—Si lanzas una moneda al aire, la probabilidad de que caiga sello es de 1/2 o sea que tienes el 50% de las posibilidades de ganar, pues solo hay dos posibles eventos: cara o sello —le explica el joven a su hermana. Y continúa hablando con entusiasmo— si ahora lanzas un dado, la probabilidad de que caiga el 5 es de 1/6, o sea que tienes menos del 17% de las posibilidades de ganar, pues hay seis posibles eventos, y así con cada cosa en la que que quieras conocer tus oportunidades para ganar o acertar. 

En este punto su hermana lo interrumpe y le dice:

—¿O sea que la probabilidad de que mi bebé sea un niño es del 50%? 

—Claro, pero mejor aún —responde el joven— si tenemos en cuenta que la población de China es aproximadamente la quinta parte de la población mundial, la probabilidad de que sea chino es del 20%.

Quiero compartirles una historia, que más que un chiste, parece una paradoja lógica. Se trata del anuncio que hace un profesor sobre la realización de un examen parcial. 

El docente protagonista de esta historia, respetado entre sus estudiantes y famoso por ser muy estricto, al terminar la última clase de la semana informa a sus alumnos que la próxima semana realizará un examen parcial sorpresa, que solo será anunciado el mismo día al inicio de la hora de la clase destinada para el examen y que por lo tanto deberán estar preparados porque no podrán conocer de antemano el día en que se realizará el examen.

Cuando el docente sale del aula uno de los estudiantes pasa al frente y les pide a sus compañeros que lo oigan un momento. 

—No es necesario prepararse, pues según el anuncio del profe, no podrá haber sorpresa y por lo tanto no tendremos examen— dice el entusiasta joven a sus compañeros y pasa a explicar por qué razón no habrá examen.

—Tenemos clase todos los días, de lunes a viernes, entonces el examen no podrá realizarse el viernes porque es el último día posible y si no lo realiza antes entonces sabríamos con toda certeza, de antemano, que el examen es ese día, así que no puede realizarse el viernes. Recuerden que el profesor nos dijo que debíamos estar preparados porque solo podríamos saber el mismo día, al iniciar la hora de clase.

Y continuó con su razonamiento frente a sus compañeros:

—Y como no puede ser el viernes, entonces por la misma razón no podrá tener lugar el jueves, pues se violaría el anuncio del profesor, ya que si no se ha realizado antes el examen, desde el día anterior sabríamos que es el jueves como última opción porque el viernes está descartado.

La expectativa y la atención de todos aumentó para oír al joven, quien prosiguió:

—Exactamente del mismo modo podemos descartar el miércoles y el martes, así que solo quedaría la opción del lunes, pero ya lo sabemos hoy, entonces no podrá realizar el examen el lunes tampoco. Así que vamos a descansar, que no hay que preparar ningún examen.

El razonamiento del estudiante convenció a sus compañeros quienes, muy tranquilos, sabiendo que su profesor no incurriría en un error lógico, salieron del salón despreocupados del examen.

A la semana siguiente todos los estudiantes asistieron a clase el lunes y el martes. Pero para su gran sorpresa, el miércoles al iniciar la clase el profesor dijo: 

—saquen una hoja, vamos a iniciar el examen.

Claramente no lo esperaban y por lo tanto se cumplió la sentencia del profesor cuando les anunció que solo lo sabrían el mismo día del examen.

Les dejo a los lectores la tarea de pensar en la solución a esta aparente “paradoja”.

@MantillaIgnacio

Números afortunados: un número afortunado es un número entero $Q_n$, que resulta de la expresión 

$q-P_n = Q_n$

donde $P_n$ es el producto de los primeros $n$ números primos y $q$ es el número primo más pequeño que es mayor que $P_n+1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el menor primo $q$ mayor que $7 = (6+1)$ es $q=11$, entonces

$q-P_2 = Q_2 =11-6=5$,

por lo tanto $5$ es un número afortunado.

Si $n = 8$ tenemos que los primeros $8$ números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19$ cuyo producto es $9.699.690$. El menor primo inmediatamente mayor que $9.699.691$ es $q= 9.699.713$. Por lo tanto

$Q_8=q-P_8=9.699.713-9.699.690=23$

es un número afortunado.

Los números afortunados $Q_n$ pueden ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $Q_{10} ,Q_{12},Q_{17}$ son iguales al número $61$.

Los primeros números afortunados, omitiendo los repetidos para diferentes valores de $n$ son:

$3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, ….$

La autoría del nombre número afortunado es atribuida al antropólogo neozelandés Reo Franklin Fortune (1903-1979), quien ademas conjeturó que todos los números afortunados son primos. Y no sabría si el nombre que dio a estos números tiene qué ver directamente con su apellido.

Números de la suerte: No hay que confundir los números afortunados con los Números de la Suerte que se consiguen mediante una criba, como la conocida Criba de Eratóstenes, ingenioso algoritmo que es eficiente para encontrar los primeros números primos.

En el caso de los números de la suerte la criba consiste en ir tachando inicialmente todos los números que aparecen en las posiciones pares, así nos quedan los impares: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…$ Como el segundo número que ha quedado es el 3, tachamos ahora todos los que aparecen en las posiciones múltiplo de 3 y nos quedan ahora los números: $1, 3, 7, 9, 13,…$ Como el siguiente número que quedó es el 7, eliminamos ahora, como antes, todos los que aparecen en las posiciones que son múltiplo de 7 y continuamos en esta forma, así sucesivamente. Los números que sobreviven se denominan números de la suerte.

Los primeros números de la suerte son:

$1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127,…$

Números recostados: ahora bien, a partir de los números afortunados podríamos definir otro conjunto similar, que al beneficiarse de la existencia de estos, yo llamaría números recostados y que pueden definirse en forma parecida a los afortunados: un número recostado es un número entero $B_n$, que resulta de la expresión 

$P_n-r = B_n$

donde $P_n$  es, como arriba, el producto de los primeros $n$ números primos y $r$ lo definimos como el número primo más grande que es menor que $P_n-1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el mayor primo $r$ menor que $5 = (6-1)$ es $r=3$, entonces

$P_2 -r= B_2 =6-3=3$

por lo tanto $3$ es un número recostado.

Si $n = 6$ tenemos que los primeros 6 números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13$ cuyo producto es $30.030$. El mayor primo inmediatamente menor que $30.029$ es $r= 30.019$. Por lo tanto

$B_6=P_6-r=30.030-30.019=11$

es un número recostado. Obsérvese que $11$ no es un número afortunado.

