A mi modo de ver, la mayoría de estas preocupaciones proviene de la idea de que los matemáticos dejarán de ser valiosos. Hay un aparente temor a que se pierda la utilidad de su labor, a que su capacidad para resolver problemas sea superada por la indiscutible superioridad de la IA en el procesamiento de la información.

No obstante lo anotado anteriormente, creo que ese tipo de preocupaciones ha existido siempre, y no solo entre los matemáticos. La aparición de la imprenta de Gutenberg, por ejemplo, suscitó numerosas inquietudes debido a la difusión masiva de textos que antes estaban reservados a unos pocos. Además, provocó la gradual desaparición de algunos oficios, como el de los amanuenses o copistas, encargados de transcribir manuscritos a mano, labor que generalmente se realizaba en monasterios y talleres.

En la evolución de las herramientas utilizadas para efectuar cálculos y resolver problemas ha habido siempre, por supuesto, un efecto sobre la manera de hacer matemáticas. Desde los ábacos utilizados por numerosas culturas se llegó a inventos de enorme importancia, como las calculadoras mecánicas: la pascalina, diseñada por Blaise Pascal en 1642, o la extraordinaria máquina de Leibniz, presentada en 1673, con la que ya podían realizarse las cuatro operaciones aritméticas básicas, incluida la división. Cada uno de estos avances generó temores y contribuyó gradualmente a la desaparición de oficios ya tradicionales que dependían de la habilidad para efectuar cálculos manuales de forma rápida y precisa, como los de los calculistas que realizaban complejos cómputos numéricos para la astronomía, la navegación, la ingeniería o la administración.

El siguiente gran salto se produjo con la aparición de las calculadoras electrónicas hacia mediados del siglo XX. Estas máquinas, inicialmente costosas y reservadas a instituciones científicas, militares y empresariales, realizaban en segundos operaciones que antes requerían largos cálculos manuales. Ya en la década de 1970 se popularizaron, y los estudiantes universitarios podían adquirirlas para reemplazar las reglas de cálculo y las tablas logarítmicas en la ejecución de sus tareas en las asignaturas de matemáticas.

Desde entonces hemos ido abandonando algoritmos y procedimientos que antes aprendíamos tras dedicarles mucho tiempo. Pensemos, por ejemplo, en el cálculo manual de una raíz cuadrada, tarea que estoy seguro de que la mayoría de los lectores no podría realizar hoy sin detenerse primero a recordar el procedimiento. Sería prácticamente imposible, por ejemplo, determinar en pocos minutos el valor de √17,3 sin la ayuda de una calculadora.

Como había ocurrido con innovaciones anteriores, la llegada de estos instrumentos de cálculo despertó inquietudes entre quienes temían que las nuevas tecnologías sustituyeran habilidades que durante siglos habían sido altamente valoradas. Sin embargo, lejos de hacer innecesarias las matemáticas, las calculadoras electrónicas permitieron abordar problemas cada vez más complejos y liberaron a los investigadores de numerosas tareas rutinarias, permitiéndoles concentrarse en los aspectos conceptuales de su trabajo. Del mismo modo, los profesores de matemáticas pudieron dedicar menos tiempo a la ejecución mecánica de los cálculos y más a la comprensión de los conceptos y a sus aplicaciones. Como era de esperar, esta transformación introdujo cambios importantes y exigió nuevas formas de adaptación.

Pero la verdadera transformación llegó con la aparición de los computadores. A diferencia de las calculadoras electrónicas, que estaban concebidas principalmente para realizar operaciones numéricas, los computadores podían ejecutar secuencias de instrucciones y resolver una gran variedad de tareas. Surgió así la programación, es decir, el arte de describir mediante algoritmos precisos los pasos necesarios para resolver un problema. Durante décadas, aprender a programar se convirtió en una habilidad fundamental para científicos, ingenieros y matemáticos, del mismo modo que antes lo había sido dominar las técnicas de cálculo manual.

Los computadores no eliminaron la necesidad de pensar; por el contrario, exigieron nuevas formas de razonamiento y obligaron a expresar con claridad procedimientos que hasta entonces muchas personas realizaban de manera intuitiva. Surgieron así nuevos problemas matemáticos y computacionales: fue necesario desarrollar algoritmos y métodos numéricos eficientes, que requirieran poca memoria, ejecutaran los cálculos en tiempos razonables y produjeran resultados fiables a pesar de los errores de redondeo propios de la aritmética de máquina. 

Y, una vez más, la historia se repitió: aparecieron nuevas profesiones y nuevas áreas de especialización, mientras algunos oficios tradicionales fueron perdiendo relevancia o desaparecieron por completo.

El desarrollo de computadores cada vez más veloces y capaces permitió, como está ocurriendo ahora, resolver problemas matemáticos que habían permanecido abiertos durante siglos. Un ejemplo particularmente interesante del impacto de los computadores en las matemáticas ocurrió en 1966, cuando L. J. Lander y T. R. Parkin utilizaron un computador CDC 6600 para encontrar un contraejemplo a la conjetura de Euler, formulada en 1769. Este computador, diseñado por Seymour Cray, pertenecía a una línea de máquinas que daría origen posteriormente a los famosos supercomputadores Cray. Considerado el computador más rápido del mundo en su época, el CDC 6600 podía ejecutar aproximadamente tres millones de operaciones de coma flotante por segundo, una cifra extraordinaria para mediados de la década de 1960. El resultado obtenido por Lander y Parkin mostró que cuatro quintas potencias pueden sumar otra quinta potencia, contradiciendo una creencia que había permanecido vigente durante casi dos siglos.

Nadie podía imaginar entonces que llegaría un momento en el que las máquinas no solo ejecutarían instrucciones escritas por los seres humanos, sino que comenzarían también a generar respuestas, textos e incluso programas a partir de simples indicaciones formuladas en lenguaje natural. Así surgió la inteligencia artificial generativa, una herramienta que, al igual que la imprenta, las calculadoras electrónicas o los computadores, ha despertado entusiasmo y preocupación a partes iguales.

Sin embargo, su impacto va más allá de la automatización de tareas rutinarias. Apenas la semana pasada se anunció una posible solución a uno de los Problemas del Milenio, el relacionado con las ecuaciones de Navier-Stokes, obtenida con ayuda de un sistema de inteligencia artificial que coordinó miles de agentes computacionales trabajando de manera simultánea. Si este resultado resiste el escrutinio de los especialistas, podría convertirse en uno de los hitos más importantes de la historia reciente de las matemáticas y en una muestra de cómo las nuevas herramientas, lejos de eliminar la actividad matemática, están transformando profundamente la forma en que se produce el conocimiento matemático.

Pero, ante los nuevos temores sobre una eventual pérdida de relevancia de la labor matemática debido a la inteligencia artificial, merece la pena considerar la posición de Terence Tao, uno de los matemáticos más influyentes y reconocidos de nuestro tiempo. En diversas ocasiones ha defendido el uso de estas herramientas, aunque con matices: ha llegado a compararlas con un asistente de posgrado «mediocre, pero no del todo incompetente», capaz de colaborar en tareas rutinarias, pero sin la capacidad de aprender de sus errores que sí tienen los estudiantes humanos. Sin embargo, también ha señalado un posible riesgo: que la obtención demasiado rápida de la solución de un problema pueda privar a la comunidad matemática de algunos de los beneficios que tradicionalmente han surgido durante la búsqueda de esa solución. En efecto, el esfuerzo por resolver un problema no solo conduce a una respuesta, sino que suele dar origen a nuevas áreas de estudio, estructuras matemáticas, teorías, métodos y preguntas que terminan siendo tan valiosos como la solución misma.

