La familia está conformada por los padres, ya mayores, junto con su hijo y la esposa de este. Tras avanzar por un estrecho camino abandonado, que el padre conocía desde su infancia, han logrado alcanzar la frontera y, ya entrada la noche, deben cruzar un puente para ponerse a salvo en el país vecino.

La oscuridad de la noche obliga a utilizar una linterna para cruzar. Por fortuna, la familia dispone de una, incluida por la madre en el equipaje a última hora, antes de abandonar la casa con premura. La luz resulta imprescindible para alcanzar el otro lado, pues todo está en penumbras y el puente se encuentra en mal estado.

Adicionalmente, la familia enfrenta varios inconvenientes: la persecución a la que está sometida les concede únicamente quince minutos para atravesar el puente. Por otra parte, debido a su estado y estrechez, este solo soporta el paso de dos personas al mismo tiempo. Considerando las limitaciones físicas y el cansancio, el padre requiere 5  minutos para cruzar, la madre necesita 8, mientras que el hijo lo logra en apenas 1 minuto y su esposa en 2.

Como se indicó previamente, el puente solo soporta el paso de dos personas a la vez, y cuando avanzan juntas lo hacen al ritmo del más lento. La linterna no puede lanzarse de un extremo al otro, de modo que cada vez que dos personas crucen, alguien debe regresar con ella para acompañar a quienes aún esperan. Este procedimiento debe repetirse hasta que todos hayan alcanzado el otro lado.

¿Lograrán atravesar todos en 15 minutos o menos tiempo?

Una estrategia que parece lógica es que el más rápido de la familia, el hijo (H), sea quien acompañe a cada uno de los demás a través del puente. Procedamos primero con los más veloces, siguiendo estos pasos: 

Primer paso: El padre (P), la madre (M), el hijo (H) y la esposa (E) se ubican a la entrada del puente.

Segundo paso: H y E cruzan el puente al ritmo del más lento —el de E—, de modo que demoran 2 minutos en alcanzar la otra orilla.

Tercer paso: E permanece esperando a los demás, mientras H regresa al punto de partida con la linterna; lo hace en 1 minuto, de manera que en total han transcurrido 3 minutos.

Cuarto paso: H y P cruzan ahora el puente, pero necesitan 5 minutos, que es el tiempo requerido por P; al llegar a la otra orilla y reunirse con E, habrán transcurrido en total 8 minutos desde el inicio.

Quinto paso: Como antes, H regresa al punto de origen en 1 minuto y se reencuentra con M, la más lenta del grupo. Para ese momento ya han transcurrido 9 minutos.

Sexto paso: Cuando M y H intentan cruzar el puente, la linterna se agota antes de conseguir el objetivo, pues necesitarían 8 minutos y, desde el inicio, sumarían 17 minutos.

Por lo tanto, la estrategia anterior falla.

¿Cómo ayudar a la familia en apuros con una estrategia exitosa?

Veamos la siguiente alternativa para minimizar el tiempo de recorrido. Parece natural arriesgar enviando a las personas más lentas en un solo viaje. El primer esquema propuesto es el siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. H regresa → 1 minuto (total: 3 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 11 minutos).

4. E regresa → 2 minutos (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).

Como se observa, esta estrategia resultó exitosa.

Una solución adicional del acertijo es la siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. E regresa → 2 minutos (total: 4 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 12 minutos).

4. H regresa → 1 minuto (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).
   
   

Las dos últimas estrategias exitosas, conseguidas en cinco viajes, permiten a la familia ponerse a salvo.

Podemos ahora plantearnos el reto de generalizar el problema a un grupo arbitrario de personas, con ritmos de cruce distintos y un tiempo límite, manteniendo invariable la capacidad del puente. Se trata de un problema que, sin duda, encuentra sustento en la conocida teoría de grafos; así, un sencillo acertijo de lógica puede conducir a la formulación de teoremas más generales.