Los números recostados $B_n$ también podrían ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $B_6= B_4 =11.$

Los primeros números recostados serían

$3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, …$

y también creo que se puede conjeturar que son todos primos.

Como se observa, en torno a estos nuevos conjuntos podemos proponer una diversidad de conjeturas que ofrecen retos que no son sencillos de resolver.

@MantillaIgnacio

En el caso de los profesores de matemáticas, estamos bastante acostumbrados a plantear problemas de tal manera que la respuesta sea un valor especial, previamente elegido, por ejemplo un número entero en lugar de una fracción. Pero hay muchos casos en los que la ignorancia da inesperadas sorpresas.

Empezamos como en los cuentos infantiles… Había una vez un rey que, deseando que en su reino hubiera mayoría de varones, decidió decretar que las parejas podían tener los hijos que quisieran mientras fueran niños, pero en cuanto tenían una niña ya no podían tener más hijos. De este modo, pensó el rey, pronto habría familias con varios niños pero ninguna con más de una niña, con lo que la proporción de varones aumentaría notablemente en su reino, tan necesitado de combatientes para fortalecer el ejército. 

Pero analicemos el decreto real con el sesgo machista que prohíbe seguir procreando a quienes tienen una hija. Supongamos que en el momento de promulgar el decreto hay 8000 mujeres en el reino que pueden procrear y que la probabilidad de que nazca un niño es la misma probabilidad de que nazca una niña; es decir que estas 8000 mujeres podrán dar a luz aproximadamente 4000 niños y 4000 niñas.

Como solo las primeras 4000 mujeres del grupo de 8000 podrán volver a tener más hijos o hijas, entonces los siguientes nacimientos en el grupo de estudio son a lo sumo de 2000 niños y 2000 niñas aproximadamente.

Siguiendo con las reglas establecidas en el decreto, habrá después máximo 1000 nacimientos y luego solo 500, y así sucesivamente, de tal manera que al cabo de unas 10 oleadas más de bebés, ninguna mujer del grupo inicial de 8000 tendrá derecho a tener más hijos.

Por lo tanto en cada medición de nuevos nacimientos habrá tantos niños como niñas y la población se irá reduciendo sin que sea mayor la proporción de varones, como lo quería el rey.

El deseo de aumentar el número de varones con esa medida, solo logra entonces una disminución de la población en el reino, pero no una mayor proporción de varones.

Entre nosotros es también común legislar con el deseo de lograr un efecto a corto, mediano o largo plazo; que sea este un ejemplo que sirva para llamar la atención sobre las falsas expectativas que pueden crearse con algunas normas.

@MantillaIgnacio

Siempre estuvo vinculado a la Universidad Nacional aunque fue profesor invitado y conferencista en prácticamente todas las universidades colombianas. Sus libros de texto tuvieron tal influencia, que podría afirmar, sin temor a equivocarme, que Takeuchi fue profesor o influyó, durante cinco décadas, en todos los docentes universitarios de matemáticas del país. En 2008, al celebrarse 100 años de relaciones entre Colombia y Japón, fue destacado como el japonés que mayor influencia había tenido en nuestro país.

Dueño de una habilidad e intuición matemática envidiables, manejaba como pocos algunas áreas de difícil dominio, tales como las Sucesiones y Series o el Análisis Matemático y la Variable Compleja. Escribió cerca de 40 libros de matemáticas que él mismo digitó (usando solo sus dos dedos índices) en una vieja máquina de escribir a la que había que cambiarle los tambores metálicos con las letras para estampar algunos símbolos matemáticos. Las gráficas y demás símbolos los hacía a mano en los espacios que reservaba para llenar luego.

En una época en la que los textos de matemáticas universitarias eran importados y por lo tanto muy costosos y de difícil acceso, sus publicaciones, de excelente calidad, estaban al alcance de los estudiantes gracias al bajo costo que tenían, con el que escasamente cubría su edición. En un taller instalado en el garaje de su casa, producía todo ese arsenal matemático con la ayuda de sus hijos, quienes eran sus principales ayudantes a la hora de compaginar, empastar y pegar folletos y libros. 

Pero el profesor Takeuchi no solo se limitó a hacer aportes a las matemáticas, era un excelente observador de nuestra realidad e idiosincracia y hacía críticas tan acertadas, que sociólogos como Alfredo Molano, afirmaba que el mejor sociólogo colombiano no era sociólogo ni era colombiano: era el profesor Takeuchi. Cuando le preguntaron a Takeuchi cuáles eran las diferencias entre los colombianos y los japoneses, lo sintetizó magistralmente: “un colombiano es más inteligente que un japonés, pero dos japoneses son más inteligentes que dos colombianos”.

Una buena descripción de su aguda mirada es la que él mismo expresó cuando dijo: “Mi forma de actuar se debe a que combino la cultura oriental con la malicia indígena, al fin y al cabo yo aprendí esas dos culturas”.

La celebración de la Navidad y Año Nuevo me trae gratos recuerdos del profeosr Takeuchi porque al finalizar el año tenía por costumbre realizar reuniones en su casa para despedir el año; reuniones en las que él mismo preparaba una exquisita cena para unas 20 o 30 personas entre estudiantes de posgrado y profesores de matemáticas, con platos que los asistentes probábamos por primera vez tales como el Sushi, que hace 40 años aún no era ofrecido en Colombia. Era un gran cocinero y alguna vez me confesó que había logrado preparar los platos típicos colombianos más conocidos, menos uno: la lechona. Al preguntarle si había podido preparar tamales, me dijo:

—Sí, los tolimenses y los santandereanos.

Tuve la fortuna de ser su alumno o más bien su discípulo, fue mi profesor en varias asignaturas y mi director de tesis de maestría en matemáticas. Escribió una carta de recomendación para mi admisión al doctorado en Alemania. Su generosidad era amplia, no solo compartiendo sus conocimientos sino en todos los órdenes, especialmente cuando había que apoyar a algún estudiante necesitado.

Yo solía hablar mucho con el profesor Takeuchi y siempre acudía a él cuando tenía dificultades con algún problema de matemáticas. Era su costumbre desprender una hoja de alguna cartelera y escribir sobre ella, sin importar si tenía o no espacio en blanco.

Su oficina era un caos; un desorden de libros, papeles, cajas de tizas, lápices y esferos; y una torre de libros a punto de caer; sin embargo sabía perfectamente dónde estaba cada cosa que necesitaba.

