Qué significa crecimiento exponencial

Nos hemos acostumbrado al uso frecuente e incorrecto de algunas unidades de medida, pero no por eso puede aceptarse todo tipo de afirmaciones falsas con respecto a las cifras. No cuestionamos, ni se nos hace extraño oír por ejemplo que “Suesca es un municipio ubicado a tan solo una hora de Bogota”; cuando en realidad nos estamos refiriendo a una distancia y lo correcto sería afirmar que el municipio de Suesca se encuentra a unos 70 kilómetros de Bogotá, distancia que en condiciones normales se puede recorrer, en automóvil, en una hora. 

La costumbre de usar una unidad de tiempo para medir una distancia se ha impuesto y me atrevería a decir que está aceptada, como se aceptaban antes otras curiosas unidades de medida para referirse a distancia y tiempo simultáneamente. En Santander, por ejemplo, cuando se iba a pie por un camino y se le preguntaba a un campesino cuánto faltaba para llegar al lugar de destino, la respuesta podía ser “le falta medio tabaco”; lo que significaba que, caminando a paso normal, tardaría en llegar tanto tiempo como el que demoraría alguien en fumarse medio tabaco; como se ve, un tabaco estándar, común y corriente, podía medir el tiempo y la distancia simultáneamente.

Pero se ha vuelto costumbre entre nosotros usar expresiones que más parecen muletillas que conclusiones, análisis o sentencias; una de ellas, muy usada entre periodistas y comunicadores, entre otros, es la frase “… creció exponencialmente”, que acompaña frecuentemente la presentación y comparación de cifras y que está dentro de las expresiones favoritas cuando se quiere hacer énfasis en un aumento grande, como si crecer exponencialmente fuese un sinónimo de bastante o mucho.

Voy a tratar de concentrarme en explicar dos tipos de crecimientos, los más frecuentes, los que describen el comportamiento de las cifras la mayoría de las veces. 

El primero es el Crecimiento Lineal, se presenta cuando a partir de un valor inicial se incrementa la cifra en cada periodo determinado, en un mismo valor; escojamos por ejemplo un incremento de 2 a partir del valor 1, entonces el crecimiento lineal se reconoce con la sucesión: 1, 1+2, (1+2)+2, [(1+2)+2]+2,… es decir: 1, 3, 5, 7,… que corresponde a una expresión de la forma F(n)=1+2n pues a medida que n toma los valores 0, 1, 2, 3,… vamos obteniendo los términos de la sucesión 1, 3, 5, 7,… Y si se quiere pasar a una función matemática general, la escribimos como f(x)=1+2x. Su gráfica es una línea recta que crece con pendiente 2. 

Si observamos que por ejemplo el precio del arroz, por kilo, ha aumentado $400 cada año, durante los últimos 4 años, pasando de $2.000 en agosto de 2015 a $2.400 en el mismo mes de 2016, luego alcanzando los $2.800 el año pasado, hasta llegar al precio actual de $3.200, podemos afirmar que el precio del arroz ha crecido linealmente. El crecimiento lineal guarda una relación estrecha con el concepto de progresión aritmética, razón por la que es correcto hablar también de un crecimiento aritmético. 

El segundo crecimiento al que me quiero referir es el Crecimiento Exponencial, que ha motivado este texto y que también se suele llamar Crecimiento Geométrico ya que se puede explicar en términos de una progresión geométrica. Por ejemplo, si se toma como primer término 1 y este valor se duplica cada vez, se obtiene la sucesión: 1, 2(1), 2[2(1)], 2{2[2(1)]},… es decir, 1, 2, 4, 8, 16,… que corresponde a la sucesión de 2 elevado a las potencias 0, 1, 2, 3, 4,… y que expresado en términos formales de una función matemática, sería G(x)=2^x. 

Volviendo al mismo ejemplo anterior, el crecimiento del precio del arroz sería exponencial, si observamos que se ha duplicado cada año. Así que si en el año 2015 costaba $2.000 el kilo, debió pasar a $4.000 en 2016, a $8.000 en 2017 y hoy costaría entonces $16.000 un kilo de arroz.

Pero no es correcto calificar (y es el error más común que se comete), con sólo una cifra previa de referencia, el tipo de crecimiento. Por ejemplo, si el año pasado el número de vehículos en una ciudad era de 200.000 y este año es de 400.000, no se puede afirmar, comparando únicamente esos dos valores, que ha habido un crecimiento exponencial, pues si el próximo año son 600.000 y no 800.000, la tendencia va a ser lineal, aumentando 200.000 por año y no exponencial. 

El crecimiento exponencial también se puede presentar triplicando cada vez el valor anterior: es decir que no sólo aparece cuando se duplican las cifras cada tiempo. Hay también otros tipos de crecimiento, como el cuadrático o parabólico, que describe fenómenos en los que cada vez la cifra anterior se eleva al cuadrado; o cúbicos, en los que se eleva al cubo.

Muchos son los fenómenos que se describen mediante un crecimiento exponencial, durante un período de tiempo, como es el caso del crecimiento del número de células de un embrión durante su desarrollo o el número de bacterias cultivadas en un laboratorio y que se duplica cada hora. 

Como un bonito ejemplo de crecimiento exponencial es famosa la historia del origen del ajedrez. Cuenta la leyenda que un antiguo matemático de la India, inventor del ajedrez, presentó el juego a un poderoso rey de Oriente y que éste quedó tan maravillado con el juego que en compensación ofreció al matemático lo que quisiera pedirle. El inventor pidió que le entregase un grano de trigo por el primer cuadro del tablero de ajedrez, dos por el segundo, cuatro por el tercero y que así sucesivamente se fuera doblando la cantidad de granos de trigo por cada cuadro hasta llegar al último, el cuadro número 64. Claramente la cantidad de granos de trigo crece exponencialmente y la suma de las potencias de 2 (desde 2 elevado a la 0 hasta 2 elevado a la 63) arroja una cifra que requeriría los granos de las cosechas mundiales actuales, pero de más de 20.000 años, para poder satisfacer la petición del inventor.