De hecho, es importante resaltar que, de acuerdo con lo que ha expresado Tao, las tareas que realizan los matemáticos no se reducen a resolver problemas difíciles. Entre ellas se encuentran la aplicación de las teorías matemáticas a otros campos del conocimiento, la búsqueda de soluciones a problemas abiertos, tanto puros como aplicados, y la investigación que conduce al desarrollo de nuevas teorías, estructuras, métodos y técnicas. Los matemáticos también contribuyen a una mejor comprensión del mundo que nos rodea, sostienen una comunidad científica que se transmite y renueva de generación en generación, forman a nuevos investigadores y señalan posibles caminos para el desarrollo futuro de la disciplina. A ello se suman la divulgación, la docencia y la formación matemática de profesionales de muy diversos campos. En última instancia, las matemáticas son también una actividad profundamente creativa, capaz de producir construcciones intelectuales de extraordinaria belleza y de un valor cultural que trasciende su utilidad inmediata.

Vista desde esta perspectiva, la inteligencia artificial no parece una amenaza para la existencia de las matemáticas, sino una nueva herramienta que, como tantas otras a lo largo de la historia, obligará a redefinir algunas destrezas, transformará ciertos oficios y abrirá oportunidades cuya magnitud todavía no alcanzamos a comprender plenamente.

Y, como cierre, quiero compartir un pronunciamiento de especial relevancia. El pasado 11 de septiembre, veinticinco ganadores de la Medalla Fields, el máximo reconocimiento en matemáticas, publicaron una declaración encabezada por Terence Tao acerca de los desafíos y oportunidades que plantea la inteligencia artificial para el futuro de la investigación matemática. Lejos de rechazar estas nuevas herramientas, los firmantes reconocen su enorme potencial, pero advierten también sobre los riesgos que podrían derivarse de privilegiar la obtención rápida de resultados por encima de la comprensión profunda, la formación de nuevos matemáticos y el desarrollo de ideas que constituyen la esencia misma de la actividad matemática.

Una grave falta de alineación entre la IA y las matemáticas

11 de septiembre de 2026 en publicidad, opinión | Etiquetas: IA, Medallas Fields | por Terence Tao

Me enorgullece figurar entre los 25 firmantes iniciales, todos ellos galardonados con la Medalla Fields, de la declaración que aparece a continuación, surgida de las conversaciones mantenidas entre nosotros durante la última semana. También hemos publicado nuestra declaración en una página web e invitamos a nuevas adhesiones, de manera similar a la Declaración de Leiden. Es una lástima que no hayamos tenido tiempo para un proceso más participativo, como ocurrió con Leiden; sin embargo, consideramos que la situación era lo suficientemente urgente como para publicar una declaración cuanto antes.

Véase también un reciente artículo de The Economist sobre nuestra declaración.

Durante los últimos meses, las capacidades matemáticas de los grandes modelos de lenguaje (LLM) han mejorado de forma espectacular, hasta el punto de que pueden resolver importantes problemas abiertos en numerosos campos de las matemáticas. Sin embargo, el empeño de las empresas de IA por resolver problemas matemáticos como criterio de referencia resulta perjudicial para la ciencia matemática y para la comunidad matemática. Los objetivos de las empresas de IA y los objetivos de la comunidad matemática están gravemente desalineados. Consideramos que esto forma parte de problemas más amplios de alineamiento que afectan también a otras profesiones científicas y creativas, así como al conjunto de la sociedad.

La investigación matemática se ocupa de comprender las estructuras fundamentales de las formas, los números y los fenómenos naturales. A lo largo de generaciones, ha construido un vasto corpus de ideas sofisticadas, métodos, abstracciones y otras herramientas para comprender el paisaje matemático. A su vez, las tecnologías y ciencias modernas se fundamentan en herramientas matemáticas.

Los problemas famosos han servido a menudo como hitos y faros que permiten medir una comprensión más profunda de ese paisaje. Resolver uno de estos problemas ha sido siempre una señal inequívoca de nuevas intuiciones y métodos interesantes, que posteriormente eran estudiados por una comunidad de matemáticos mediante un largo y arduo proceso de conferencias, discusiones y simplificaciones. Idealmente, al final de ese proceso se obtiene una presentación de los resultados apta para un libro de texto, accesible para cualquier estudiante de máster o incluso de grado. Algunas de estas ideas matemáticas continúan su recorrido y, décadas o siglos después, llegan a convertirse en herramientas comprendidas y utilizadas por toda la población.

La comunidad matemática funciona, en muchos sentidos, como una versión en miniatura de la humanidad. Está formada por individuos que emplean una amplia variedad de enfoques distintos, unidos por valores fundamentales compartidos. Los recursos más valiosos de nuestra profesión son los estudiantes y las ideas, y los cultivamos con enorme cuidado. Nos sentimos responsables de permitirles desarrollarse hasta alcanzar todo su potencial, para que puedan llevar una vida propia dentro del mundo matemático. A los estudiantes solemos proponerles problemas con la intención principal de desarrollar capacidades que los sitúen en una buena posición para realizar avances en investigación y en otros ámbitos. Nuestras ideas las difundimos mediante conferencias, conversaciones privadas y exposiciones escritas cuidadosamente elaboradas, conectándolas con las ideas previas de otras personas. Estos procesos requieren invariablemente tiempo y se basan en la interacción humana.

En los últimos meses, el éxito de la IA al resolver importantes problemas matemáticos ha ocupado titulares incluso fuera de los círculos matemáticos. Pero resolver problemas es únicamente una herramienta y un indicador indirecto para alcanzar el objetivo principal: la comprensión conceptual y la generación de intuiciones profundas. Olvidar esto en el contexto de la IA puede convertir la herramienta en un obstáculo para ese objetivo. De hecho, la producción masiva y cada vez más acelerada de proposiciones «verdaderas o falsas» podría destruir un terreno fértil en lugar de insuflar vida a nuevas ideas.

Con frecuencia, estas soluciones se anuncian precipitadamente, sin dejar tiempo para una redacción adecuada, para identificar y aislar los nuevos métodos e ideas, ni para citar debidamente los trabajos previos relevantes de otros investigadores. Como ocurre en todas las profesiones creativas, esto plantea graves cuestiones de atribución y plagio. Además, sin los matemáticos dispuestos a encargarse de su desarrollo e integración en el canon matemático, las ideas concebidas por la IA nunca llegarían a cobrar plenamente vida y se perdería la crucial cadena humana de transmisión del conocimiento entre matemáticos.

Estamos siendo testigos de una amenaza general para el trabajo intelectual, derivada del desalineamiento entre los resultados producidos mediante el uso de la IA y los fines originales de dicho trabajo. En muchos campos y actividades, los años de formación no han servido únicamente para producir una respuesta final o un producto terminado, sino también para desarrollar comprensión y capacidad para formular nuevas preguntas e ideas. Sin embargo, apoyándose en un inmenso cuerpo de trabajo humano previo, los sistemas de IA son cada vez más capaces de producir directamente los resultados de dicho trabajo, y los objetivos dejan de coincidir. Los problemas a los que se enfrenta hoy la comunidad matemática son similares a los que ya experimentan otras profesiones científicas y creativas, y apuntan a cuestiones que podrían afectar a toda la humanidad: cómo garantizar que, a medida que la IA transforma la manera de trabajar, no perdamos de vista aquello que ese trabajo pretendía alcanzar en primer lugar.

La IA ofrece el potencial de mejorar y acelerar el estudio y la comprensión auténticamente matemáticos. Como profesión, las matemáticas deberán adaptarse a estos cambios de diversas maneras. Sin embargo, que esos cambios beneficien finalmente al campo o tengan un efecto destructivo dependerá en gran medida de las decisiones que tomen los seres humanos que controlan esta nueva tecnología.

Estos problemas deben abordarse con urgencia, tanto en la comunidad matemática como por parte de las empresas que desarrollan estas tecnologías y, de forma más amplia, por una sociedad que se enfrentará a cuestiones similares en muchas otras formas de trabajo intelectual.