Como es apenas natural, son muchas las anécdotas que podría compartir sobre el profesor Takeuchi, pero me limitaré a compartir solo un par de ellas. La primera es una historia de hace unos 30 años, que muestra su talante maestro: le comenté que necesitaba comprar un carro, pero agregué que no tenía los recursos y que los préstamos bancarios eran impagables o muy ventajosos para los bancos y que además el vehículo quedaba pignorado hasta el pago total de la deuda. Inmediatamente me dijo que él podría hacerme un préstamo. Escribió sobre un papel la fórmula que aún conservo:

Como la suma prestada es P, entonces valor inicial S(0) = P.

—Muy bien  —dijo el profesor Takeuchi—. Ahora debe decidir cuánto necesita; es decir elegir S(0) y jugar con los tres parámetros: cuota fija Q, y duración del préstamo, determinando el n tal que S(n) = 0. El interés r  es 1 % mensual (r = 0,01 en la fórmula), en una época en la que para este tipo de préstamos el interés se acercaba al doble.

Fue así como recibí un cheque de diez millones de pesos sin firmar ningún papel que garantizara mi cumplimiento y una valiosa fórmula para calcular las cuotas fijas mensuales que pagué rigurosamente durante 24 meses, período en el que el saldo S(24) fue cero. 

Una anécdota que me gusta contar es la que tiene que ver con el análisis que me hizo sobre el dominio matemático de su pequeña nieta cuando la niña apenas empezaba a hablar. 

—Mi nieta sólo sabe tres palabras y con ellas ya domina conceptos matemáticos —me dijo un día en la sala de profesores del edificio 404, mientras se tomaba un café.

—¿Cuáles son esa tres palabras, profesor? —pregunté intrigado.

—Mi nieta dice “MÍO” y eso es porque tiene claro el concepto de pertenencia —sonrió. Y continuó—: mi nieta dice “NO”, lo que indica que maneja la negación lógica y la niña también sabe pedir “MÁS”, o sea que conoce ya la adición. Con tres palabras: MÍO, NO y MÁS se defiende divinamente.

En el año 2010, siendo yo decano de la Facultad de Ciencias tuve el privilegio y la satisfacción de acompañarle, junto con el rector Moisés Wassermann, a la Casa de Nariño a recibir su nacionalidad colombiana. Ese día fue muy especial para el profesor Takeuchi, estaba feliz y se vistió de corbata, única vez que lo vi así vestido. Al terminar la ceremonia le ofrecimos una copa de vino en el Claustro de San Agustín en compañía de su familia y de un nutrido grupo de matemáticos. Sus palabras fueron breves pero aún recuerdo que terminó preguntando: “… ¿Y dónde me entregan cédula de ciudadano colombiano?”

Tras su muerte en diciembre de 2014, el Consejo Superior Universitario de la Universidad Nacional aprobó (unánimemente) llamar con su nombre al edificio en el que el profesor Takeuchi siempre tuvo su oficina.

Recientemente un amplio grupo conformado principalmente por sus exalumnos, en cabeza del colega Iván Castro Chadid, hemos creado un “colectivo” con su nombre para intercambiar noticias, curiosidades y problemas de matemáticas, así como para realizar encuentros y mantener una permanente comunicación compartiendo mensajes que nos mantengan unidos disfrutando de una gran amistad y tratando de continuar la tarea de divulgación de las matemáticas que tanto le importaba a Takeuchi. 

Actualmente, a través de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, la familia Takeuchi entrega anualmente el Premio Yu Takeuchi a la mejor tesis colombiana de doctorado en matemáticas, física o estadística y a la mejor tesis de maestría en alguna de estas mismas áreas, con montos de más de 10 millones de pesos para doctorado y la mitad para maestría.

El legado de Takeuchi es de un enorme valor, su riqueza intelectual, su prodigiosa intuición matemática y su ejemplar vida austera, debe inspirarnos a todos los colombianos.

¡Gracias Maestro!

@MantillaIgnacio

Números malvados: un número malvado es un número natural cuya expansión binaria (en base2) contiene un número par de unos. Por ejemplo:

15 = 1 · 2³ + 1 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰

entonces 15₁₀ = 1111₂ por lo tanto 15 es un número malvado. Los primeros números malvados son:

3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 33, …

Los números que no son malvados, es decir cuya expansión binaria contiene un número impar de unos, se denominan números odiosos.

Números de Cunningham: el nombre es en honor al matemático británico-indio Allan J. C. Cunninghamun. Los números de Cunningham son números naturales de la forma 

bⁿ ± 1

donde b no puede ser una potencia perfecta. En el caso n = 2 los números de Cunningham son de la forma b² ± 1, donde b no puede ser un cuadrado perfecto. A manera de ejemplo, el número 10 es un número de Cunningham porque se puede escribir como 

3² + 1 

y 3 no es un cuadrado perfecto. 

También el número 9 es de Cunningham porque puede escribirse como 

2³ + 1

y 2 no es un cubo perfecto. Los primeros números de Cunningham son: 

3, 5, 7, 8, 9, 10, 15, 17, 24, 26, 28, 31, 33, 35, …

Hay infinitos números de Cunningham pares e impares. Una explicacion sencilla es porque tanto los números de la forma 6ⁿ ± 1 como los números de la forma 5ⁿ ± 1 son números de Cunningham. Los primeros siempre son impares y los segundos, todos son pares.

Números abundantes: un número abundante es un número natural para el cual la suma de sus divisores propios; es decir los divisores diferentes al mismo número, es mayor que el propio número. El número 12 es el primer número abundante: en efecto, sus divisores propios son1, 2, 3, 4 y 6 que suman 16 > 12. 

La cantidad en que la suma excede al número se denomina abundancia del número; o sea que el número 12 tiene una abundancia de 4.

Los primeros números abundantes son: 

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, …

Números asombrosos: un número asombroso es un número natural que tiene exactamente tres divisores distintos. Así por ejemplo 4 es asombroso, sus divisores son 1, 2, 4. Los números asombrosos tienen exactamente un divisor diferente a 1 y al mismo número, por esta razón un número primo no puede ser asombroso. Los números asombrosos son entonces todos los cuadrados de los números primos:

2² = 4 (divisores: 1, 2, 4)

3² = 9 (divisores: 1, 3, 9)

5² = 25 (divisores: 1, 5, 25)

7² = 49 (divisores: 1, 7, 49)

11² = 121 (divisores: 1, 11, 121)

…

Números intocables: un número intocable es un entero positivo que no puede expresarse como la suma de todos los divisores propios de ningún entero positivo. Así por ejemplo 4 no es intocable porque puede escribirse como la suma de los divisores propios de 9, ya que 4 = 1 + 3; pero 5 sí es intocable porque la única forma de escribirlo como suma de distintos enteros positivos que incluyan al 1 es:

5 = 4 + 1

y estos dos números, 1 y 4, no pueden ser todos los divisores propios de algún entero positivo, ya que si 4 es divisor, también lo es 2.