@MantillaIgnacio

—Si lanzas una moneda al aire, la probabilidad de que salga sello es de 1/2; o sea, que tienes el 50 % de las posibilidades de ganar, pues solo hay dos posibles eventos: cara o sello —le explica el joven a su hermana. Y continúa hablando con entusiasmo—: si ahora lanzas un dado, la probabilidad de que caiga el 5 es de 1/6, o sea que tienes menos del 17 % de las posibilidades de ganar, pues hay seis posibles eventos, y así con cada cosa en la que quieras conocer tus oportunidades para ganar o acertar. 

En este punto su hermana lo interrumpe y le dice:

—¿O sea que la probabilidad de que mi bebé sea un niño es del 50 %? 

—Claro, pero mejor aún —responde el joven—: si tenemos en cuenta que la población de China es aproximadamente la quinta parte de la población mundial, la probabilidad de que sea chino es del 20 %.

Quiero compartirles una historia, que más que un chiste, parece una paradoja lógica. Se trata del anuncio que hace un profesor sobre la realización de un examen parcial. 

El docente protagonista de esta historia, respetado entre sus estudiantes y famoso por ser muy estricto, al terminar la última clase de la semana informa a sus alumnos que la próxima semana realizará un examen parcial sorpresa, que solo será anunciado el mismo día al inicio de la hora de la clase destinada para el examen y que por lo tanto deberán estar preparados porque no podrán conocer de antemano el día en que se realizará el examen.

Cuando el docente sale del aula uno de los estudiantes pasa al frente y les pide a sus compañeros que lo oigan un momento. 

—No es necesario prepararse, pues, según el anuncio del profe, no podrá haber sorpresa y, por lo tanto, no tendremos examen— dice el entusiasta joven a sus compañeros, y pasa a explicar por qué razón no habrá examen.

—Tenemos clase todos los días, de lunes a viernes; entonces, el examen no podrá realizarse el viernes porque es el último día posible y, si no lo realiza antes, entonces sabríamos con toda certeza, de antemano, que el examen es ese día; así que no puede realizarse el viernes. Recuerden que el profesor nos dijo que debíamos estar preparados porque solo podríamos saber el mismo día, al iniciar la hora de clase.

Y continuó con su razonamiento frente a sus compañeros:

—Y como no puede ser el viernes, entonces, por la misma razón, no podrá tener lugar el jueves, pues se violaría el anuncio del profesor, ya que, si no se ha realizado antes el examen, desde el día anterior sabríamos que es el jueves como última opción porque el viernes está descartado.

La expectativa y la atención de todos aumentó para oír al joven, quien prosiguió:

—Exactamente del mismo modo podemos descartar el miércoles y el martes, así que solo quedaría la opción del lunes, pero ya lo sabemos hoy; entonces, no podrá realizar el examen el lunes tampoco. Así que vamos a descansar, que no hay que preparar ningún examen.

El razonamiento del estudiante convenció a sus compañeros, quienes, muy tranquilos, sabiendo que su profesor no incurriría en un error lógico, salieron del salón despreocupados del examen.

A la semana siguiente, todos los estudiantes asistieron a clase el lunes y el martes. Pero para su gran sorpresa, el miércoles al iniciar la clase el profesor dijo: 

—Saquen una hoja, vamos a iniciar el examen.

Claramente no lo esperaban, y por lo tanto, se cumplió la sentencia del profesor cuando les anunció que solo lo sabrían el mismo día del examen.

Les dejo a los lectores la tarea de pensar en la solución a esta aparente «paradoja».

@MantillaIgnacio

Lectores de todo el mundo, filósofos y educadores le conocen por sus ideas brillantes plasmadas en sus textos y sintetizadas en frases que se repiten en los medios a diario. Pero voy a referirme solamente a uno de sus grandes aportes a la matemática, contenidos en una sencilla, pero profunda paradoja. Se trata de la más célebre de las paradojas de la teoría de conjuntos y la lógica, que expondré a continuación.

Una paradoja, como sabemos, es una afirmación que en apariencia es verdadera, pero que lleva a una contradicción lógica y pone en duda su veracidad. El planteamiento de la Paradoja de Russell tuvo un impacto importante en la concepción de los fundamentos de las matemáticas asociados al logicismo.  

