Aunque por su nombre, Albert Einstein sería su inventor, en realidad no se sabe a ciencia cierta quién es el autor. También se le atribuye su creación al escritor británico Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), más conocido por su seudónimo de Lewis Carrol, autor de la novela “Alicia en el país de las maravillas”, quien además de escritor era lógico matemático.

El acertijo se basa en 15 pistas que ponen a prueba la capacidad de deducción para encontrar su solución descubriendo la correspondencia entre cinco grupos de pistas. 

En el planteamiento original hay algunos datos que pueden modificarse para hacer el acertijo más actual y real. Por ejemplo dos de los grupos originales de pistas corresponden a tipos de bebidas y a marcas de cigarrillos que me voy a permitir modificar y los reemplazaré por diferentes deportes y profesiones respectivamente, lo cual no altera la esencia del reto, de manera que la formulación de esta versión del acertijo que les presento como “acertijo de Einstein” se resume así:

En cinco casas de distintos colores sobre una misma calle viven cinco caballeros de distintas nacionalidades, viven en una casas distintas, tienen profesiones diferentes y practican, cada uno, un deporte diferente. Además, cada uno de ellos convive en su residencia con una mascota diferente.

Ese es básicamente el enunciado inicial del acertijo. Lo que se debe resolver, tras seguir las pistas que enunciaré a continuación, es quién tiene como mascota un pez. 

Las pistas son las siguientes:

1. El Inglés vive en la casa Roja
2. El Sueco tiene Perro 
3. El Danés juega Tenis
4. El Noruego vive en la primera casa
5. El Alemán es Periodista
6. La casa Verde queda inmediatamente a la izquierda de la casa Blanca
7. El dueño de la casa Verde practica el Ciclismo
8. El Médico tiene Pájaros
9. El dueño de la casa Amarilla es Arquitecto
10. El hombre que vive en la casa del centro practica la Natación
11. El Abogado vive al lado del que tiene un Gato
12. El hombre que tiene un Hámster vive al lado del Arquitecto
13. El Ingeniero practica el Fútbol  
14. El Abogado es vecino del que juega Golf
15. El Noruego vive al lado de la casa Azul.

Las 15 pistas revelan que las 5 nacionalidades de los señores del acertijo son:

Inglés
Sueco
Danés
Noruego
Alemán

Los colores de las casas son:

Rojo
Verde
Amarillo
Azul
Blanco

Las mascotas de los residentes son:

Perro 
Pájaros
Gato
Hámster
Pez

Los deportes que practican los señores son

Tenis
Ciclismo
Natación
Fútbol
Golf

Y finalmente sus profesiones son:

Periodista
Médico
Arquitecto
Abogado
Ingeniero

La tarea consiste en ir descubriendo el color de la casa donde vive la persona de cada nacionalidad y conocer su profesión, así como el deporte que practica, hasta llegar a conocer la respuesta final a la pregunta: ¿quién es el que tiene como mascota el pez?

En este punto usted como lector, si lo desea, puede abandonar la lectura y tratar de resolver el acertijo. Yo voy a exponer y a compartir a continuación, paso a paso, la solución que he encontrado.

El método que se me ha ocurrido para resolver el acertijo es construir una tabla en la que en la primera columna aparecen las cinco nacionalidades, cada una encabezando una fila con cuatro celdas adicionales en las que aparecerán las demás pistas: colores de casas, mascotas, deportes y profesiones. Naturalmente la tabla se irá llenando a medida que vayamos descubriendo la correspondencia entre los grupos de pistas, enfocándonos en obtener la respuesta final, es decir en descubrir la nacionalidad del dueño del pez. 

Con las primeras tres pistas y la quinta pista se puede iniciar a llenar la tabla, pues se deduce que:

Ahora bien, si la pregunta que debe responderse se refiere al dueño del pez, es natural suponer que seguramente la casilla con el pez será la última de la tabla que podremos llenar. Así que en el procedimiento que voy a seguir, la columna de mascotas será muy probablemente la más difícil de descubrir.

