El acertijo de las doce monedas

Por esta época de fin de año y de vacaciones para la mayoría, nada mejor que un buen acertijo para el entretenimiento. Uno de mis favoritos es el conocido bajo el nombre de “problema de las doce monedas”, consistente en descubrir una moneda falsa, aparentemente idéntica a las demás, dentro de un grupo de doce monedas. La moneda falsa tiene un peso diferente al de las monedas auténticas, pero de antemano no se sabe si es más pesada o más liviana que las demás. 

La única herramienta con la que se cuenta para detectarla es una balanza de dos platillos y el reto consiste en descubrir la moneda falsa en no más de tres pesadas.

Para hacer de este acertijo una oportunidad para descubrir una estrategia, voy a reducir inicialmente el problema a ocho monedas solamente y además, para mayor facilidad, supondré que de antemano se sabe que la moneda defectuosa debe pesar un poco más. Pero el nuevo reto es averiguar, en dos pesadas a lo sumo, cuál es la moneda falsa.

Para solucionar este problema numeramos las monedas del 1 al 8 y ponemos en la balanza dos grupos de tres monedas así: en el platillo izquierdo las monedas {1, 2, 3} y en el platillo derecho las monedas {4, 5, 6}. Pueden presentarse tres situaciones:

1. Pesa más el montón {1, 2, 3}. Entonces ahí está la moneda falsa. Ahora pesamos solamente las monedas {1} y {2}, poniendo cada una en un platillo diferente. Si una de las dos pesa más, esa será la falsa. Si pesan lo mismo, entonces la falsa es la {3}.
2. Pesa más el montón {4, 5, 6}. Se procede como en el paso anterior, se pesan las monedas {4} y {5}. Si una de ellas pesa más, esa es la falsa, en caso contrario la falsa es la {6}.
3. Los dos montones pesan igual. Entonces la moneda falsa no está en alguno de esos montones, por lo tanto la falsa es la {7} o la {8}. Se pesan estas dos y la que tenga mayor peso es la falsa.

Hemos analizado todos los casos posibles y en dos pesadas logramos detectar la moneda falsa.

Ahora pasemos al caso de las doce monedas, pero hagámoslo en el caso más sencillo, suponiendo anticipadamente que, como antes, la falsa pesa más que las auténticas y con la posibilidad de realizar hasta tres pesadas. Con estas condiciones se pueden colocar en un plato de la balanza las monedas {1, 2, 3, 4, 5, 6} y en el otro las monedas {7, 8, 9, 10, 11, 12}. La balanza necesaria­mente se desequilibrará y el montón que más pese contendrá la moneda falsa. Esta primera pesada permite entonces reducir la incertidumbre a seis monedas solamente, que son las que se encuentran en el platillo del mayor peso. Supongamos que ese platillo fue el del primer montón. Si fuera el segundo se procede igual.

En la segunda pesada se toman tres de esas monedas {1, 2, 3} y se colocan en un platillo, las otras tres {4, 5, 6} en el otro, con lo que se redu­cirá el problema a considerar solo las tres monedas que más pesen.

En la tercera pesada, siendo tres el número de monedas sospechosas, procedemos a pesar {1} y {2}. Si un platillo se inclina, entonces contiene a la moneda falsa y si hay equilibrio, la falsa es la {3}.

Hasta aquí hemos resuelto el acertijo simplificado. Pasemos ahora al caso general de las doce monedas, en el que no sabemos de antemano si la falsa pesa más o pesa menos. Ojalá en este punto los lectores intenten dar con la solución antes de conocerla.

Procedemos haciendo tres montones de cuatro monedas cada uno y comparamos los montones {1, 2, 3, 4} y {5, 6, 7, 8}, colocando cada uno en un plato de la balanza. El resultado puede ser:

1. Los platos están en equilibrio. Entonces la moneda falsa está entre las cuatro monedas {9, 10, 11, 12} que no fueron pesadas y nos quedan dos oportunidades para descubrir la defectuosa. Vamos a utilizar una de las monedas buenas (la {1} ), de las ocho ya utilizadas para proceder con la siguiente pesada, poniendo en un platillo las monedas {1} y {9} y en el otro las monedas {10} y {11} 
     
   A. Si hay equilibrio significa que la moneda {12} es la defectuosa y nos queda una pesada para determinar si pesa más o pesa menos, lo cual se logra comparándola con la moneda {1}, por ejemplo.

   B. Si {1, 9} pesa menos que {10, 11} significa que o bien {9} es la falsa y pesa menos o bien {10} o {11} es falsa y pesa más. Comparamos ahora en la última pesada {10} con {11}. Si hay equilibrio la falsa es {9} y pesa menos, en caso contrario, la que más pese es la falsa y tiene un mayor peso que las auténticas.

   C. Si {1, 9} pesa más que {10, 11} hacemos el mismo análisis anterior, pero con los papeles cambiados.

2. Los platos están desequilibrados. En este caso tenemos ocho monedas candidatas a falsas y cuatro buenas. Supongamos que el platillo con {1, 2, 3, 4} es el más alto, es decir con menor peso. Vamos a proceder agregando una moneda buena, la {9}, al grupo de las ocho y formamos tres montones de tres monedas cada uno así: {1, 5, 9}, {2, 3, 7} y {4, 6, 8}. El siguiente paso es usar ahora la segunda pesada para comparar estos dos primeros montones. Hay tres posibilidades:

   A. Hay equilibrio. Significa que la falsa está en el grupo {4, 6, 8}. Entonces en la última pesada comparamos {6} y {8}. Si hay equilibrio entre ellas, la falsa es {4} y pesa menos; si no es así, la más pesada es la falsa y pesa más que las auténticas.

   B. {1, 5, 9} pesa más que {2, 3, 7}. Significa que o bien la {5} es falsa y pesa más o bien {2} o {3} es falsa y pesa menos. Comparamos estas últimas para saber cuál pesa menos y esa será la defectuosa, pero si hay equilibrio entre ellas, la falsa es la {5}.

   C. {1, 5, 9} pesa menos que {2, 3, 7}. Significa que o bien {1} pesa menos o bien {7} pesa más. Comparamos cualquiera de ellas, en la última pesada, con una cualquiera de las auténticas ya determinadas y así sabemos cuál es la falsa y si pesa más o menos que una buena.

Hemos considerado ya todos los posibles casos y con tres pesadas hemos podido determinar la moneda falsa y saber si pesa más o pesa menos, con lo cual se da solución al reto planteado.

Este mismo acertijo se puede intentar resolver para 13 monedas. Aunque es posible determinar cuál es la moneda falsa en solo tres pesadas, en este caso no será posible saber, en un caso, si la defectuosa pesa más o pesa menos.

¡Feliz Año Nuevo!

@MantillaIgancio