Firmantes iniciales

• Artur Avila (Medalla Fields 2014)
• Manjul Bhargava (Medalla Fields 2014)
• Caucher Birkar (Medalla Fields 2018)
• Pierre Deligne (Medalla Fields 1978)
• Yu Deng (Medalla Fields 2026)
• Simon Donaldson (Medalla Fields 1986)
• Hugo Duminil-Copin (Medalla Fields 2022)
• Alessio Figalli (Medalla Fields 2018)
• Martin Hairer (Medalla Fields 2014)
• June Huh (Medalla Fields 2022)
• Maxim Kontsevich (Medalla Fields 1998)
• Elon Lindenstrauss (Medalla Fields 2010)
• Pierre-Louis Lions (Medalla Fields 1994)
• James Maynard (Medalla Fields 2022)
• Curt McMullen (Medalla Fields 1998)
• Shigefumi Mori (Medalla Fields 1990)
• Ngô Bảo Châu (Medalla Fields 2010)
• Andrei Okounkov (Medalla Fields 2006)
• Peter Scholze (Medalla Fields 2018)
• Stanislav Smirnov (Medalla Fields 2010)
• Terence Tao (Medalla Fields 2006)
• Maryna Viazovska (Medalla Fields 2022)
• Cédric Villani (Medalla Fields 2010)
• Wendelin Werner (Medalla Fields 2006)
• Efim Zelmanov (Medalla Fields 1994)

El premio es otorgado por el Instituto Clay de Matemáticas, una fundación estadounidense sin ánimo de lucro dedicada a promover y estimular la investigación matemática. Además de diversos programas de apoyo y reconocimientos para matemáticos destacados, el Instituto estableció en el año 2000 su iniciativa más conocida: la selección de siete grandes problemas abiertos, denominados «Problemas del Milenio», y la oferta de un premio de un millón de dólares para quien consiguiera resolver cualquiera de ellos.

Entre esos desafíos figura la «hipótesis de Riemann», uno de los problemas más célebres de las matemáticas. Su importancia ha sido resaltada en numerosas ocasiones, entre ellas por el matemático alemán David Hilbert (1862-1943), quien afirmó:

«Si despertara después de haber dormido mil años, mi primera pregunta sería: “¿Ha sido demostrada la hipótesis de Riemann?”».

La lista de los siete Problemas del Milenio también incluye la «conjetura de Poincaré», las «ecuaciones de Navier-Stokes» y la «conjetura de Hodge», entre otros. Hasta la fecha, solo uno de los siete problemas ha sido resuelto: la conjetura de Poincaré, demostrada en 2003 por el matemático ruso Grigori Perelman. Sin embargo, Perelman rechazó tanto los reconocimientos académicos asociados a su logro como el premio de un millón de dólares ofrecido por el Instituto Clay.

El pasado 8 de septiembre se anunció una posible solución de otro de los Problemas del Milenio: el relacionado con las ecuaciones de Navier-Stokes. Según la información difundida, la solución se habría obtenido con ayuda de la inteligencia artificial, lo que ha suscitado un intenso debate acerca del mérito de este posible logro. Buena parte de la discusión gira en torno al papel desempeñado por los matemáticos españoles Diego Córdoba y Luis Martínez-Zoroa, cuyos trabajos y métodos habrían proporcionado la base sobre la que la IA pudo alcanzar la solución presentada.

Sin embargo, en medio de todo el alboroto suscitado no solo por la posible resolución de otro de los Problemas del Milenio, sino también por el alcance que parecen estar adquiriendo las herramientas de inteligencia artificial, resulta especialmente sensato el pronunciamiento que hizo público el Instituto Clay de Matemáticas el pasado 11 de septiembre. No hay que olvidar que es precisamente esta institución la que ofrece el premio de un millón de dólares para quien logre resolver alguno de esos problemas.

A continuación comparto dicho comunicado, para que los lectores puedan conocer de primera mano cuál es la posición del Instituto y comprender mejor el verdadero alcance de este anuncio.

Los Problemas del Milenio fueron presentados por el Instituto Clay de Matemáticas (Clay Mathematics Institute, CMI) en una reunión celebrada en París en el año 2000 para conmemorar «La universalidad del pensamiento matemático».

Estos problemas representan algunos de los desafíos más difíciles que ocupaban a los matemáticos en el cambio de milenio. Al formularlos y asociar a cada uno un premio de un millón de dólares, el CMI perseguía tres objetivos: destacar ante el público general que la frontera de las matemáticas sigue abierta y está llena de importantes problemas sin resolver; subrayar el valor duradero de trabajar en las cuestiones más profundas y difíciles; y reconocer logros matemáticos de trascendencia histórica.

Cada uno de los Problemas del Milenio se refiere a una cuestión clásica de gran importancia que había resistido todos los intentos de resolución durante muchos años. No se trata de acertijos arbitrarios semejantes a complejos crucigramas. Son, por el contrario, desafíos fundamentales que marcan la frontera del conocimiento humano y nos obligan a desarrollar nuevas estructuras y métodos. Constituyen puntos de referencia en la continua lucha, a través de generaciones y culturas, por profundizar nuestra comprensión de las matemáticas y del universo que estas describen. Las innovaciones profundas necesarias para avanzar significativamente en estos problemas suelen abrir nuevas perspectivas que van mucho más allá del ámbito específico de cada cuestión.

El Problema del Milenio relativo al movimiento de los fluidos posee todas estas características. El problema se refiere a la existencia y suavidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en el espacio euclídeo tridimensional. En los últimos años ha crecido la expectativa a medida que diversos avances en áreas relacionadas, algunos reconocidos con el Premio de Investigación Clay, han alimentado la esperanza de que el problema de Navier-Stokes pudiera resolverse pronto. La creciente capacidad de las nuevas tecnologías para acelerar la investigación matemática ha intensificado aún más esa expectativa.

Hoy, el CMI comparte la emoción de la comunidad matemática mundial ante el anuncio de que el problema de Navier-Stokes aparentemente ha sido resuelto. Esperamos asistir a una nueva ola de comprensión humana impulsada por las innovaciones que sustentan este trabajo, a medida que sean analizadas y estudiadas en profundidad.

El Instituto Clay de Matemáticas está dedicado a promover la belleza, el poder y la universalidad del pensamiento matemático. La custodia y promoción de los Problemas del Milenio constituye una de las formas más importantes en que persigue este objetivo. Las reglas que rigen estos premios describen el proceso mediante el cual se evaluarán los resultados obtenidos y se atribuirá el mérito correspondiente. Este proceso es deliberadamente pausado, pero iremos proporcionando información actualizada.

Instituto Clay de Matemáticas.

Como puede apreciarse, todavía será necesario esperar tanto la validación de los resultados por parte de la comunidad matemática como la eventual atribución del mérito correspondiente.

@MantillaIgnacio

Enseñanza tradicional en 1960

Un campesino vende una carga de café por 500 pesos. La carga equivale a 10 arrobas (125 kilos) y, en el exterior, la arroba se paga a 4 dólares. ¿Cuánto gana el intermediario si el tipo de cambio es de 20 pesos por dólar?

Enseñanza estructurada en 1965

Un campesino vende una carga de café por 750 pesos. La carga equivale a 10 arrobas (125 kilos). Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta. ¿Cuánto cuesta producir una arroba?

Enseñanza motivadora en 1970

Un campesino vende una carga de café por 1000 pesos. Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta. ¿Cuánto ganaría el campesino si vende dos cargas?

Enseñanza clara en 1975

Un campesino vende una carga de café por 2500 pesos. Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta. ¿Cuál es su ganancia?

Enseñanza reflexiva en 1980

Un campesino vende una carga de café por 5000 pesos. Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta, es decir, 4000 pesos. ¿Cuál es su ganancia?

Enseñanza significativa en 1985

Un agricultor comercializa una carga de café. Sus gastos de producción ascienden a 5000 pesos y su ganancia es de 1000 pesos ¿en cuánto comercializó el café?

