El increíble número 153

Hace unos días compartí un artículo sobre el número 33 y las razones por las cuales era noticia (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/numero-33-noticia).

Hoy quiero contarles sobre otro número, uno de los que yo incluiría en un grupo especial que podemos denominar “de los destacados”, por las muchas propiedades insospechadas que tiene y por las curiosidades que ofrece. Se trata del número 153, un entero positivo que pasa desapercibido para casi todo el mundo, pero que como pocos, tiene propiedades muy curiosas y sorprendentes.

Empiezo por contarles que el número 153 es el más pequeño entero positivo, mayor que 1, que puede ser expresado como la suma de los cubos de sus dígitos. En efecto: 

153 = 1³ + 5³ + 3³

y la suma de sus dígitos también es especial, pues resulta ser un cuadrado perfecto: 

1 + 3 + 5 = 9 = 3².

Pero también la suma de sus divisores propios (es decir, excluyendo al propio 153) es un cuadrado perfecto:

1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 9². 

Curiosamente, esta última suma resulta ser, además, el cuadrado de la suma de sus dígitos.

Por otra parte, la suma de las potencias 0, 1 y 2 de sus dígitos es igual al producto de ellos:

1º + 5¹ + 3² = 1 x 5 x 3.

Y como si fuera poco, el número 153 es igual a la suma de los factoriales de los primeros 5 enteros positivos:

1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153. 

Ahora bien, para nuestra sorpresa, resulta que si invertimos el orden de sus cifras obtenemos el número 351, que sumado con 153 nos da el número 504, cuyo cuadrado (254 016) es el número más pequeño que puede ser expresado como el producto de dos números diferentes cuyas cifras están invertidas. Es decir:

153 + 351 = 504

504² = 254 016 = 288 x 882.

El número 153 es tan especial, que también es un número triangular; es decir que resulta ser la suma de los primeros N números naturales para algún número N; en este caso N =17. Esto quiere decir que:

153 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 16 + 17.

Entonces 153 es el décimo séptimo número triangular. Pero el número 153 invertido, es decir el número 351, también es triangular, el vigésimo sexto:

351 = 1+ 2 + 3 + 4 + … + 24 + 25 + 26.

Por lo anterior decimos que 153 es un número triangular invertible.

También podemos comprobar entonces que 153 es un número de Harshad o número de Niven, lo que significa que es divisible por la suma de sus dígitos:

153/(1 + 5 + 3) = 153/9 = 17.

Y como también 351 es un número de Harshad, podemos entonces afirmar que 153 es un número invertible de Harshad.

Descubramos otras curiosidades en torno al número 153. Obsérvese que 153 puede ser expresado como producto de dos números que se forman con sus dígitos:

153 = 3 x 51.

Y el número 135, que se forma reordenando sus dígitos, puede ser expresado en la forma siguiente, también muy particular:

135 = 1¹ + 3² + 5³.

Pero una de las mayores curiosidades, la principal que me impulsó a escribir sobre este maravilloso número es la siguiente: si tomamos un número cualquiera que sea múltiplo de 3 y elevamos al cubo cada una de sus cifras y después sumamos esos cubos repitiendo el proceso con el resultado obtenido, al final siempre llegaremos al 153. Por ejemplo, escojamos el número 25 512, que es múltiplo de 3. Entonces a partir de 25512 tenemos:

2³ + 5³ + 5³ + 1³ + 2³=

8 + 125 + 125 + 1 + 8 =

267.

Repitiendo ahora el proceso:

2³ + 6³ + 7³ =

8 + 216 + 343 =

567.

Continuando con este resultado:

5³+ 6³ + 7³ =

684.

Y continuando sucesivamente el proceso tenemos:

6³ + 8³ + 4³ =

792.

7³ + 9³ +2³ =

1080.

1³ + 0³ + 8³ + 0³ =

513.

5³ + 1³ + 3³ =

153.

Por lo anterior podemos decir que el número 25512 alcanza en 7 ciclos a 153.

Puede usted, querido lector, elegir cualquier número múltiplo de 3 y contar el número de ciclos requeridos. Se ha probado que ningún número menor que 10 000 necesita más de 13 ciclos y que 177 es el más pequeño número que necesita de 13 ciclos para alcanzar a 153.

Otras curiosidades y propiedades sorprendentes del número 153 pueden consultarse en Web de Shyam Sunder Gupta o también en World! Of Numbers. 

@MantillaIgnacio