En esencia, Giges es alguien que siempre se sale con la suya. Puede robar, violar, matar y cometer todo tipo de acciones detestables para obtener lo que desea, sin tener, nunca, que pagar los platos rotos. (Giges puede hacerse invisible a voluntad.) Alguien curioso podría preguntarse por los beneficios que le traería llevar una vida justa y honrada, en contraste con los que podría obtener llevando una vida como la de Giges. ¿Hay algún bien que Giges esté incapacitado para obtener simplemente en virtud de no ser justo? O, puesto de forma más abstracta: ¿existen bienes que la práctica de la injusticia hace necesariamente inaccesibles?

Todo el crédito para Platón por haber planteado de una manera tan prístina un problema que, en sus contornos generales, le precedía.

El súper-archi-recontra famoso argumento que Platón emplea para mostrar que sí existen bienes de este tipo es un razonamiento por analogía desarrollado a lo largo de los Libros II y IV de La República. En términos gruesos, en este tipo de argumentos se busca concluir que un objeto a posee una propiedad P a partir del hecho de que a y otro objeto b se parecen en ciertos aspectos relevantes, y de que b posee P. En un ejemplo:

1. María y Laura tienen una formación pianística muy similar.
2. Laura improvisa muy bien.
∴ María improvisa muy bien.

En este razonamiento, la propiedad proyectada (P) desde Laura (b) hacia María (a) es la de improvisar muy bien. Y el aspecto relevante que soporta la proyección es la formación pianística que comparten.

Por supuesto, razonamientos analógicos como el anterior o el de Platón no garantizan que la conclusión que extraen sea verdadera. Después de todo, las premisas 1 y 2 podrían ser verdaderas y, si María sufre de artritis, la conclusión falsa. Esto los incluye dentro de la gran familia de los argumentos derrotables o no-deductivos. Pero no por ser derrotables, los razonamientos analógicos dejan de tener un gran poder persuasivo. De hecho, en muchas ocasiones esta clase de argumentos son medios idóneos para suscitar una nueva interpretación o perspectiva de un fenómeno que pensamos conocer muy bien. Y en este particular rubro, como veremos pronto, el argumento platónico detonado por el relato de Giges no deja absolutamente nada en el tintero.

@pater_doloroso

La familia está conformada por los padres, ya mayores, junto con su hijo y la esposa de este. Tras avanzar por un estrecho camino abandonado, que el padre conocía desde su infancia, han logrado alcanzar la frontera y, ya entrada la noche, deben cruzar un puente para ponerse a salvo en el país vecino.

La oscuridad de la noche obliga a utilizar una linterna para cruzar. Por fortuna, la familia dispone de una, incluida por la madre en el equipaje a última hora, antes de abandonar la casa con premura. La luz resulta imprescindible para alcanzar el otro lado, pues todo está en penumbras y el puente se encuentra en mal estado.

Adicionalmente, la familia enfrenta varios inconvenientes: la persecución a la que está sometida les concede únicamente quince minutos para atravesar el puente. Por otra parte, debido a su estado y estrechez, este solo soporta el paso de dos personas al mismo tiempo. Considerando las limitaciones físicas y el cansancio, el padre requiere 5  minutos para cruzar, la madre necesita 8, mientras que el hijo lo logra en apenas 1 minuto y su esposa en 2.

Como se indicó previamente, el puente solo soporta el paso de dos personas a la vez, y cuando avanzan juntas lo hacen al ritmo del más lento. La linterna no puede lanzarse de un extremo al otro, de modo que cada vez que dos personas crucen, alguien debe regresar con ella para acompañar a quienes aún esperan. Este procedimiento debe repetirse hasta que todos hayan alcanzado el otro lado.

¿Lograrán atravesar todos en 15 minutos o menos tiempo?

Una estrategia que parece lógica es que el más rápido de la familia, el hijo (H), sea quien acompañe a cada uno de los demás a través del puente. Procedamos primero con los más veloces, siguiendo estos pasos: 

Primer paso: El padre (P), la madre (M), el hijo (H) y la esposa (E) se ubican a la entrada del puente.

Segundo paso: H y E cruzan el puente al ritmo del más lento —el de E—, de modo que demoran 2 minutos en alcanzar la otra orilla.

Tercer paso: E permanece esperando a los demás, mientras H regresa al punto de partida con la linterna; lo hace en 1 minuto, de manera que en total han transcurrido 3 minutos.

Cuarto paso: H y P cruzan ahora el puente, pero necesitan 5 minutos, que es el tiempo requerido por P; al llegar a la otra orilla y reunirse con E, habrán transcurrido en total 8 minutos desde el inicio.

Quinto paso: Como antes, H regresa al punto de origen en 1 minuto y se reencuentra con M, la más lenta del grupo. Para ese momento ya han transcurrido 9 minutos.