Enseñanza organizada en 1990

Un agricultor comercializa una carga de café. La carga tiene 10 arrobas, que equivalen a 125 kilos. ¿Cuántos kilos tiene una arroba?

Enseñanza innovadora en 1995

Ahora los profesores de matemáticas se ven obligados a reforzar la teoría de conjuntos.

Un agricultor intercambia un conjunto C de arrobas de café, cuyo cardinal es 10, por un conjunto P de miles de pesos. ¿Cuál es el cardinal de P si el agricultor recibe 10 miles de pesos?

Enseñanza sistemática en 2000

Un agricultor intercambia un conjunto C, que contiene 10 arrobas de café, por un conjunto P, que contiene 10 paquetes de billetes. Dibuja cada conjunto utilizando puntos negros para las arrobas y puntos rojos para los paquetes de billetes.

Enseñanza metódica en 2005

Las matemáticas deben dejar enseñanzas de conteo.

Un agricultor comercializa cargas de café. Cada carga tiene 10 arrobas. Subraya las palabras cargas y arroba. ¿Cuántas letras iguales contienen?

Enseñanza didáctica en 2010

Un agricultor comercializa cargas de café. Cada carga tiene 10 arrobas. Escribe en forma vertical las palabras cargas y arroba y dibuja flechas que unan las letras iguales.

Enseñanza conceptual en 2015

Un agricultor comercializa su café. Escribe la palabra a‑g‑r‑i‑c‑u‑l‑t‑o‑r. ¿Cuántas letras tiene?

Enseñanza dirigida en 2020

Las matemáticas deben trascender al estudiante mediante proyectos de aprendizaje en todas las áreas.
Actividades de investigación interdisciplinaria a partir de la afirmación:

“Existe un agricultor que comercializa café”.

Matemáticas: Escribe la palabra agricultor tres veces seguidas y usa la calculadora para contar cuántas letras hay. 

Economía: ¿Dónde se puede comprar café? 

Lenguaje: ¿Por qué la palabra café lleva tilde? 

Ciencias: ¿El café es un vegetal o un mineral? Justifica tu respuesta.

Geografía: ¿Dónde se cultiva café? No se permite el uso de Google.

Derecho: ¿Es lícito cultivar café? 

Tecnología: ¿Cómo suena una cafetera cuando prepara el café? 

Sociología: ¿Qué papel juega el café en la vida social? ¿Es bebida, ritual, excusa para conversar, o simplemente un estimulante emocional?

Medicina: ¿Altera los nervios el café?

Química: ¿Por qué cambia de color el café si se le agrega leche?

Estadística: Si dos personas toman cuatro tazas de café al día, ¿cuántas tazas en promedio toma cada una?

Geometría: Dibuja una taza de café en forma cilíndrica

Ingeniería: Ponle una orejita al dibujo anterior

Psicología: Refuerzo para la toma de decisiones con personalidad: escribe lacalificación que debemos darte eligiendo un número entre 30 y 50: _ _. Recuerda que 50 > 30, esto significa que 50 es mayor que 30, o sea el número más grande es 50. Y para aprobar necesitas una calificación mayor que 30. Si te equivocaste por esta confusión puedes tachar y cambiar poniendo ahora la calificación que mereces.

Enseñanza analítica en 2026

Y llegamos a la actualidad en la que hay que combinar la lectura crítica y evitar el uso indebido de la IA.

Lectura crítica: el hacendado propietario de una finca cafetera es un latifundista, explotador e intermediario de las multinacionales; un individuo al servicio del capitalismo para enriquecerse comercializando café. Mientras tanto, el campesino trabaja de sol a sol y cultiva café. Mientras el campesino sí sabe qué es madrugar (su despertador es el gallo) y sí distingue entre una cereza madura y una que todavía está verde; el hacendado solo distingue entre “ganancia bruta” y “ganancia neta”, pero confunde la mata de café con un bonsái decorativo.

En las reuniones, el hacendado proclama solemnemente:

—“Sin mi gestión, este café no llegaría al mercado”.

Y el campesino piensa:

—“Sin mi trabajo, este café no llegaría ni a la mata”.

Responde las siguientes preguntas, pero antes:

1. Demuestra que eres un humano.
2. Responde y califica tus respuestas después de jurar que no has usado IA para contestar a los siguientes interrogantes planteados.

¿Dónde viven los gallos?

¿Madrugan todos los gallos?

¿Distinguen los gallos las cerezas maduras?

¿La mata de café es como un bonsái decorativo?

¿El campesino y el hacendado toman café cuando canta el gallo?

@MantillaIgnacio

El salto conceptual más notable llega con los números imaginarios y, en general, con los complejos, que amplían el ámbito de las soluciones posibles y permiten abordar problemas más generales. Cada nuevo conjunto numérico no reemplaza a los anteriores: los contiene y los extiende.

Y dentro de todos esos conjuntos existen algunos subconjuntos que despiertan especial interés, como es el caso de los números primos, y otros menos famosos, como el de los trascendentes, pero también los hay bastante curiosos y menos conocidos. De uno de estos últimos justamente les quiero hablar en esta nota. Se trata de los Conjuntos de Sidon, que son los conjuntos de números enteros positivos con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos del conjunto son distintas. 

Por ejemplo, el conjunto

$\{1, 3, 5, 11, 15, 22\}$

no es un conjunto de Sidon, pues aparecen sumas repetidas de dos elementos del conjunto:

$1 + 15 = 5 + 11.$

En cambio, el conjunto

$\{1, 2, 4, 8, 13, 21\}$

sí es un conjunto de Sidon, porque todas las sumas de dos de sus elementos son distintas entre sí. Estos conjuntos recibieron su nombre en honor al matemático húngaro Simon Sidon, quien introdujo este concepto en el contexto de sus investigaciones sobre las series de Fourier.

En 1932, Sidon planteó a uno de sus alumnos —quien más tarde se convertiría en el destacado matemático Paul Erdős— el siguiente problema:

¿Cuál es el mayor tamaño posible de un conjunto de números enteros positivos, todos ellos menores que un número dado, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto sean distintas entre sí?

Este problema aritmético, con un marcado sabor combinatorio, cautivó al joven Erdős y se convirtió desde entonces en uno de sus temas recurrentes de investigación. Construir conjuntos de Sidon no es difícil; lo verdaderamente interesante es hacerlo, tal como plantea el problema, con el mayor número posible de elementos.

Si intentamos, por ejemplo, seleccionar la mayor cantidad de enteros positivos entre los 35 primeros de manera que todas las sumas de dos de ellos sean distintas, no tendremos dificultad en elegir unos pocos, pero las restricciones se vuelven cada vez más severas a medida que añadimos nuevos elementos. Para este caso —los 35 primeros enteros positivos— puede demostrarse que el conjunto

$\{1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35\}$,

de solo ocho elementos, es un conjunto de Sidon de tamaño máximo.

Existe una cota muy fácil de recordar para el tamaño máximo de los conjuntos de Sidon cuyos elementos son menores que un número $n$. Es decir, para estimar cuántos enteros positivos pueden elegirse entre los primeros $n$ de modo que todas las sumas de dos de ellos sean distintas. Aunque su demostración escapa al alcance de esta nota, la cota puede expresarse de manera muy compacta como:

$|A| \leq \sqrt{2n} + 1$.

Una cota más refinada se obtiene mediante

$|A| \leq \sqrt{n} + \sqrt[4]{n} + 1,$

que ajusta mejor el crecimiento real del tamaño máximo de estos conjuntos.

Desde la aparición de estos conjuntos surgió de inmediato la pregunta por su posible generalización: qué ocurre si se permite que haya dos sumas iguales, o incluso tres. Este problema, que permaneció abierto durante casi ochenta años, fue resuelto en 2010 por tres matemáticos: los españoles Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa, y el húngaro Imre Ruzsa.