Los primeros números intocables son:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, …

Números desnudos: un número desnudo es un entero positivo que es divisible entre cada uno de sus dígitos. Por ejemplo, 12 es un número desnudo porque es divisible entre 1 y 2. 

Los primeros números desnudos son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 22, …

Números ondulados: un número ondulado es un entero positivo de tres o más cifras, de la forma «ababab… ». Por ejemplo, los números 313, 79797 son números ondulados.

Números vampiros: un número vampiro es un entero positivo que tiene un número par de dígitos y que puede factorizarse como producto de dos números naturales, cada uno con la mitad de dígitos del número original y que no terminen ambos en cero, donde los dos factores contienen exactamente todos los dígitos del número original, en cualquier orden. Por ejemplo 1435 es un número vampiro porque:

1435 = 35 × 41.

Y aquí aparece un concepto muy divertido: los colmillos de los números vampiros son los dos números que forman la factorización. En el ejemplo anterior, 35 y 41 son los colmillos de 1435.

Un número vampiro puede tener distintos pares de colmillos, por ejemplo:

125460 = 204 x 615 = 246 x 510.

Los primeros números vampiros y sus respectivos colmillos son 

1260 = 21 × 60

1395 = 15 × 93

1435 = 35 × 41

1530 = 30 × 51

1827 = 21 × 87

2187 = 27 × 81

6880 = 80 × 86

102510 = 201 × 510

104260 = 260 × 401

105210 = 210 × 50

Y continúan los siguientes vampiros:

104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, …

Números magnánimos: un número magnánimo es un entero positivo tal que las sumas obtenidas al insertar un «+» entre sus dígitos, en cualquier posición, arroja números primos. Por ejemplo, 4001 es un número magnánimo porque los números

4 +001 = 5, 40 + 01 = 41 y 400 + 1 = 401

son primos.

Los primeros números magnánimos son:

2, 3, 5, 7, 11, 12, 14, 16, 20, 21, 23, 25, 29, 30, 32, 34, 38, 41, 43, 47, 49, 50, 52, 56, 58, 61, …

Como puede observarse, los números con nombre propio son muchos y muy diversos y divertidos; el descubrimiento de cada nuevo conjunto nos invita a realizar un ejercicio propio de nuestra curiosidad, que es la madre de la investigación científica.

Me atrevería a afirmar que la aparición de cada nuevo conjunto de números es el resultado de un intento de resolver algún problema de matemáticas. Aún tengo en mi colección muchos otros conjuntos de números con nombre propio que harán parte de un futuro artículo.

@MantillaIgancio

Hay un consenso en la idea según la cual, para resolver problemas de matemáticas, se necesita paciencia, magia, ingenio y método, ingredientes que al parecer son también los que se necesitan para lograr un buen tejido en crochet, en el que tras pasar un hilo muchas veces, guiado por una aguja pacientemente, dominando y repitiendo una técnica aplicada reiteradamente con maestría, se logra el éxito para alcanzar el objetivo final. Tal vez esa es la clave que descubrió la matemática finlandesa Susanna Heikkilä para resolver un reto matemático planteado hace más de 40 años. 

La inusual historia es la siguiente: el matematico ruso-francés, Mikhail Gromov, que recibió en 2009 el Premio Abel de Matemáticas (considerado el “Nobel de las Matemáticas”) por sus contribuciones revolucionarias a la Geometría, había planteado en 1981 una pregunta sobre la existencia de ciertas aplicaciones geométricas en dimensiones superiores. 

El problema formulado por Gromov pertenece al campo especial de las matemáticas conocido como Topología Diferencial, que combina el Cálculo y la Topología para explorar las llamadas variedades suaves, que son estructuras como curvas, superficies y sus análogos de orden superior y las funciones diferenciables que las conectan. La pregunta esencial era cómo clasificar variedades elípticas cuasirregulares, que no son otra cosa que estructuras matemáticas que pueden deformarse bajo ciertas condiciones sin perder su esencia geométrica.

La tesis doctoral de Susanna Heikkilä, dirigida por el profesor Pekka Pankka fue defendida en junio del año pasado; en ella se demostró que las variedades elípticas cuasirregulares cumplen una condición algebraica específica, lo que permitió clasificarlas completamente. En explicación del profesor Pankka, si una variedad cerrada es cuasirregularmente elíptica, sus intersecciones deben ser representables en el espacio euclidiano.

No había sido posible clasificar completamente estas estructuras hasta que Heikkilä y Pankka lo lograron con su investigación. Pero lo interesante es conocer cómo se consiguió este resultado: Heikkilä tejió una esfera y utilizó una tela de tablero de ajedrez también tejido en crochet en la defensa de su tesis para poder visualizar conceptos geométricos abstractos que apoyaban su teoría. El crochet le facilitó la creación de estructuras que representan la curvatura de espacios matemáticos, y el tejido del tablero de ajedrez mostraba cómo se comportaban estas aplicaciones. 

Al visualizar este trabajo, era fácil de comprender el complejo proceso en el que se ilustra un concepto poco divulgado, denominado “la función Alexander”, una función mediante la cual es posible abordar el problema de transformar un plano en una esfera de manera topológica. Al curvar la cuadrícula alrededor de la esfera y unir los colores correctos, aparecen espacios entre los cuadrados, lo que muestra cómo se deforma el espacio bajo estas funciones matemáticas.

La tesis de Heikkilä dio origen a una publicación en Annals of Mathematics (Ver Ann. of Math. (2) 201(2): 459-488 (March 2025). DOI: 10.4007/annals.2025.201.2.3), una de las revistas de matemáticas más prestigiosas del mundo, pero la novedad del tejido en crochet como herramienta para demostrar el resultado principal se ha robado la atención. 

En sus entrevistas, la autora de la tesis, Susanna Heikkilä, ha explicado cómo su afición a tejer le dio la clave para resolver el problema en el que pensaba mientras tejía. Tras su éxito como investigadora, Heikkilä comenzó a trabajar como investigadora posdoctoral en la Universidad Jyväskylä de Finlandia desde comienzos de este año. 

Como se puede observar, la frase con la que se afirma que “las matemáticas están en todas partes”, se confirma reiteradamente y cuando tenemos en mente un problema por resolver, cualquier actividad puede iluminarnos; hay dos ejemplos famosos: la caída de la manzana con la que se afirma que Newton se iluminó y tuvo la inspiración para desarrollar la Ley de la Gravitación Universal y el experimento mental del ascensor, una idea clave para el desarrollo de la teoría de la relatividad general de Einstein: ¿un observador en un ascensor podía distinguir si está en reposo en un campo gravitatorio?