Sexto paso: Cuando M y H intentan cruzar el puente, la linterna se agota antes de conseguir el objetivo, pues necesitarían 8 minutos y, desde el inicio, sumarían 17 minutos.

Por lo tanto, la estrategia anterior falla.

¿Cómo ayudar a la familia en apuros con una estrategia exitosa?

Veamos la siguiente alternativa para minimizar el tiempo de recorrido. Parece natural arriesgar enviando a las personas más lentas en un solo viaje. El primer esquema propuesto es el siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. H regresa → 1 minuto (total: 3 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 11 minutos).

4. E regresa → 2 minutos (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).

Como se observa, esta estrategia resultó exitosa.

Una solución adicional del acertijo es la siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. E regresa → 2 minutos (total: 4 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 12 minutos).

4. H regresa → 1 minuto (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).
   
   

Las dos últimas estrategias exitosas, conseguidas en cinco viajes, permiten a la familia ponerse a salvo.

Podemos ahora plantearnos el reto de generalizar el problema a un grupo arbitrario de personas, con ritmos de cruce distintos y un tiempo límite, manteniendo invariable la capacidad del puente. Se trata de un problema que, sin duda, encuentra sustento en la conocida teoría de grafos; así, un sencillo acertijo de lógica puede conducir a la formulación de teoremas más generales.

@MantillaIgnacio

—Si lanzas una moneda al aire, la probabilidad de que salga sello es de 1/2; o sea, que tienes el 50 % de las posibilidades de ganar, pues solo hay dos posibles eventos: cara o sello —le explica el joven a su hermana. Y continúa hablando con entusiasmo—: si ahora lanzas un dado, la probabilidad de que caiga el 5 es de 1/6, o sea que tienes menos del 17 % de las posibilidades de ganar, pues hay seis posibles eventos, y así con cada cosa en la que quieras conocer tus oportunidades para ganar o acertar. 

En este punto su hermana lo interrumpe y le dice:

—¿O sea que la probabilidad de que mi bebé sea un niño es del 50 %? 

—Claro, pero mejor aún —responde el joven—: si tenemos en cuenta que la población de China es aproximadamente la quinta parte de la población mundial, la probabilidad de que sea chino es del 20 %.

Quiero compartirles una historia, que más que un chiste, parece una paradoja lógica. Se trata del anuncio que hace un profesor sobre la realización de un examen parcial. 

El docente protagonista de esta historia, respetado entre sus estudiantes y famoso por ser muy estricto, al terminar la última clase de la semana informa a sus alumnos que la próxima semana realizará un examen parcial sorpresa, que solo será anunciado el mismo día al inicio de la hora de la clase destinada para el examen y que por lo tanto deberán estar preparados porque no podrán conocer de antemano el día en que se realizará el examen.

Cuando el docente sale del aula uno de los estudiantes pasa al frente y les pide a sus compañeros que lo oigan un momento. 

—No es necesario prepararse, pues, según el anuncio del profe, no podrá haber sorpresa y, por lo tanto, no tendremos examen— dice el entusiasta joven a sus compañeros, y pasa a explicar por qué razón no habrá examen.

—Tenemos clase todos los días, de lunes a viernes; entonces, el examen no podrá realizarse el viernes porque es el último día posible y, si no lo realiza antes, entonces sabríamos con toda certeza, de antemano, que el examen es ese día; así que no puede realizarse el viernes. Recuerden que el profesor nos dijo que debíamos estar preparados porque solo podríamos saber el mismo día, al iniciar la hora de clase.

Y continuó con su razonamiento frente a sus compañeros:

—Y como no puede ser el viernes, entonces, por la misma razón, no podrá tener lugar el jueves, pues se violaría el anuncio del profesor, ya que, si no se ha realizado antes el examen, desde el día anterior sabríamos que es el jueves como última opción porque el viernes está descartado.

La expectativa y la atención de todos aumentó para oír al joven, quien prosiguió:

—Exactamente del mismo modo podemos descartar el miércoles y el martes, así que solo quedaría la opción del lunes, pero ya lo sabemos hoy; entonces, no podrá realizar el examen el lunes tampoco. Así que vamos a descansar, que no hay que preparar ningún examen.

El razonamiento del estudiante convenció a sus compañeros, quienes, muy tranquilos, sabiendo que su profesor no incurriría en un error lógico, salieron del salón despreocupados del examen.

A la semana siguiente, todos los estudiantes asistieron a clase el lunes y el martes. Pero para su gran sorpresa, el miércoles al iniciar la clase el profesor dijo: 

—Saquen una hoja, vamos a iniciar el examen.

Claramente no lo esperaban, y por lo tanto, se cumplió la sentencia del profesor cuando les anunció que solo lo sabrían el mismo día del examen.