Recientemente se han encontrado aplicaciones de los conjuntos de Sidon en las telecomunicaciones, en particular en el diseño de radares, sonares y detectores de señales que pueden identificarse mediante cambios de frecuencia. 

Los conjuntos de Sidon son un buen ejemplo de cómo ciertos conceptos matemáticos, surgidos de preguntas puramente teóricas, pueden desarrollarse hasta generar trabajos profundos y, al mismo tiempo, aplicaciones insospechadas.

@MantillaIgnacio

Contar bien es esencial. Y, aunque muchos lo consideran una tarea simple, en realidad el acto de contar encierra más sutilezas de las que parece. En realidad, existen numerosos problemas que requieren reflexión antes de responder apresuradamente. Un ejemplo clásico es el siguiente: si en una reunión diez personas se saludan estrechándose la mano, ¿cuántos apretones se realizan en total?

En este caso, para llegar a la respuesta correcta conviene razonar paso a paso. La primera persona estrecha la mano con las otras nueve; la segunda lo hace con ocho, pues el saludo con la primera ya fue contado; la tercera con siete, dado que los dos anteriores ya se registraron; y así sucesivamente: seis para la cuarta, cinco para la quinta, cuatro para la sexta, tres para la séptima, dos para la octava y uno para la novena. Los saludos de la décima persona ya quedaron incluidos en los anteriores.

En total:

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45

Por tanto, se realizan 45 apretones de mano.

Después de esta breve introducción, pasemos al tema del Mundial de Fútbol 2026, que está a punto de comenzar. El propósito ahora es determinar cuántos partidos se disputarán en el torneo. Antes de hacerlo, conviene recordar que en el último Mundial, celebrado en Catar en 2022, participaron 32 equipos; en cambio, esta vez serán 48 selecciones las que competirán.

En el Mundial pasado se conformaron 8 grupos de 4 equipos cada uno.

Cada grupo disputó un torneo de todos contra todos, y avanzaron a la siguiente ronda 16 equipos, es decir, los dos mejores de cada grupo. Estos equipos se organizaron en 8 parejas y, a partir de allí, el campeonato continuó bajo el formato de eliminación directa: el equipo que perdía quedaba eliminado.

En la ronda inicial, cada grupo de cuatro equipos disputó un torneo de todos contra todos. Siguiendo el razonamiento del ejemplo de los saludos, esto equivale a

3 + 2 + 1 = 6

partidos por grupo. En consecuencia, en la fase de grupos se jugaron:

6 x 8 = 48

partidos.

Posteriormente, para que quedara un único campeón, fue necesario eliminar a 15 de los 16 equipos clasificados, lo que implicó 15 partidos de eliminación directa. El desglose es el siguiente:

Octavos de final (16 equipos): 8 partidos

Cuartos de final (8 equipos): 4 partidos

Semifinales (4 equipos): 2 partidos

Final (2 equipos): 1 partido

En total, la fase de eliminación directa sumó:

8 + 4 + 2 + 1 = 15

partidos.

Además, suele disputarse el partido por el tercer puesto: 1 partido.

De este modo, el Mundial de Catar 2022 registró:

48 + 15 + 1 = 64

partidos disputados.

Se observa que $64 = 2^6$; es decir, en un torneo con $2^5 = 32$ equipos se disputan $2^{5+1}$ partidos. Surge entonces la pregunta de si puede generalizarse la fórmula 

$2^{n+1}$

para un torneo con $2^n$ equipos. 

Veamos: 

Si fuesen $2^n$ equipos, entonces se formarían $2^{\,n-2}$ grupos de 4, cada uno con 6 partidos. El total de la fase inicial sería:

$2^{\,n-2} \cdot 6 = 3 \cdot 2^{\,n-1}.$

En la fase de eliminación directa, de los $2^n$ equipos iniciales debe surgir un campeón. Como ya se ha eliminado a la mitad de ellos, esto implica disputar el siguiente número de partidos:

$\frac{2^n}{2} – 1 = 2^{\,n-1} – 1$.

Por lo tanto, el número total de partidos sería:

$3 \cdot 2^{\,n-1} + (2^{\,n-1} – 1) = 4 \cdot 2^{\,n-1} – 1 = 2^{\,n+1} – 1.$

Si además se incluye el partido por el tercer lugar, el total asciende a:

$2^{\,n+1}$

partidos. Por lo tanto, en los torneos con $2^n$ equipos se disputan en total $2^{\,n+1}$ partidos.

Pero el Campeonato Mundial de 2026, que se disputará en México, Estados Unidos y Canadá, contará con 48 equipos, un número que no responde a la forma $2^n$, lo que modifica la fórmula anterior. En efecto, el Consejo de la FIFA aprobó un formato consistente en una fase inicial de 12 grupos de cuatro equipos, de los cuales clasificarán el primero y el segundo de cada grupo. A ellos se sumarán los ocho mejores terceros para completar la etapa de dieciseisavos de final (ronda de 32 equipos). De este modo, el equipo que se consagre campeón deberá disputar ocho partidos, en lugar de siete como ocurría en las últimas ediciones.

Veamos cuántos partidos se disputarán en total.

En la fase inicial, cada grupo de cuatro equipos jugará un torneo de todos contra todos. Siguiendo el mismo razonamiento, se disputarán 6 partidos por grupo, lo que da un total de:

6 x 12 = 72

partidos en la primera fase.

En la etapa posterior a la fase de grupos, clasificarán 32 equipos: los dos primeros de cada grupo más los ocho mejores terceros. Con ellos se inicia la fase de eliminación directa —la llamada ronda de 32—, que en conjunto comprende 32 partidos, incluyendo el encuentro por el tercer puesto. El desglose es el siguiente:

Dieciseisavos de final (32 equipos): 16 partidos

Octavos de final (16 equipos): 8 partidos

Cuartos de final (8 equipos): 4 partidos

Semifinales (4 equipos): 2 partidos

Final (2 equipos): 1 partido

En total, esta fase suma 31 partidos, que al añadir el partido por el tercer lugar ascienden a 32.

El resultado global es entonces:

Fase de grupos: 72 partidos

Eliminación directa y tercer puesto: 32 partidos

Total: 72 + 32 = 104 partidos

De este modo, el Mundial 2026 será el primero en la historia con más de 100 partidos disputados.

Si observamos que $48 = 32 + 16 = 2^5 + 2^4$, podemos deducir una fórmula general para un torneo con

$2^n + 2^{\,n-1}$

equipos.

Siguiendo el mismo razonamiento que antes, el número total de partidos se obtiene de la suma de dos componentes:

Fase de grupos: cada grupo está formado por 4 equipos, y en un torneo de todos contra todos se disputan 6 partidos, como ya hemos visto. El número de grupos es:

$\frac{2^n + 2^{n-1}}{4} = \frac{2^n + 2^{n-1}}{2^2} = 2^{-2}(2^n + 2^{n-1}) = 2^{n-2} + 2^{n-3} = (2 + 1) \cdot 2^{n-3} = 3 \cdot 2^{n-3}$.

Por lo tanto, el total de partidos en la fase de grupos es:

$6 \cdot \left(3 \cdot 2^{\,n-3}\right) = 18 \cdot 2^{\,n-3} = 9 \cdot 2^{\,n-2}$.

Eliminación directa más partido por el tercer puesto: en esta fase participan $2^n$ equipos que corresponden a los dos mejores de cada grupo, o sea $3 \cdot 2^{\,n-2}$ y los $2^{n-2}$ mejores terceros. Con este número de equipos, la fase de eliminación directa requiere $2^n – 1$ partidos para determinar al campeón; al añadir el encuentro por el tercer puesto, el total asciende exactamente a $2^n$ partidos.

En consecuencia, el total de partidos es:

$9 \cdot 2^{\,n-2} + 2^n = 2^{\,n-2}(9 + 4) = 13 \cdot 2^{\,n-2}.$

Para el Campeonato Mundial de 2026, con $n=5$, se comprueba que el total de partidos asciende a 104.