Quizá sean estos ejemplos motivo suficiente para intentar inspirarnos y resolver el problema que nos tiene obsesionados, mientras realizamos alguna tarea doméstica en el hogar.

@MantillaIgnacio

Se han suprimido conceptos muy útiles y formativos que anteriormente eran de obligatorio aprendizaje y se han distribuidos algunos tópicos en varios grados que aparentemente abarcan más temas; pero al final solo aportan un mar de conocimientos con un centímetro de profundidad.

Me refiero especialmente a los capítulos dedicados a la Geometría Euclidiana, esa que se estudiaba con rigor, como asignatura independiente, cuyo texto guía por muchos años en toda Hispanoamérica fue el libro de Geometría de G. M. Bruño, publicado a comienzos del siglo pasado y que hoy puede descargarse en PDF de manera gratuita. Sí, me refiero a esa geometría que se aprendía usando como herramientas el lápiz, el cuaderno cuadriculado, el borrador, la escuadra, el transportador, la regla, el compás y que, usando tizas de colores, los docentes se esforzaban por explicar con trazos rectos y círculos perfectos en el tablero que luego producía lástima tener que borrarlo.  

No pretendo que volvamos a esas herramientas solamente, aunque no comparto la idea de jubilar la escritura a mano; no hay duda de que hoy las gráficas pueden ser computarizadas y con programas como “Geogebra” es fácil mejorar el entendimiento de la mayoría de los tópicos geométricos; también con la asistencia de la Inteligencia Artificial puede facilitarse hoy su comprensión, pero quiero llamar la atención sobre la necesidad de que al menos se les dé a conocer y se les permita disfrutar a los niños y jóvenes, de la Geometría Euclidiana en forma integral e independiente, sin prohibir las herramientas y ayudas modernas que quieran utilizar para que sea aún más atractiva para su propio deleite.  

Los conceptos, postulados, figuras, axiomas, teoremas, corolarios y demostraciones de la Geometría Euclidiana constituyen la mejor visión de las matemáticas. No debemos reemplazar tal riqueza con una dispersa y superficial noción en el bachillerato; es como vivir en el penthouse del piso 30 y cubrir las ventanas para ocultar la vista y evitar la luz. 

Los tópicos más conocidos de la Geometría Plana están contenidos en el famoso libro “Elementos”, que nos dejó el matemático griego Euclides, obra escrita hace más de 23 siglos, pero hay también resultados y aplicaciones que han sido descubiertos recientemente y que pueden incentivar a los jóvenes a cultivar el estudio de las matemáticas con nuevos retos, usando herramientas modernas. Menciono solo la abundante oferta de juegos electrónicos, que basan sus diseños y presentación en conceptos geométricos.

Después de Euclides y a lo largo del tiempo, desde la invención de la imprenta en 1450, han aparecido incontables ediciones del trabajo de Euclides, como esta bella publicación:

que usa para las demostraciones solamente ilustraciones como estas:

Tampoco la investigación y los resultados en Geometría Euclidiana después de Euclides cesó; incluso el emperador Napoleón Bonaparte hizo un original aporte al formular y demostrar el conocido “Teorema de Napoleón” sobre el que hace unos años escribí (ver: https://www.elespectador.com/opinion/columnistas/ignacio-mantilla/el-teorema-de-napoleon-column-729818)

Ahora bien, no podría cerrar este llamado para recuperar la enseñanza de la Geometría Euclidiana sin ofrecer al menos un buen ejemplo, como lo haré continuación. Pero antes un poco de contexto: comúnmente los matemáticos sentimos mayor aprecio por un teorema en particular en cada área estudiada, y ese teorema favorito lo podemos escribir y demostrar de memoria; así por ejemplo, en mi caso, el Teorema de Punto Fijo de Banach es mi favorito del Análisis Matemático y el Teorema de Infinitud de los Números Primos, demostrado por Euclides usando el método de reducción al absurdo, es mi favorito de la Teoría de Números. 

En el caso de la Geometría Euclidiana también tengo mi favorito, y no es el Teorema de Pitágoras, sino uno, bastante menos famoso y poco conocido. Se trata de un resultado de una extraordinaria sencillez que tiene múltiples aplicaciones, me refiero a un bonito resultado publicado hace 200 años, más exactamente en 1822, o sea después de 2000 años de Euclides, conocido como el “Teorema de Poncelet”, de autoría del matemático e ingeniero militar francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867), quien estuvo en una prisión rusa entre 1812 y 1814 tras participar en la campaña napoleónica. De este período prolífico son sus trabajos publicados años después. El teorema mencionado es el siguiente:

Teorema de Poncelet

En un triángulo rectángulo la suma de los catetos a y b es igual a la suma de la hipotenusa c y el doble del radio R de la circunferencia inscrita. O sea:

a + b = c + 2R.

La demostración de este fascinante resultado es sencilla. Basta observar la siguiente figura en donde están presentes dos resultados que son conocidos:  

1. Los dos segmentos de rectas tangentes, trazados desde un mismo punto exterior a un círculo, tienen la misma longitud; por lo tanto los segmentos que unen los vértices de los ángulos no rectos del triángulo y los puntos de tangencia con la circunferencia son, en cada caso, de la misma longitud; es decir m en un caso y n en el otro. 
2. El cuadrilátero que forman los dos radios que unen el centro de la circunferencia con los puntos de tangencia en los catetos a y b del triángulo y los dos segmentos que desde estos puntos de tangencia unen el vérttice del ángulo recto del triángulo, es un cuadrado de lado R.

Ahora la demostración resulta trivial pues:

a + b = (m + R) + (R + n) 

         = m + n + 2R

         = c + 2R.

Una de las imágenes más bellas de la Geometría Euclidiana se obtiene usando precisamente el Teorema de Poncelet. En efecto: por el Teorema de Pitágoras se sabe que el triángulo de lados (3, 4, 5) es un triángulo rectángulo (3² + 4² = 5²); esta es la tripla pitagórica más conocida y lo que resulta alucinante es que el círculo que puede inscribirse en ese triángulo, tiene un área de π unidades cuadradas. La prueba de esta bella relación resulta inmediata usando el Teorema de Poncelet, porque: 

3 + 4 = 5 + 2R,

entonces el radio R del círculo debe ser R = 1, y reemplazando en la fórmula del área del círculo:

A = π·R² = π·1² = π.

