, PLATA); y la caja 3 alberga una moneda de plata en un cajón y una de oro en el otro (PLATA, ORO). En total, entonces, hay seis monedas —tres de plata y tres de oro— y ninguno de los cajones está vacío. Además, una vez cerrados, no es posible saber desde afuera cuál es el contenido de cada cajón. 

Después de escoger una caja al azar, se selecciona también al azar uno de sus dos cajones y se encuentra que contiene una moneda de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda del otro cajón, perteneciente a la misma caja, sea también de oro? La solución del problema podría parecer trivial; sin embargo, como veremos, más que trivial resulta contraintuitiva.

Un razonamiento que parece convincente es el siguiente: si la moneda encontrada es de oro, solo existen dos posibilidades. La primera, que la caja elegida sea la caja 1, que contiene dos monedas de oro (ORO, ORO); y la segunda, que sea la caja 3, que contiene una moneda de plata y una de oro (PLATA, ORO). Por lo tanto, la única situación en la que la otra moneda también sería de oro es haber elegido la caja 1 (ORO, ORO) entre las dos cajas que poseen al menos una moneda de oro. En consecuencia, solo una de las dos situaciones es favorable, de modo que la probabilidad de que la moneda del otro cajón sea también de oro sería igual a 1/2.

La paradoja consiste en que, aunque este razonamiento parece completamente razonable, la respuesta es incorrecta. En efecto, el enunciado nos da como condición que la moneda encontrada en el cajón elegido al azar es de oro, y por lo tanto nos pide calcular una probabilidad condicional. Consideremos entonces las tres posibilidades:

• Que hayamos escogido la única moneda de oro de la caja 3 (PLATA, ORO*).
  
• Que hayamos elegido la moneda del cajón izquierdo de la caja 1 (ORO*, ORO).
  
• Que hayamos tomado la moneda del cajón derecho de la caja 1 (ORO, ORO*).
  

En el caso (A), la moneda restante en la caja es de plata.

En el caso (B), la otra moneda es de oro.

En el caso (C), la moneda restante también es de oro.

Como se observa, de los tres casos posibles —sabiendo que la primera moneda es de oro— hay dos que resultan favorables. La probabilidad de que la otra moneda sea también de oro es, por tanto, el doble de la probabilidad de que sea de plata. En consecuencia, la probabilidad buscada es 2/3 (es decir, un 66,67%), valor superior al que inicialmente sugería la intuición, que nos llevaba a pensar en 1/2 o 50%.

Este tipo de problemas, llamados paradojas precisamente porque su solución contradice la intuición, merecen una atención especial: nos enseñan a ser cautelosos y a no confiar en respuestas aparentemente obvias. Este problema en particular me resulta fascinante porque, aunque desafía la intuición, revela de manera transparente una solución inesperada, recordándonos la importancia de examinar con rigor cualquier razonamiento antes de aceptarlo. 

@MantillaIgnacio