Como puede advertirse, las matemáticas están presentes en todos los ámbitos; también se harán visibles en múltiples aspectos relacionados con el fútbol y con el torneo mundial que comenzará el próximo 11 de junio. Y si decides participar en una polla, antes de apostar recurre a la probabilidad y a la estadística como tus mejores consejeras.

@MantillaIgnacio

Existe una carta dirigida a Henry Oldenburg, de fecha 24 de octubre de 1676, en la que Newton comenta que Leibniz había desarrollado un método nuevo para él, refiriéndose a las series de potencias, lo que revelaría que incluso llegaron a trabajar juntos, pues tanto Leibniz como Newton, gracias a ese intercambio de cartas, pudieron haber conocido los avances del otro.

Aun cuando en 1713 la Real Sociedad determinó que Newton se había anticipado a Leibniz algunos años, esta conclusión no fue aceptada por todos y la disputa tomó muchos años, hasta después de muertos los dos. Hoy en día se acepta que ambos llegaron al cálculo independientemente, por lo que no hubo plagio.

Pero hay que reconocer que Leibniz tuvo que enfrentar a un gigante de la ciencia como lo fue Isaac Newton, tarea que para la época nadie hubiese querido realizar; sin embargo, Leibniz no fue un enano de la ciencia, sino uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, reconocido como «el último genio universal». Realizó profundas e importantes contribuciones en áreas de filosofía, matemáticas, física, geología, jurisprudencia e historia. 

Leibniz presentó en Londres su desarrollo del cálculo, así como una máquina calculadora que había estado diseñando y construyendo desde 1670, la primera máquina de este tipo que podía ejecutar las cuatro operaciones aritméticas básicas. Por estos aportes, la Real Sociedad, muy complacida, le nombró miembro externo.

Menos conocida es la controversia que existió entre Newton y Raphson por la invención del conocido «método de Newton» o «método de Newton-Raphson» para calcular ceros de funciones en forma aproximada. El matemático inglés Joseph Raphson (1668-1715) fue nombrado miembro de la Real Sociedad en 1689, cuando tenía apenas 21 años de edad, a solicitud del célebre astrónomo, físico y matemático Edmond Halley, y su elección se basó principalmente en la solidez de su trabajo. 

Según consta en las actas: “El Sr. Halley relató que el Sr. Raphson había inventado un método para resolver todo tipo de ecuaciones y dar sus raíces en series infinitas que convergen rápidamente, y que le había pedido que le propusiera una ecuación de quinta potencia, a la cual devolvió respuestas con siete cifras en mucho menos tiempo del que se podría haber logrado con los métodos conocidos de Vieta”. 

Este método, dado a conocer por Raphson y descrito en su libro Analysis aequationum universalis, publicado en 1690, es el que se denomina ahora método de Newton o método de Newton-Raphson, pues también Newton lo describió como un método para aproximar las raíces de una ecuación en su trabajo Method of Fluxions. La controversia surge aquí al intentar determinar quién es el autor del método, cuestión que vamos a tratar de aclarar a continuación.

El método Newton, o método de Newton-Raphson, es un poderoso procedimiento iterativo para resolver 

$f(x)=0$

cuando $f$ es una función continuamente diferenciable en una vecindad de la raíz buscada. Se trata de un método iterativo particular de punto fijo, tal como lo conocemos hoy, en el cual la función $f(x)$ se linealiza en $x_n$ para hallar $x_{n+1}$. Presentado con la notación que se usa actualmente (la de Leibniz), dado un valor inicial $x_0$, se define:

$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \quad n = 0,1,2,\dots$

La convergencia del método está garantizada siempre y cuando el valor inicial elegido esté suficientemente próximo a la raíz buscada.

En 1671, Newton describió ese método para aproximar ceros de polinomios y, como ejemplo, halló la raíz de la ecuación

$x^{3} – 2x – 5 = 0$

situada entre 2 y 3, obteniendo aproximadamente:

$x \approx 2.09455.$

Pero, aunque fue escrito en 1671, no se publicó hasta 1736, por lo que se afirma que Raphson dio a conocer el resultado casi cincuenta años antes que Newton. Las actas de la reunión de la Royal Society del miércoles 17 de diciembre de 1690 (calendario juliano) contienen una referencia al Análisis aequationum universalis de Raphson en los siguientes términos:

“El libro del Sr. Raphson fue publicado hoy por E. Halley, en el cual ofrece una notable mejora del método de resolución de todo tipo de ecuaciones, mostrando cómo extraer sus raíces mediante una regla general que duplica las cifras conocidas de la raíz obtenida en cada operación. De esta manera, al repetir el procedimiento tres o cuatro veces, se obtienen resultados con una precisión de ocho o diez cifras decimales. La Sociedad, muy complacida con su trabajo, le expresó su agradecimiento y le deseó que continuara con los estudios en los que ha tenido tanto éxito”.

El sábado 17 de enero de 1691 (calendario juliano) se presentó a la Royal Society un ejemplar del libro de Raphson como “un regalo del autor”.

La relación de Raphson con Newton es significativa, ya que entre ellos no hubo disputa alguna por el método. Raphson fue una de las pocas personas a quienes Newton permitía acceder a sus trabajos matemáticos, incluso llegó a traducir algunos de ellos del latín al inglés.

En 1691, Raphson y Edmond Halley participaron en los planes para publicar la obra de Newton de principios de la década de 1670 sobre la cuadratura de curvas, un proyecto que solo se concretó en 1704. Asimismo, se sabe que en 1711 Roger Cotes y William Jones propiciaron que Raphson pudiera consultar algunos de los trabajos de Newton para su proyecto de redactar la Historia de las Fluxiones, que no se publicó hasta 1715,  después de la muerte de Raphson, bajo el título Historia fluxionum.

En definitiva, la controversia se resuelve aceptando que Newton había descrito el método en 1671, antes de la publicación de Raphson, aunque aplicado exclusivamente a la aproximación de raíces de polinomios. Unos años más tarde, Raphson —quien había tenido acceso a este trabajo— publicó su propio método, más general, válido para el resto de funciones continuamente diferenciables. Por lo tanto, podemos concluir que Raphson partió del procedimiento de Newton para desarrollar su versión del método y que, en consecuencia, no existió un «robo» ni por parte de Newton ni de Raphson. Así, la denominación actual de «método de Newton-Raphson» constituye un justo reconocimiento a la historia de su aparición.

Como bien puede observarse, conocer la historia detrás de los aportes matemáticos que hoy disfrutamos nos permite valorar el esfuerzo y la dedicación de quienes nos transmitieron sus descubrimientos e invenciones.

@MantillaIgnacio

—Si lanzas una moneda al aire, la probabilidad de que salga sello es de 1/2; o sea, que tienes el 50 % de las posibilidades de ganar, pues solo hay dos posibles eventos: cara o sello —le explica el joven a su hermana. Y continúa hablando con entusiasmo—: si ahora lanzas un dado, la probabilidad de que caiga el 5 es de 1/6, o sea que tienes menos del 17 % de las posibilidades de ganar, pues hay seis posibles eventos, y así con cada cosa en la que quieras conocer tus oportunidades para ganar o acertar. 

En este punto su hermana lo interrumpe y le dice:

—¿O sea que la probabilidad de que mi bebé sea un niño es del 50 %? 

—Claro, pero mejor aún —responde el joven—: si tenemos en cuenta que la población de China es aproximadamente la quinta parte de la población mundial, la probabilidad de que sea chino es del 20 %.

Quiero compartirles una historia, que más que un chiste, parece una paradoja lógica. Se trata del anuncio que hace un profesor sobre la realización de un examen parcial. 