¿No es esto sorprendente? Prácticamente puede definirse el número π como el área del círculo que puede inscribirse en la primera tripla pitagórica (3, 4, 5).

Así como se afirma que la ecuación más bella de las matemáticas es la Ecuación de Euler: 

Finalizo con una frase del matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1639): 

“Donde haya materia existe geometría”.

@MantillaIgnacio

Es indudable que la Inteligencia Artificial (IA) está influyendo en nuestra vida diariamente y llevando a cabo transformaciones en un buen número de actividades profesionales y que, como si se tratase de un ser invisible que nos visita cotidianamente, se le recibe con gusto o se le rechaza; hay quienes la critican, también hay quienes la alaban, pero lo cierto es que la IA llegó para quedarse y hay que aprender a convivir con ella, disfrutar de su compañía y aprovecharla correctamente para descubrir su utilidad y poder confiar en su ayuda.

Hasta hace unas décadas los profesionales se formaban adquiriendo los conocimientos necesarios que serían suficientes para su futuro laboral; lo que se aprendía en la universidad bastaba para ejercer competentemente la profesión y no se requería de actualizaciones permanentes. Eso cambió desde cuando el Internet facilitó el acceso a la información y el desarrollo tecnológico nos brindó herramientas hasta entonces insospechadas. Hoy los buenos profesionales están obligados a actualizarse constantemente, a aprender a utilizar mejores herramientas tecnológicas y con la llegada de la IA se imponen nuevos retos profesionales para sobrevivir demostrando que no somos obsoletos, porque hoy parece cobrar actualidad esa conocida frase, atribuida a Mafalda: “cuando me sabía todas las respuestas, me cambiaron las preguntas”.

Sin duda han existido puntos de inflexión históricos que han convertido en obsoletos ciertos oficios, así por ejemplo la aparición de la imprenta de Gutenberg en 1450 puso fin a la tarea de transcribir manuscritos, comúnmente realizada en los monasterios durante la edad media, a cargo de monjes copistas o amanuenses; entonces el oficio realizado por esos monjes se volvió obsoleto, y si esos monjes no sabían hacer nada más, pues también ellos; pero no se volvieron obsoletos los contenidos de los manuscritos que fueron legado de la antigüedad y que en adelante pudieron reproducirse en forma de libros, accesibles a centenares de personas interesadas en su lectura. 

En el caso particular de las matemáticas, en el que me centraré, también han tenido gran impacto esos puntos de inflexión que han revolucionado la forma de realizar ciertas tareas; la aparición de ábacos facilitó el trabajo de los antiguos calculistas; y la invención de algunos conceptos, como los logaritmos, convirtieron en obsoletos ciertos procedimientos, métodos, reglas o fórmulas que requerían de cálculos sumemente dispendiosos en los que era inevitable cometer algun error aritmético. Las calculadoras electrónicas convirtieron en obsoleto el esfuerzo de calcular raíces cuadradas manualmente, por ejemplo; pero no significa eso, que las raíces cuadradas se hayan dejado de calcular, hayan desaparecido o que hayan dejado de ser importantes y se hayan vuelto obsoletas.

Sin la ayuda de potentes computadores sería imposible llevar a cabo tareas que demandan grandes cálculos, y se convirtió en obsoleto el oficio de seguir manualmente engorrosos procedimientos; en cambio hay una gran demanda de nuevos algoritmos que sean eficientes, que puedan implementarse usando poca memoria, que den respuestas con alta precisión y que converjan rápidamente.

Tenemos infinidad de conceptos que se aprenden y para su aplicación hay que acudir a la computación. Un buen ejemplo es el uso del análisis numérico en la modelación matemática, que sin la herramienta indispensable de la computación  empleada desde la aparición de los lenguajes de programación, sería muy difícil de conseguir para simular fenómenos y comportamientos que se describen por medio de ecuaciones diferenciales. Realizar algunas de estas tareas sin la ayuda de los computadores puede ser posible, pero sería un desperdicio de tiempo y esfuerzo prescindir de esta herramienta y por lo tanto podría afirmarse que es obsoleto realizar esos cálculos manualmente; pero de ninguna manera los métodos numéricos o las ecuaciones diferenciales son obsoletas, eso es distinto.

La IA convertirá en obsoletas muchas de las técnicas aprendidas para realizar algunas tareas matemáticas, pero no serán obsoletas las matemáticas, eso es distinto; sin embargo, es sorprendente la velocidad con la que la IA va decretando la obsolescencia de muchas destrezas para las que fuimos entrenados; y por lo tanto también la IA se encargará de ir declarando la obsolescencia de algunas asignaturas y programas universitarios. 

Pero ¿hasta dónde puede llegar el alcance de la IA? Para responder a esta incógnita, cito un evento que se llevó a cabo en el pasado mes de mayo en la Universidad de California, en Berkeley. Se trató de una especie de cónclave matemático, un encuentro de 30  matemáticos brillantes y prestigiosos de diferentes países. La reunión tenía como propósito estudiar justamente el alcance de la IA en las matemáticas. 

Mediante el uso de un modelo de lenguaje de última generación desarrollado por OpenAI, implementado en una máquina (denominada 04-mini), capaz de razonar con una velocidad y precisión sin precedentes, se llevó a cabo el experimento de ponerle a prueba con algunos de los problemas actuales más complejos. El resultado dejó perplejos a algunos, como es el caso de Ken Ono, matemático de la Universidad de Virginia, quien declaró a la revista ‘Scientific American’ que «Nunca había visto ese tipo de razonamiento en un modelo. Eso es lo que hace un científico. Es aterrador».

Se plantearon problemas de diferentes áreas de la matemática que han sido retos que han demandado semanas de trabajo humano. Mediante IA algunos fueron resueltos de manera correcta en minutos, otros que no tuvieron la solución esperada fueron abordados mediante un proceso de razonamiento estructurado, paso a paso, ofreciendo respuestas intermedias y construyendo soluciones parciales a partir de retos más pequeños. 

La característica principal observada es el aumento de la capacidad que se tiene con la IA para resolver problemas y abordar desafíos paso a paso, como lo hacen las personas, eso sí, solo sobre tareas, problemas y metas que han sido explicados previamente, como si se tratase de un entrenamiento anticipado requerido.