Les dejo a los lectores la tarea de pensar en la solución a esta aparente «paradoja».

@MantillaIgnacio

Más allá de la influencia de sus textos y de sus célebres aforismos, repetidos incesantemente en los medios, este artículo se centra en uno de sus aportes más significativos a la matemática: una paradoja tan sencilla en su formulación como profunda en sus implicaciones. Se trata de la más famosa de las contradicciones de la teoría de conjuntos y la lógica, la cual paso a exponer a continuación.

Una paradoja es una premisa que, pese a presentarse como veraz, conduce inevitablemente a una contradicción lógica, cuestionando así su propia validez. En el caso específico de la Paradoja de Russell, su formulación no fue un mero ejercicio intelectual: tuvo un impacto disruptivo en la arquitectura de los fundamentos de la matemática, particularmente en el programa del logicismo, al poner en jaque sus bases axiomáticas.

La idea de esta paradoja surge ante la pregunta sobre la existencia de un conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Existen conjuntos que son elementos de sí mismos y otros que no lo son; así, por ejemplo, una caja que contiene a todas las cajas pertenece al conjunto de las cajas, mientras que el conjunto de todos los gatos no es, él mismo, un gato.

Pero nos encontramos frente a una situación paradójica al preguntarnos si existe el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. En efecto, si ese conjunto existe y no pertenece a sí mismo, entonces es de aquellos que, por no pertenecer a sí mismo, debería pertenecer a sí mismo. Suena contradictorio, ¿verdad? Pero esto es por ser el conjunto que tiene a todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. En conclusión: ese conjunto pertenece a sí mismo si y solo si no pertenece a sí mismo. En eso consiste la llamada Paradoja de Russell.

Para comprenderla mejor en términos informales, examinemos la versión que se ha formulado y difundido, conocida como la “Paradoja del Barbero”. Según esta historia, en un pueblo solo hay un barbero y él debe afeitar a todos los habitantes que no se afeiten a sí mismos y únicamente a ellos, por lo que todos los que no se afeiten a sí mismos tienen que acudir a él. Ahora surge la pregunta de si el barbero se afeita o no a sí mismo: si se afeita a sí mismo, estaría incumpliendo la regla (ya que solo debe afeitarse a quienes no lo hacen por sí mismos), por lo que no debería afeitarse; pero si no se afeita a sí mismo, está obligado a acudir al barbero, con lo cual terminaría afeitándose a sí mismo (porque él es el barbero). En conclusión: el barbero se afeita a sí mismo si y solo si el barbero no se afeita a sí mismo. Por lo tanto, ese barbero no puede existir.

La Paradoja de Russell fue descubierta por Ernst Zermelo en 1900, un poco antes que por el propio Bertrand Russell, motivo por el cual en ocasiones se le denomina «Paradoja de Russell-Zermelo». Sin embargo, Russell la descubrió de forma independiente y supo dimensionar su enorme trascendencia. Al principio le despertó únicamente curiosidad, un nuevo y divertido reto intelectual; pero tras un año sin poder resolverla, comprendió que estaba frente a un problema mayúsculo. Si la teoría de conjuntos era contradictoria, las bases mismas de la matemática quedaban en entredicho y no se podía confiar en ninguna demostración basada en ella.

Al comentarlo con su profesor en Cambridge, Alfred North Whitehead —quien había sido su director de tesis—, este exclamó: «Nunca más habrá una alegre y confiada mañana». Y al escribirle al matemático alemán Gottlob Frege, considerado uno de los padres de la lógica matemática y quien acababa de terminar el segundo volumen de su gran obra Grundgesetze der Arithmetik (Las leyes básicas de la aritmética), la respuesta no fue menos devastadora: «Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada».

Tras un tremendo esfuerzo, Russell ideó una solución para su paradoja, a la que posteriormente se sumaron las propuestas de Hilbert, Zermelo y Fraenkel. Sin embargo, el logicismo quedó profundamente debilitado: los lógicos se vieron obligados a limitar el alcance de la teoría de conjuntos —en la que se sustentan las matemáticas— y a prohibir formalmente la existencia de conjuntos que se contuvieran a sí mismos como elementos. Más adelante, la incorporación del axioma de elección abriría un nuevo y fascinante capítulo, mientras que, años más tarde, el teorema de incompletitud de Kurt Gödel sacudiría nuevamente los cimientos de la lógica moderna.

Ilustración de @archimedestub, autor Urtzi Buijs Martín (@UrtziBuijs ):

Volviendo a Bertrand Russell, cabe destacar que gran parte de estas ideas cruciales —que mantuvieron ocupados a los matemáticos más brillantes de principios del siglo pasado— fueron desarrolladas durante una década de intenso trabajo junto a su exprofesor Whitehead. Este monumental esfuerzo quedó plasmado en los tres volúmenes de los Principia Mathematica, considerados uno de los trabajos lógicos más importantes escritos desde los tiempos de Aristóteles.