La idea de esta paradoja surge ante la pregunta sobre la existencia de un conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Existen conjuntos que son elementos de sí mismos y otros que no lo son; así por ejemplo una caja que contiene a todas las cajas pertenece al conjunto de las cajas, mientras que el conjunto de todos los gatos no es, él mismo, un gato. 

Pero nos encontramos frente a una situación paradójica al preguntarnos si existe el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. En efecto, si ese conjunto existe y no pertenece a sí mismo, entonces es de aquellos que, por no pertenecer a sí mismos debería pertenecer a sí mismo. Suena contradictorio ¿verdad? Pero esto es por ser el conjunto que tiene a todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. En conclusión: ese conjunto pertenece a sí mismo si y sólo no pertenece a sí mismo. En eso consiste la llamada Paradoja de Russell.

Para comprenderla mejor en términos informales, examinemos la versión que se ha formulado y difundido, conocida como “Paradoja del Barbero”. Según esta historia, en un pueblo solo hay un barbero y él debe afeitar a todos los habitantes de su pueblo que no se afeitan a sí mismos y únicamente a ellos, así que todos los que no se afeiten a sí mismos tienen que acudir al barbero. Ahora surge la pregunta de si el barbero se afeita o no a sí mismo. Si se afeita a sí mismo, no debe acudir al barbero, así que no se afeita a sí mismo. Y si no se afeita a sí mismo, debe acudir al barbero, con lo cual debe afeitase a sí mismo, porque él es el barbero. Entonces: el barbero se afeita a sí mismo si y solo si el barbero no se afeita a sí mismo. Por lo tanto ese barbero no podría existir.

La Paradoja de Russell fue descubierta por Ernst Zermelo en 1900, un poco antes que por Bertrand Russell, eso explica que también se le llame “Paradoja de Russell-Zermelo”; sin embargo, Russell la descubrió en forma independiente y sí le supo dar la importancia que tiene. Al principio le despertó sólo curiosidad, era un nuevo y divertido reto, pero después de un año seguía sin poder resolverla y comprendió que estaba frente a un problema muy grande, pues si la teoría de conjuntos era contradictoria, no se podía confiar en ninguna demostración matemática basada en ella.

Al comentarlo con su director de tesis en Cambridge, el profesor Alfred North Whitehead, éste dijo: “Nunca más habrá una alegre y confiada mañana”. Y al escribirle al matemático alemán Gottlob Frege, considerado uno de los padres de la lógica matemática, quien acababa de terminar de escribir el segundo volumen de su gran obra Grundgesetze der Arithmetik (Las leyes básicas de la aritmética), éste expresó: “Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada”.

Tras un tremendo esfuerzo, Russell encontró una solución para su paradoja y posteriormente Hilbert, Zermelo y Fraenkel propusieron otras, pero el logicismo había quedado debilitado, pues los lógicos tendrían que limitar el alcance de la teoría de conjuntos en la que están basadas las matemáticas y aceptar que esos conjuntos que se contienen a sí mismos como elemento, no pueden existir. Luego vendría el axioma de elección, dando paso a otro fascinante tema. Y años más tarde Kurt Gödel daría un nuevo gran aporte a la lógica con el teorema de incompletitud.

Ilustración de @archimedestub, autor Urtzi Buijs Martín (@UrtziBuijs ):

Volviendo a Bertrand Russell, hay que decir que muchas de esas importantes ideas que ocuparon a los más destacados matemáticos a principios del siglo pasado, fueron desarrolladas durante una década de duro trabajo por Russell y su ex profesor Whitehead y fueron plasmadas en los tres volúmenes del libro Principia Mathematica, considerado uno de los trabajos en lógica más importante que se haya escrito desde los tiempos de Aristóteles.

Aun cuando las matemáticas han sufrido fuertes remezones, como el que le dio la Paradoja de Russell, siempre ha sido posible llevar a cabo una correcta restauración y realizar un reforzamiento oportuno. Hoy las matemáticas mantienen sus cimientos suficientemente sólidos para seguir soportando el peso de la ciencia.