En el caso de nuevos problemas abiertos que pueden constituir material suficiente para un proyecto de investigación o para una tesis doctoral se concluyó que la creatividad y la interpretación humana seguirán siendo fundamentales, no basta la IA. Sin embargo afirma el profesor Ken Ono: «Es un grave error pensar que la IA general nunca llegará, que es solo una computadora. En cierto modo, estos modelos ya están superando a nuestros mejores estudiantes de doctorado»

Al final del encuentro hubo declaraciones interesantes que coincidieron en que usar la  IA es como trabajar con un colaborador extremadamente competente. El profesor Yang Hui He, del Instituto de Ciencias Matemáticas de Londres, dijo estar muy impresionado: «Esto que hemos visto es mejor de lo que haría un excelente estudiante de posgrado». Pero anotó algo que me parece muy importante a tener en cuenta; la IA responde con tanta seguridad, que es intimidante; también se equivoca (como el estudiante de posgrado) pero con mucha autoridad. Así que estamos ante “pruebas por intimidación”.

Los más escépticos calificaron la experiencia del trabajo con la IA como una mejora de los buscadores google. Así por ejemplo Óscar Corcho, catedrático de Inteligencia Artificial en la Universidad Politécnica de Madrid, lo resume así en entrevista con el diario ABC: «Tenemos que adaptarnos a trabajar junto a estas máquinas, del mismo modo que ya lo hicimos cuando surgieron los buscadores en la web».

La reunión de Berkeley fue un buen experimento, del que se concluye que la IA es un excelente colaborador que intimida, pero también, por eso mismo, que desconcierta, ya que cuando se equivoca transmite tal seguridad de que lo está haciendo bien, que si no se tiene conocimiento alguno del tema, se corre el grave riesgo de aceptar un error. 

Pero al fin y al cabo se trata de una herramienta, un instrumento que no tiene por qué convertir en obsoletos a sus usuarios que comúnmente se limitan a formular preguntas.

Creo que frente a la IA los matemáticos debemos actuar como si fuésemos directores de tesis, encargados de orientar a un tesista que puede realizar eficientemente el trabajo de revisión bibliográfica y encargarse de cálculos dispendiosos para presentarnos avances y resultados previos periódicamente, que estamos obligados a evaluar.

Por fortuna estamos en un mundo en el que las máquinas resuelven con eficacia, pero nuestro papel no es competir con ellas para conseguir respuestas más rápidamente, pues con eso nos sentiríamos obsoletos; nuestro verdadero valor, el que debe reforzarse, será imaginar, crear, como también plantear preguntas sobre lo que aún no tiene solución. 

Se inventarán nuevos algoritmos, se crearán nuevos métodos numéricos, se solucionarán problemas abiertos, se resolverán viejas conjeturas, se demostrarán nuevos teoremas; pero eso será gracias a los buenos matemáticos a los que la IA les habrá ahorrado tareas obsoletas y su trabajo servirá para alimentar la información fresca que usará la IA al servicio de todos. 

@MantillaIgnacio

Excluyendo esos conjuntos de primos antes mencionados (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/los-nombres-de-los-numeros/) y sin seguir un orden especial, empiezo por presentarles los

Números triangulares: un número triangular es el que se obtiene al sumar los primeros números enteros positivos consecutivos. Se pueden disponer formando un triángulo equilátero como indica la figura 

así que los primeros números triangulares son:  1, 3, 6, 10, 15, 2, 28, 36, 45, 55, …

y la fórmula general para determinarlos es:

Números Oblongos: un número oblongo es el que resulta de multiplicar dos números naturales consecutivos. Estos números también se conocen como números rectangulares o números prónicos. La fórmula general de los números oblongos es:

Números corteses: un número cortés es el que puede escribirse como la suma de dos o más números naturales consecutivos. Y si un número natural no es cortés, se dice que es un número descortés. Estos son los primeros números corteses:

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, … 

Los números corteses no tienen una expresión única, pueden obtenerse en forma diferente como suma de dos o más naturales consecutivos; así por ejemplo:

15 = 7 + 8

15 = 4 + 5 + 6

Los números descorteses son exactamente las potencias positivas de dos y los números corteses son entonces todos los números naturales que no son potencias de dos.

Números odiosos: un número odioso es un número natural cuya expresión binaria (en base 2) contiene un número impar de unos. Por ejemplo, 13₁₀ = 1011₂ es un número odioso. Los primeros números odiosos son:

1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, …

Números felices: un número feliz es un número natural que cumple la siguiente regla: si sumamos los cuadrados de sus dígitos y seguimos ese mismo proceso con los resultados obtenidos, el resultado final es 1. Por ejemplo, el número 365 es un número feliz ya que:

3² + 6² +5² = 70

7² + 0² = 49

4² + 9² = 97

9² + 7² = 130

1² + 3² + 0² = 10

1² + 0² = 1.

Los números que no son felices son los números infelices y al seguir el procedimiento anterior se cae en un bucle que no conduce a 1; por ejemplo 2025 es un número infeliz porque:

2² + 2² + 5² = 33

3² + 3² = 18

1² + 8² = 65

6² + 5² = 61

6² + 1² = 37        (*)

3² + 7² = 58

5² + 8² = 89

8² + 9² = 145

1² + 4² + 5² = 42

4² + 2² = 20

2² + 0² = 2

2² = 4

4² = 16 

1² + 6² = 37    

A partir del último valor, que coincide con el señalado con (*), se va a repetir el mismo bucle siempre que obtengamos 37 y es imposible entonces llegar al número 1.

Los primeros números felices son: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100.

Números colombianos: para definir un número colombiano primero les cuento cuáles son los números que no lo son, mediante un sencillo ejemplo: si sumamos el número 12 con sus cifras obtenemos:

12 + 1 + 2 = 15

esto significa que 15 no es un número colombiano. 

Un número colombiano es un entero positivo que no puede escribirse como la suma de otro entero positivo con sus cifras. Por ejemplo, el número 20 es colombiano porque no existe un entero que al sumarle sus cifras nos dé como resultado 20. Los primeros números colombianos, menores que 100 son: 

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97.

Entre 100 y 200 hay sólo 10 números colombianos:

108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198.

El origen del nombre, está en un artículo publicado en 1974, en la revista The American Mathematical Monthly Vol. 81, N. 4, en el que el profesor de la Universidad de Winsconsin, D. W. Bange, da la solución a un problema planteado un año antes por el matemático colombiano Bernardo Recamán Santos, consistente en demostrar que en cualquier base existen infinitos números que él llamó “decimales colombianos”, como los descritos anteriormente en base 10.

Números narcisistas: un número narcisista es un número natural que puede expresarse como la suma de las potencias de sus cifras elevadas a la cantidad de cifras que tiene el número. Por ejemplo, el número 1634 es un número narcisista, puesto que, teniendo 4 cifras, que son 1, 6, 3 y 4, se cumple que:

1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256 = 1634.

