Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

6174, un número fantástico

 

 

El matemático indio Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986) se dedicó principalmente a la investigación en una de las más antiguas e importantes áreas de las matemáticas, conocida como “Teoría de Números” y obtuvo resultados muy interesantes. A diferencia de la mayoría de sus colegas se caracterizó porque en sus estudios y observaciones plasmó su gusto por las matemáticas recreativas. En 1949 expuso algunos de sus trabajos, conocidos por el descubrimiento de propiedades sorprendentes y fascinantes de los números; presentó por primera vez los autonúmeros o números colombianos, de los que hablé en un artículo reciente (ver: https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/numeros-colombianos-sabe-cuales) y también dio a conocer un número que desde entonces se conoce como la Constante de Kaprekar y que parece mágico. Se trata de un número de cuatro cifras, que si no fuera por la fama que le dio Kaprekar, no le veríamos nada de especial que le haga diferente de otros números de cuatro cifras como los que vemos frecuentemente, por ejemplo cuando publican el número en el que cayó alguna lotería. 

La Constante de Kaprekar es el número 6174, acreditado desde hace más de 70 años como mágico por la razón que paso a explicar.

Si escribimos este número permutando sus cifras en forma descendente (7641) y luego en forma ascendente (1467) para restar el menor del mayor, obtenemos el número original. En efecto:

7641-1467 = 6174.

Pero si elegimos un número cualquiera de cuatro cifras, que no tenga todas sus cifras iguales y permutamos los cuatro dígitos en forma ascendente y en forma descendente para formar dos nuevos números de cuatro cifras, entonces al restar el menor del mayor y repetir ese proceso con el número resultante (de cuatro cifras), siempre llegaremos a la Constante de Kaprekar en siete pasos a lo sumo.

Por ejemplo escojamos el número de cuatro cifras 2020. Organizando los dígitos en forma descendente, obtenemos el mayor 2200 y al organizar sus cifras en forma ascendente obtenemos el menor 0022. Restamos el menor del mayor:

2200-0022 = 2178.

Ahora repetimos el proceso con el número resultante 2178: 

8721-1278 = 7443

y continuamos en la misma forma:

7443-3447 = 3996

9963-3699 = 6264

6642-2466 = 4176

7641-1467 = 6174.

Como se observa, en seis pasos llegamos a la Constante de Kaprekar y de aquí en adelante no vale la pena seguir, pues siempre obtendremos ese número como resultado: quedamos atrapados en él. 

Si al hacer la resta se obtiene como resultado un número de menos de cuatro cifras, agregamos el dígito cero a la izquierda hasta completar las cuatro cifras. Por ejemplo examinemos el número 2322. Organizamos los dígitos en forma descendente para obtener el mayor 3222 y ahora en forma ascendente para conseguir el menor 2223. Restamos el menor del mayor:

3222-2223 = 999 = 0999 

y procedemos como antes:

9990-0999 = 8991

9981-1899 = 8082

8820-0288 = 8532

8532-2358 = 6174.

En este caso bastaron cinco pasos para alcanzar la mágica Constante de Kaprekar.

Hay 10.000 números de cuatro cifras, pero hay 10 que tienen todas sus cifras iguales y que por lo tanto deben excluirse. No importa con cuál número, de los 9990 posibles se inicie, siempre se llega al mismo número 6174 en máximo siete pasos; por lo tanto si algún lector, al probar con cualquier número como ejercicio, ha superado siete pasos sin obtener 6174, es porque ha cometido algún error.

Lo expuesto hasta aquí puede parecer trivial, no obstante estas ideas aportan curiosidades muy divertidas para todos, fáciles de entender y de comprobar. Y quienes quieran algo más retador, pueden intentar demostrar que bastan siete pasos para llegar al número 6174 o responder a esta pregunta: ¿existen constantes como la de Kaprekar para números de 2, de 3, de 5 o de 10 cifras? Y si existen, ¿en cuántos pasos las conseguimos? También vale la pena preguntarse si se puede generalizar algún resultado en tal sentido.

Para responder al primer interrogante debo decir que sí existe una constante como la de Kaprekar para números de tres cifras y es el número 495, que se alcanza en un máximo de seis pasos (puede usted verificarlo). Pero no existe una constante como la de Kaprekar para números de 2, 5 o 7 cifras y sí en cambio para números de 6, de 8, de 9 o de 10 cifras. Para el caso de números de 8 cifras, por ejemplo, hay dos números con esa propiedad, uno de ellos es el número 63317664.

Y como la imaginación y la creatividad no tienen límite, podemos ahora usar el 6174 para lograr cosas que parecen arte: asignando un color a la cantidad de pasos requeridos para alcanzar el 6174 desde cualquier número de cuatro cifras (no todas iguales), se puede asignar entonces a cada número escogido un color. Sabemos que a lo sumo se necesitan siete pasos, por lo tanto bastan ocho colores, si reservamos uno (el blanco) para nuestra estrella 6174, como lo indica la siguiente imagen, en la que se han elegido y asignado los colores en forma arbitraria. 

Así por ejemplo, como hemos visto que para el número 2322, arriba desarrollado, se requirieron 5 pasos, a ese número le asignamos el color azul oscuro.

Si después calculamos cada número de cuatro cifras (no todas iguales) en módulo 100, podemos representar a todos ellos en un segmento horizontal de longitud 100. Así por ejemplo el número 2322 = 22 (mod 100) porque 22 es el residuo de dividir 2322 entre 100; entonces al número 2322 le asignamos el 22 en la escala de 0 a 100.

También podemos ahora dividir entre 100 cada número de cuatro cifras (no todas iguales) y tomar la parte entera del resultado para asignar a cada uno de ellos un número en un segmento vertical, también de longitud 100; así por ejemplo, al mismo número 2322 le corresponde el 23 porque [2322/100] = 23.

Finalmente, como cada número tiene un color asignado, pintamos de ese color el punto con esas coordenadas. En el ejemplo, como al 2322 le corresponde el color azul oscuro, pintamos de ese color el punto de coordenadas (22,23) que tiene el 22 en el segmento horizontal y el 23 en el vertical. Al hacer esto para todos los números se puede dibujar un bello tapete cuadrado: la Alfombra de Kaprekar, que aparece a continuación (¿Quién no quisiera tener una?):

Puede resultar entretenido para niños que están aprendiendo a sumar y restar, proponerles el ejercicio iniciando con el número de cuatro cifras (no todas iguales) que cada uno quiera elegir, para ver quién llega primero al 6174 o proponer el juego de los colores para introducir el concepto de función, disfrutando de una magia numérica y colorida.

@MantillaIgnacio 

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