Aun cuando las matemáticas han sufrido fuertes remezones —como el provocado por la Paradoja de Russell—, siempre ha sido posible llevar a cabo una restauración rigurosa y un reforzamiento oportuno. Hoy en día, la disciplina mantiene sus cimientos con la solidez necesaria para seguir sosteniendo el vasto edificio de la ciencia.

@MantillaIgnacio

Hoy quiero, en esa misma dirección, hacer alusión a otras expresiones que se vuelven de uso frecuente, pero que no por eso están bien utilizadas; me refiero al verdadero significado de las condiciones suficientes o necesarias, así como a las que son suficientes y necesarias; es decir al significado lógico de una implicación matemática y también de una doble implicación; lo que seguramente la mayoría de los lectores aprendieron en el colegio como “el entonces, ⇒” y el “si y solo si, ⇔”.

La distinción entre una condición necesaria y una condición suficiente es algo que muchos desconocen o no aplican o lo hacen equivocadamente.

La tendencia ante una condición necesaria es entenderla como si fuera una condición suficiente y viceversa; también es común que ante una condición solamente suficiente o solamente necesaria se le interprete como si además fuese lo uno y lo otro también.

Por “P implica Q” debemos entender que:

“si P es verdadero entonces Q es verdadero”, 

pero esto no significa o es equivalente a afirmar que:

“si Q es cierto entonces P es cierto”.

Veamos un sencillo ejemplo: es evidente que: “si cae nieve entonces hace frío”. Esto no significa que si hace frío entonces cae nieve, pues bien puede bajar la temperatura sin que haya nevado; así que una condición suficiente para que haga frío es que caiga nieve, pero no es ésta una condición necesaria. 

Si soy egresado de una carrera entonces soy exalumno de esa carrera; eso no significa que por ser exalumno entonces soy egresado, pues pude haber abandonado sin graduarme. La implicación sólo es válida en un sentido: “egresado ⇒ exalumno”, pero no es correcto extenderla a: “exalumno ⇒ egresado”,  lo cual parece ser la implicación usada por algunos para hablar de sus títulos inexistentes. 

Cuando se dice: “es necesario que estudies para que pases la materia”, significa que si no estudias entonces no pasas; es decir que “no estudiar” es una condición suficiente para “no pasar”. Pero cuidado: esto no es lo mismo que afirmar: “si estudias entonces pasas”; es decir, “estudiar” no es una condición suficiente para “pasar”.

En general las cosas parecen ser aún más confusas cuando alguna de las proposiciones P o Q contiene negaciones. Por ejemplo: “si no pagas, te multan”. Quiere decir que no pagar es una condición suficiente para que te multen, pero no dice que pagando evites la multa; es decir no es equivalente a decir “si pagas entonces no te multan”.

Un último ejemplo: la chica que le dice a su novio: “si no consigo trabajo entonces no me caso contigo”. Ella consigue un trabajo luego, sin embargo no se casa con su novio y rompe su relación con él. Está claro que la chica no ha incumplido su palabra, pues ella dijo lo que haría (no casarse) si no conseguía un trabajo, pero no afirmó nada sobre lo que haría si conseguía un trabajo.

Naturalmente también hay proposiciones que son válidas en ambos sentidos de la implicación, lo que en matemáticas se aprende como la doble implicación o el “si y solo si”: [hoy es jueves] ⇔ [ayer fue miércoles].  

En el examen sobre la veracidad de una proposición de la forma “P implica Q” es muy importante conocer si P es cierto o no. Mediante las tablas de verdad que se aprenden en los cursos elementales de matemáticas básicas se muestra cómo, partiendo de P verdadero y razonando lógicamente, no se puede llegar a un falso Q. Es decir el único valor falso en la tabla de verdad de P implica Q es precisamente cuando partiendo de P verdadero se llega a un falso Q.

Pero cuando se parte de una proposición falsa puede entonces deducirse una verdadera o falsa. Esta es precisamente una de las técnicas que algunos grandes oradores usan frecuentemente en su retórica para convencer a sus auditorios: parten de un hecho falso y hablan media hora expresando solo verdades que arrancan el aplauso del público y el asentimiento de todos porque todo lo que el orador dice es una verdad evidente. Al cabo de la intervención y después de tantas verdades, el orador concluye con una afirmación falsa, aprovechando que ya todos olvidaron de dónde partió su razonamiento.

Le invito apreciado lector a examinar “lógicamente” los discursos, las afirmaciones, las implicaciones y las verdades que nos transmiten a diario para que podamos entre todos también denunciar los “falsos verdaderos”.

@MantillaIgnacio