Su nombre seguramente alude a lo mucho que se quieren a sí mismos ya que parecen estar enamorados de su propia imagen. 

Los números narcisistas menores que 100.000 son: 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727 y 93084. 

Números prácticos: un número práctico es un número natural tal que todos los enteros positivos menores que él, pueden representarse como sumas de distintos divisores suyos. Por ejemplo, el número 12 es un número práctico porque con sumas de algunos de sus divisores {1, 2, 3, 4, 6} se pueden obtener todos los números del 1 al 11. En efecto:

1 = 1,

2 = 2,

3 = 3,

4 = 4,

5 = 3 + 2, 

7 = 6 + 1, 

8 = 6 + 2, 

9 = 6 + 3, 

10 = 6 + 3 + 1 y 

11 = 6 + 3 + 2.

Los primeros números prácticos son:

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, …

Como lo mencioné al principio, son tantos los números con nombre propio, que amerita preparar otro artículo para presentarles más números como los expuestos hasta aquí. Estos números se usan generalmente para propósitos criptográficos y también conviene aquí reconocer, como lo expresa el matemático británico G. H. Hardy (1877–1947) en su libro Apología de un matemático, en referencia a algunos de estos conjuntos, que se trata de hechos excepcionales, ideales para acertijos y propósitos similares, que contribuyen a entretener a los aficionados a las matemáticas.

Observen que hay números, como el 7, que es colombiano, feliz, cortés, odioso y narcisista, pero no es práctico. Seguramente los lectores conocerán algún compatriota con estas características. 

@MantillaIgnacio

• “Dos matemáticos descubren una nueva forma de contar números primos”
  
• “Dos matemáticos han resuelto un rompecabezas de números primos que parecía imposible descifrar”
  
• “Dos matemáticos encuentran un nuevo método para identificar los números primos”
  
• “Dos matemáticos logran resolver un problema con 2.300 años de antigüedad
  
• “Inventan una fórmula para resolver un dilema matemático que tenía siglos sin resolverse”
  
• “Matemáticos descubren una nueva forma de contar números primos”
  

Y a finales del mes de abril la Universidad de Columbia publica, entre las noticias relevantes de la institución, un artículo titulado:

“Un profesor de matemáticas tiene un nuevo hallazgo sobre los números primos”.

Este último es, a mi juicio, el titular más apropiado o mejor ajustado a la buena noticia que voy a compartirles, pero antes quiero poner en contexto el tema.

Como se sabe, alrededor del año 300 a. C., Euclides demostró que hay una cantidad infinita de números primos (números naturales, mayores que 1, que solo son divisibles por 1 y por sí mismos), además con el aporte de una bella prueba, de las mejores y más ilustrativas usando el método de reducción al absurdo, consistente en suponer que hay una cantidad finita de números primos y llegando a una contradicción.  

Pero no hay una fórmula que nos dé todos los primos, tampoco existe una fórmula que, como si se tratase de una máquina especial, pueda recibir unos números de entrada, elegidos al azar, y mediante algún proceso logre transformarlos para producir únicamente primos de cierta clase. 

Desde Eratóstenes, hace unos 2.200 años, se conoce una criba que lleva su nombre y con la cual es posible conocer todos los primos menores que un natural dado (es un buen ejercicio de programación hoy en día); ese es ya un gran logro.

Uno de los grandes retos matemáticos ha sido encontrar funciones polinómicas que arrojen solo números primos. Grandes matemáticos como Euler lo han intentado, su propuesta fue el polinomio:

P(n) = n² + n + 41 

el cual arroja un número primo para todo n entre 0 y 39. Siendo 41 el primo más pequeño que nos genera y 1601 el más grande.

En 2006, J. Brox encontró el polinomio

P(n) = 6n² – 342n + 4903

que arroja números primos para n entre 0 y 57.

Hoy se sabe, y ha sido demostrado, que no es posible encontrar un polinomio que arroje solo números primos.

Los números primos que se consiguen usando algunas fórmulas o que en general siguen algún patrón han sido clasificados ampliamante, como puede deducirse del artículo que compartí recientemente (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/los-nombres-de-los-numeros/).

Hay un buen grupo de conjeturas en torno a los números primos que se constituyen en retos matemáticos sumamente difíciles; tal vez la más famosa es la que se conoce como Conjetura de Goldbach, que aparece formulada en 1740 por el matemático alemán Christian Goldbach, quien envió una carta al matemático más destacado de la época, Leonhard Euler, preguntándole si todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos. Actualmente, más de 250 años después, aunque se sospecha que la respuesta es afirmativa, no hay una demostración. 

Volviendo a la noticia, de acuerdo con el anuncio de algunos de los titulares presentados arriba, se podría llegar a pensar que se ha descubierto una fórmula insospechada para encontrar primos, pero esto induce a un error y no es propiamente lo que corresponde al importante hallazgo que comparto a continuación.

En octubre del año pasado dos matemáticos –el británico Ben Green, profesor de la Universidad de Oxford, y Mehtaab Sawhney, de origen indio, recientemente vinculado como profesor de la Universidad de Columbia, considerado hoy uno de los matemáticos menores de 30 años más brillantes del mundo– publicaron un artículo en el que logran demostrar que existen infinitos números primos de la forma 

p² + 4q² donde tanto p como q también son primos.

A manera de ejemplo, 

5² + 4·2² = 41,  3² + 4·5² =109

son primos que siguen ese patrón. Pero no hay que confundir este resultado con una falsa generalización; no es cierto que con todo par de primos p y q se consiga un nuevo primo de esta forma, basta observar que 

3² + 4·2² = 25 

no es primo.

El resultado es, sin embargo, sumamente relevante y lleva a una nueva clase de números primos, un subconjunto que es infinito y esa demostración tiene, por lo tanto, un valor especial, porque las afirmaciones sobre la cantidad de números primos que siguen un patrón particular son sumamente valiosas y especialmente difíciles de demostrar. Por ejemplo, en el siglo XIX, Peter G. L. Dirichlet demostró un teorema sobre progresiones aritméticas del que se deduce un corolario muy valioso con el que se demuestra que existen infinitos primos que terminan en 7.

La primicia matemática que se ha difundido es también un buen ejemplo que muestra la dificultad que tienen los medios informativos para presentar titulares que respeten la precisión antes que la atracción.

Estaré atento a nuevas buenas noticias sobre esta fascinante área de la Teoría de Números para poder compartirle a los lectores material de lectura que les aleje por unos minutos de la cotidianidad.

@MantillaIgnacio