El docente protagonista de esta historia, respetado entre sus estudiantes y famoso por ser muy estricto, al terminar la última clase de la semana informa a sus alumnos que la próxima semana realizará un examen parcial sorpresa, que solo será anunciado el mismo día al inicio de la hora de la clase destinada para el examen y que por lo tanto deberán estar preparados porque no podrán conocer de antemano el día en que se realizará el examen.

Cuando el docente sale del aula uno de los estudiantes pasa al frente y les pide a sus compañeros que lo oigan un momento. 

—No es necesario prepararse, pues, según el anuncio del profe, no podrá haber sorpresa y, por lo tanto, no tendremos examen— dice el entusiasta joven a sus compañeros, y pasa a explicar por qué razón no habrá examen.

—Tenemos clase todos los días, de lunes a viernes; entonces, el examen no podrá realizarse el viernes porque es el último día posible y, si no lo realiza antes, entonces sabríamos con toda certeza, de antemano, que el examen es ese día; así que no puede realizarse el viernes. Recuerden que el profesor nos dijo que debíamos estar preparados porque solo podríamos saber el mismo día, al iniciar la hora de clase.

Y continuó con su razonamiento frente a sus compañeros:

—Y como no puede ser el viernes, entonces, por la misma razón, no podrá tener lugar el jueves, pues se violaría el anuncio del profesor, ya que, si no se ha realizado antes el examen, desde el día anterior sabríamos que es el jueves como última opción porque el viernes está descartado.

La expectativa y la atención de todos aumentó para oír al joven, quien prosiguió:

—Exactamente del mismo modo podemos descartar el miércoles y el martes, así que solo quedaría la opción del lunes, pero ya lo sabemos hoy; entonces, no podrá realizar el examen el lunes tampoco. Así que vamos a descansar, que no hay que preparar ningún examen.

El razonamiento del estudiante convenció a sus compañeros, quienes, muy tranquilos, sabiendo que su profesor no incurriría en un error lógico, salieron del salón despreocupados del examen.

A la semana siguiente, todos los estudiantes asistieron a clase el lunes y el martes. Pero para su gran sorpresa, el miércoles al iniciar la clase el profesor dijo: 

—Saquen una hoja, vamos a iniciar el examen.

Claramente no lo esperaban, y por lo tanto, se cumplió la sentencia del profesor cuando les anunció que solo lo sabrían el mismo día del examen.

Les dejo a los lectores la tarea de pensar en la solución a esta aparente «paradoja».

@MantillaIgnacio

Números afortunados: un número afortunado es un número entero $Q_n$, que resulta de la expresión 

$q-P_n = Q_n$

donde $P_n$ es el producto de los primeros $n$ números primos y $q$ es el número primo más pequeño que es mayor que $P_n+1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el menor primo $q$ mayor que $7 = (6+1)$ es $q=11$, entonces

$q-P_2 = Q_2 =11-6=5$,

por lo tanto $5$ es un número afortunado.

Si $n = 8$ tenemos que los primeros $8$ números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19$ cuyo producto es $9.699.690$. El menor primo inmediatamente mayor que $9.699.691$ es $q= 9.699.713$. Por lo tanto

$Q_8=q-P_8=9.699.713-9.699.690=23$

es un número afortunado.

Los números afortunados $Q_n$ pueden ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $Q_{10} ,Q_{12},Q_{17}$ son iguales al número $61$.

Los primeros números afortunados, omitiendo los repetidos para diferentes valores de $n$ son:

$3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, ….$

La autoría del nombre número afortunado es atribuida al antropólogo neozelandés Reo Franklin Fortune (1903-1979), quien ademas conjeturó que todos los números afortunados son primos. Y no sabría si el nombre que dio a estos números tiene qué ver directamente con su apellido.

Números de la suerte: No hay que confundir los números afortunados con los Números de la Suerte que se consiguen mediante una criba, como la conocida Criba de Eratóstenes, ingenioso algoritmo que es eficiente para encontrar los primeros números primos.

En el caso de los números de la suerte la criba consiste en ir tachando inicialmente todos los números que aparecen en las posiciones pares, así nos quedan los impares: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…$ Como el segundo número que ha quedado es el 3, tachamos ahora todos los que aparecen en las posiciones múltiplo de 3 y nos quedan ahora los números: $1, 3, 7, 9, 13,…$ Como el siguiente número que quedó es el 7, eliminamos ahora, como antes, todos los que aparecen en las posiciones que son múltiplo de 7 y continuamos en esta forma, así sucesivamente. Los números que sobreviven se denominan números de la suerte.

Los primeros números de la suerte son:

$1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127,…$

Números recostados: ahora bien, a partir de los números afortunados podríamos definir otro conjunto similar, que al beneficiarse de la existencia de estos, yo llamaría números recostados y que pueden definirse en forma parecida a los afortunados: un número recostado es un número entero $B_n$, que resulta de la expresión 

$P_n-r = B_n$

donde $P_n$  es, como arriba, el producto de los primeros $n$ números primos y $r$ lo definimos como el número primo más grande que es menor que $P_n-1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el mayor primo $r$ menor que $5 = (6-1)$ es $r=3$, entonces

$P_2 -r= B_2 =6-3=3$

por lo tanto $3$ es un número recostado.

Si $n = 6$ tenemos que los primeros 6 números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13$ cuyo producto es $30.030$. El mayor primo inmediatamente menor que $30.029$ es $r= 30.019$. Por lo tanto

$B_6=P_6-r=30.030-30.019=11$

es un número recostado. Obsérvese que $11$ no es un número afortunado.

Los números recostados $B_n$ también podrían ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $B_6= B_4 =11.$

Los primeros números recostados serían

$3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, …$

y también creo que se puede conjeturar que son todos primos.

Como se observa, en torno a estos nuevos conjuntos podemos proponer una diversidad de conjeturas que ofrecen retos que no son sencillos de resolver.

@MantillaIgnacio

En el caso de los profesores de matemáticas, estamos bastante acostumbrados a plantear problemas de tal manera que la respuesta sea un valor especial, previamente elegido, por ejemplo un número entero en lugar de una fracción. Pero hay muchos casos en los que la ignorancia da inesperadas sorpresas.

Empezamos como en los cuentos infantiles… Había una vez un rey que, deseando que en su reino hubiera mayoría de varones, decidió decretar que las parejas podían tener los hijos que quisieran mientras fueran niños, pero en cuanto tenían una niña ya no podían tener más hijos. De este modo, pensó el rey, pronto habría familias con varios niños pero ninguna con más de una niña, con lo que la proporción de varones aumentaría notablemente en su reino, tan necesitado de combatientes para fortalecer el ejército. 

Pero analicemos el decreto real con el sesgo machista que prohíbe seguir procreando a quienes tienen una hija. Supongamos que en el momento de promulgar el decreto hay 8000 mujeres en el reino que pueden procrear y que la probabilidad de que nazca un niño es la misma probabilidad de que nazca una niña; es decir que estas 8000 mujeres podrán dar a luz aproximadamente 4000 niños y 4000 niñas.

Como solo las primeras 4000 mujeres del grupo de 8000 podrán volver a tener más hijos o hijas, entonces los siguientes nacimientos en el grupo de estudio son a lo sumo de 2000 niños y 2000 niñas aproximadamente.

Siguiendo con las reglas establecidas en el decreto, habrá después máximo 1000 nacimientos y luego solo 500, y así sucesivamente, de tal manera que al cabo de unas 10 oleadas más de bebés, ninguna mujer del grupo inicial de 8000 tendrá derecho a tener más hijos.

Por lo tanto en cada medición de nuevos nacimientos habrá tantos niños como niñas y la población se irá reduciendo sin que sea mayor la proporción de varones, como lo quería el rey.

El deseo de aumentar el número de varones con esa medida, solo logra entonces una disminución de la población en el reino, pero no una mayor proporción de varones.