@MantillaIgnacio

Hoy quiero, en esa misma dirección, hacer alusión a otras expresiones que se vuelven de uso frecuente, pero que no por eso están bien utilizadas; me refiero al verdadero significado de las condiciones suficientes o necesarias, así como a las que son suficientes y necesarias; es decir al significado lógico de una implicación matemática y también de una doble implicación; lo que seguramente la mayoría de los lectores aprendieron en el colegio como “el entonces, ⇒” y el “si y solo si, ⇔”.

La distinción entre una condición necesaria y una condición suficiente es algo que muchos desconocen o no aplican o lo hacen equivocadamente.

La tendencia ante una condición necesaria es entenderla como si fuera una condición suficiente y viceversa; también es común que ante una condición solamente suficiente o solamente necesaria se le interprete como si además fuese lo uno y lo otro también.

Por “P implica Q” debemos entender que:

“si P es verdadero entonces Q es verdadero”, 

pero esto no significa o es equivalente a afirmar que:

“si Q es cierto entonces P es cierto”.

Veamos un sencillo ejemplo: es evidente que: “si cae nieve entonces hace frío”. Esto no significa que si hace frío entonces cae nieve, pues bien puede bajar la temperatura sin que haya nevado; así que una condición suficiente para que haga frío es que caiga nieve, pero no es ésta una condición necesaria. 

Si soy egresado de una carrera entonces soy exalumno de esa carrera; eso no significa que por ser exalumno entonces soy egresado, pues pude haber abandonado sin graduarme. La implicación sólo es válida en un sentido: “egresado ⇒ exalumno”, pero no es correcto extenderla a: “exalumno ⇒ egresado”,  lo cual parece ser la implicación usada por algunos para hablar de sus títulos inexistentes. 

Cuando se dice: “es necesario que estudies para que pases la materia”, significa que si no estudias entonces no pasas; es decir que “no estudiar” es una condición suficiente para “no pasar”. Pero cuidado: esto no es lo mismo que afirmar: “si estudias entonces pasas”; es decir, “estudiar” no es una condición suficiente para “pasar”.

En general las cosas parecen ser aún más confusas cuando alguna de las proposiciones P o Q contiene negaciones. Por ejemplo: “si no pagas, te multan”. Quiere decir que no pagar es una condición suficiente para que te multen, pero no dice que pagando evites la multa; es decir no es equivalente a decir “si pagas entonces no te multan”.

Un último ejemplo: la chica que le dice a su novio: “si no consigo trabajo entonces no me caso contigo”. Ella consigue un trabajo luego, sin embargo no se casa con su novio y rompe su relación con él. Está claro que la chica no ha incumplido su palabra, pues ella dijo lo que haría (no casarse) si no conseguía un trabajo, pero no afirmó nada sobre lo que haría si conseguía un trabajo.

Naturalmente también hay proposiciones que son válidas en ambos sentidos de la implicación, lo que en matemáticas se aprende como la doble implicación o el “si y solo si”: [hoy es jueves] ⇔ [ayer fue miércoles].  

En el examen sobre la veracidad de una proposición de la forma “P implica Q” es muy importante conocer si P es cierto o no. Mediante las tablas de verdad que se aprenden en los cursos elementales de matemáticas básicas se muestra cómo, partiendo de P verdadero y razonando lógicamente, no se puede llegar a un falso Q. Es decir el único valor falso en la tabla de verdad de P implica Q es precisamente cuando partiendo de P verdadero se llega a un falso Q.

Pero cuando se parte de una proposición falsa puede entonces deducirse una verdadera o falsa. Esta es precisamente una de las técnicas que algunos grandes oradores usan frecuentemente en su retórica para convencer a sus auditorios: parten de un hecho falso y hablan media hora expresando solo verdades que arrancan el aplauso del público y el asentimiento de todos porque todo lo que el orador dice es una verdad evidente. Al cabo de la intervención y después de tantas verdades, el orador concluye con una afirmación falsa, aprovechando que ya todos olvidaron de dónde partió su razonamiento.

Le invito apreciado lector a examinar “lógicamente” los discursos, las afirmaciones, las implicaciones y las verdades que nos transmiten a diario para que podamos entre todos también denunciar los “falsos verdaderos”.

@MantillaIgnacio