Nota: En adelante escribiré en mayúscula y cursiva el nombre de cada pista cuando se mencione, para facilitar así su seguimiento lógico.

• Empecemos por descubrir el color de la casa del Noruego.
  Como el Noruego vive en la primera casa (pista 4), no vive en la del centro y por lo tanto tampoco practica la Natación (pista 10).
  Como el Danés juega Tenis (ver tabla), al Noruego le queda la opción del Fútbol, el Golf o el Ciclismo.
  Pero hay que observar que si el Noruego vive en la primera casa, como ya lo dijimos, no tiene ninguna otra casa vecina a su izquierda, por lo tanto no puede vivir en la casa Verde (pista 6) y como vive junto a la casa Azul (pista 15) y el Inglés vive en la casa Roja (ver tabla), solo le queda la opción de la casa Blanca o la casa Amarilla.
  Pero su casa no puede ser la casa Blanca pues esta no es la primera ya que la casa Verde queda inmediatamente a su izquierda (pista 6), así que el Noruego vive en la casa Amarilla.

• Descubramos ahora la profesión del Noruego.
  Es trivial ahora, a partir de la pista 9, que el Noruego es Arquitecto.
  
• Averigüemos cuál deporte practica el Noruego.
  Con los datos que tenemos, podemos deducir que el Noruego no practica el Ciclismo (pista 7), tampoco la Natación (pista 10), y tampoco es el que juega Fútbol (pista 13).
  Además el Noruego no practica el Tenis porque este lo juega el Danés (ver tabla), así que la única posibilidad que queda es que el Noruego juega Golf.

Con los descubrimientos sobre el Noruego, nuestra tabla contiene ahora la siguiente información, que usaremos cuando sea necesario de aquí en adelante:

La siguiente meta que nos vamos a fijar es descubrir la información sobre el Danés.

• La casa Azul es la segunda casa (pista 15) y el Abogado es el único vecino del Noruego (pista 14), por lo tanto el Abogado vive en la casa Azul.
  
• El que tiene un Hámster vive al lado del Arquitecto (pista 12), y el Arquitecto es el Noruego (ver tabla), o sea que el Abogado tiene un Hámster.
  
• Ya sabemos que el Abogado vive en la casa Azul y tiene el Hámster, luego no puede ser Sueco, que tiene Perro (ver tabla), ni Inglés, que vive en la casa Roja (ver tabla), así que el Abogado es Danés o Alemán, pero el Alemán es Periodista (ver tabla), entonces el Abogado es Danés.

Agregamos la nueva información obtenida a la tabla; ya sabemos todo sobre el Danés, y tenemos que:

Nos enfocamos ahora en el Inglés y el Sueco.

• Puesto que el Abogado vive en la casa Azul y esta es la segunda casa (única vecina de la casa Amarilla), como lo habíamos deducido antes de la pista 15, entonces el que vive en la casa del centro es el otro vecino del Abogado.
  ¿Qué color tiene la casa del centro?
  Como la casa Verde está exactamente a la izquierda de la casa Blanca (pista 6), entonces la casa del centro debe ser la casa Verde o la casa Roja, pero si la casa Verde fuese la del centro entonces su ocupante practicaría el Ciclismo (pista 7), pero la pista 10 dice que el que vive en la casa del centro practica Natación, luego no puede ser la casa Verde la del centro, por lo tanto la casa del centro es la casa Roja, a su derecha está la casa Verde y luego la casa Blanca al final.
  Como el inglés vive en la casa Roja (ver tabla) y acabamos de probar que esa es la del centro, se deduce, de la pista 10, que el Inglés practica la Natación.
  
• De la tabla, el Médico debe ser Sueco o Inglés, que son las nacionalidades que aún no hemos descubierto, pero el Médico tiene Pájaros (pista 8) y el Sueco tiene Perro (ver tabla), luego el Médico no es Sueco, entonces el Médico es Inglés.
  