Entre nosotros es también común legislar con el deseo de lograr un efecto a corto, mediano o largo plazo; que sea este un ejemplo que sirva para llamar la atención sobre las falsas expectativas que pueden crearse con algunas normas.

@MantillaIgnacio

Siempre estuvo vinculado a la Universidad Nacional aunque fue profesor invitado y conferencista en prácticamente todas las universidades colombianas. Sus libros de texto tuvieron tal influencia, que podría afirmar, sin temor a equivocarme, que Takeuchi fue profesor o influyó, durante cinco décadas, en todos los docentes universitarios de matemáticas del país. En 2008, al celebrarse 100 años de relaciones entre Colombia y Japón, fue destacado como el japonés que mayor influencia había tenido en nuestro país.

Dueño de una habilidad e intuición matemática envidiables, manejaba como pocos algunas áreas de difícil dominio, tales como las Sucesiones y Series o el Análisis Matemático y la Variable Compleja. Escribió cerca de 40 libros de matemáticas que él mismo digitó (usando solo sus dos dedos índices) en una vieja máquina de escribir a la que había que cambiarle los tambores metálicos con las letras para estampar algunos símbolos matemáticos. Las gráficas y demás símbolos los hacía a mano en los espacios que reservaba para llenar luego.

En una época en la que los textos de matemáticas universitarias eran importados y por lo tanto muy costosos y de difícil acceso, sus publicaciones, de excelente calidad, estaban al alcance de los estudiantes gracias al bajo costo que tenían, con el que escasamente cubría su edición. En un taller instalado en el garaje de su casa, producía todo ese arsenal matemático con la ayuda de sus hijos, quienes eran sus principales ayudantes a la hora de compaginar, empastar y pegar folletos y libros. 

Pero el profesor Takeuchi no solo se limitó a hacer aportes a las matemáticas, era un excelente observador de nuestra realidad e idiosincracia y hacía críticas tan acertadas, que sociólogos como Alfredo Molano, afirmaba que el mejor sociólogo colombiano no era sociólogo ni era colombiano: era el profesor Takeuchi. Cuando le preguntaron a Takeuchi cuáles eran las diferencias entre los colombianos y los japoneses, lo sintetizó magistralmente: “un colombiano es más inteligente que un japonés, pero dos japoneses son más inteligentes que dos colombianos”.

Una buena descripción de su aguda mirada es la que él mismo expresó cuando dijo: “Mi forma de actuar se debe a que combino la cultura oriental con la malicia indígena, al fin y al cabo yo aprendí esas dos culturas”.

La celebración de la Navidad y Año Nuevo me trae gratos recuerdos del profeosr Takeuchi porque al finalizar el año tenía por costumbre realizar reuniones en su casa para despedir el año; reuniones en las que él mismo preparaba una exquisita cena para unas 20 o 30 personas entre estudiantes de posgrado y profesores de matemáticas, con platos que los asistentes probábamos por primera vez tales como el Sushi, que hace 40 años aún no era ofrecido en Colombia. Era un gran cocinero y alguna vez me confesó que había logrado preparar los platos típicos colombianos más conocidos, menos uno: la lechona. Al preguntarle si había podido preparar tamales, me dijo:

—Sí, los tolimenses y los santandereanos.

Tuve la fortuna de ser su alumno o más bien su discípulo, fue mi profesor en varias asignaturas y mi director de tesis de maestría en matemáticas. Escribió una carta de recomendación para mi admisión al doctorado en Alemania. Su generosidad era amplia, no solo compartiendo sus conocimientos sino en todos los órdenes, especialmente cuando había que apoyar a algún estudiante necesitado.

Yo solía hablar mucho con el profesor Takeuchi y siempre acudía a él cuando tenía dificultades con algún problema de matemáticas. Era su costumbre desprender una hoja de alguna cartelera y escribir sobre ella, sin importar si tenía o no espacio en blanco.

Su oficina era un caos; un desorden de libros, papeles, cajas de tizas, lápices y esferos; y una torre de libros a punto de caer; sin embargo sabía perfectamente dónde estaba cada cosa que necesitaba.

Como es apenas natural, son muchas las anécdotas que podría compartir sobre el profesor Takeuchi, pero me limitaré a compartir solo un par de ellas. La primera es una historia de hace unos 30 años, que muestra su talante maestro: le comenté que necesitaba comprar un carro, pero agregué que no tenía los recursos y que los préstamos bancarios eran impagables o muy ventajosos para los bancos y que además el vehículo quedaba pignorado hasta el pago total de la deuda. Inmediatamente me dijo que él podría hacerme un préstamo. Escribió sobre un papel la fórmula que aún conservo:

Como la suma prestada es P, entonces valor inicial S(0) = P.

—Muy bien  —dijo el profesor Takeuchi—. Ahora debe decidir cuánto necesita; es decir elegir S(0) y jugar con los tres parámetros: cuota fija Q, y duración del préstamo, determinando el n tal que S(n) = 0. El interés r  es 1 % mensual (r = 0,01 en la fórmula), en una época en la que para este tipo de préstamos el interés se acercaba al doble.

Fue así como recibí un cheque de diez millones de pesos sin firmar ningún papel que garantizara mi cumplimiento y una valiosa fórmula para calcular las cuotas fijas mensuales que pagué rigurosamente durante 24 meses, período en el que el saldo S(24) fue cero. 

Una anécdota que me gusta contar es la que tiene que ver con el análisis que me hizo sobre el dominio matemático de su pequeña nieta cuando la niña apenas empezaba a hablar. 

—Mi nieta sólo sabe tres palabras y con ellas ya domina conceptos matemáticos —me dijo un día en la sala de profesores del edificio 404, mientras se tomaba un café.

—¿Cuáles son esa tres palabras, profesor? —pregunté intrigado.

—Mi nieta dice “MÍO” y eso es porque tiene claro el concepto de pertenencia —sonrió. Y continuó—: mi nieta dice “NO”, lo que indica que maneja la negación lógica y la niña también sabe pedir “MÁS”, o sea que conoce ya la adición. Con tres palabras: MÍO, NO y MÁS se defiende divinamente.

En el año 2010, siendo yo decano de la Facultad de Ciencias tuve el privilegio y la satisfacción de acompañarle, junto con el rector Moisés Wassermann, a la Casa de Nariño a recibir su nacionalidad colombiana. Ese día fue muy especial para el profesor Takeuchi, estaba feliz y se vistió de corbata, única vez que lo vi así vestido. Al terminar la ceremonia le ofrecimos una copa de vino en el Claustro de San Agustín en compañía de su familia y de un nutrido grupo de matemáticos. Sus palabras fueron breves pero aún recuerdo que terminó preguntando: “… ¿Y dónde me entregan cédula de ciudadano colombiano?”

Tras su muerte en diciembre de 2014, el Consejo Superior Universitario de la Universidad Nacional aprobó (unánimemente) llamar con su nombre al edificio en el que el profesor Takeuchi siempre tuvo su oficina.

Recientemente un amplio grupo conformado principalmente por sus exalumnos, en cabeza del colega Iván Castro Chadid, hemos creado un “colectivo” con su nombre para intercambiar noticias, curiosidades y problemas de matemáticas, así como para realizar encuentros y mantener una permanente comunicación compartiendo mensajes que nos mantengan unidos disfrutando de una gran amistad y tratando de continuar la tarea de divulgación de las matemáticas que tanto le importaba a Takeuchi. 

Actualmente, a través de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, la familia Takeuchi entrega anualmente el Premio Yu Takeuchi a la mejor tesis colombiana de doctorado en matemáticas, física o estadística y a la mejor tesis de maestría en alguna de estas mismas áreas, con montos de más de 10 millones de pesos para doctorado y la mitad para maestría.

El legado de Takeuchi es de un enorme valor, su riqueza intelectual, su prodigiosa intuición matemática y su ejemplar vida austera, debe inspirarnos a todos los colombianos.

¡Gracias Maestro!

@MantillaIgnacio