• La única profesión que queda por asignar es la de Ingeniero y la única nacionalidad es la de Sueco, por lo tanto el Ingeniero es Sueco.

Hasta aquí conocemos ya la profesión de cada uno, de acuerdo con su nacionalidad. 

Directamente de las pistas iniciales podemos agregar dos atributos más:

• De la pista 8, el Médico tiene Pájaros.
  
• También sabemos, de la pista 13, que el Ingeniero practica el Fútbol.
  
  Echemos ahora un vistazo para saber cómo va la tabla de los descubrimientos:
  

Para descubrir el deporte que practica el Alemán, basta observar que:

• Como el Danés juega Tenis, el Inglés practica la Natación, el Noruego juega Golf y el Ingeniero practica el Fútbol (ver tabla), entonces el único posible deporte para el Alemán es el Ciclismo, así que el Alemán practica el Ciclismo.
  

Vamos a asignar las casas que aún faltan: 

• Por la pista 7, el dueño de la casa Verde practica el Ciclismo, entonces, de acuerdo con el último descubrimiento, el Alemán vive en la Casa Verde.
   
• Solo queda por asignar un color de casa, que trivialmente es para el Sueco; así que el Sueco vive en la casa Blanca.

Ahora la tabla se ve así:

Y ahora busquemos la respuesta descubriendo a quién pertenecen las mascotas que faltan por descubrir:

• De acuerdo con la información obtenida en la tabla, la mascota del Noruego no es el Hámster, tampoco es el Perro, ni tiene Pájaros, por lo tanto el Noruego tiene el Gato o el Pez. Pero el Abogado vive al lado del que tiene un Gato (pista 11) y los vecinos del Abogado son los que ocupan la casa Amarilla y la casa Roja, es decir el Noruego y el Inglés, pero se sabe que el Inglés tiene Pájaros (ver tabla), entonces el Noruego tiene el Gato.
  
• Ahora solo falta por descubrir la mascota del Alemán que no tiene otra opción que el pez. Entonces el Alemán tiene el Pez.

Y hemos encontrado la respuesta buscada: el Pez es la mascota del Alemán

Y el acertijo descifrado en su totalidad se resume así:

Espero que este divertido acertijo haya sido entretenido para los lectores y que algunos lo hayan resuelto por otros medios, porque el procedimiento no es el único posible, aun cuando sí lo es la respuesta.

@MantillaIgancio

Hay un acertijo en particular, similar a los antes mencionados, que es uno de mis favoritos y que quiero presentarle a los lectores. Aun cuando el problema que voy a compartirles a continuación es sobre prisioneros, no pertenece propiamente a ese mismo grupo de acertijos lógicos ingeniosos, pues se resuelve, como veremos, sin conocimientos matemáticos especiales y solo se necesita del sentido común para dar con su solución.

El divertido problema al que me refiero es el siguiente:

Mientras tomaba su desayuno dominical, el rey Enrique II fue informado de que por fin habían sido capturados dos peligrosos bandidos, enemigos del reino, que hacía varios meses venían atemorizando a todos. Los capturados, llamados Plinio y Flavio, fueron sorprendidos por su guardia personal en cercanías del palacio real al amanecer, cuando intentaban huir en un carruaje real. 

Por orden del rey, Plinio y Flavio fueron separados y puestos tras las rejas de dos celdas que están ubicadas en torres diferentes del castillo. Desde cada una de las celdas puede observarse, a través de una pequeña ventana, una parte del jardín que separa las torres, pero los prisioneros no pueden tener comunicación alguna entre ellos. 

En el jardín hay 20 árboles altos y Plinio puede ver 12 árboles desde su celda, mientras que Flavio solo alcanza a divisar 8 árboles.

Ese detalle lo había observado el rey desde cuando planeó lo que haría cuando tuviese a sus enemigos tras las rejas; y como buen jugador e ingenioso que es, el rey había diseñado desde antes una estrategia para mostrarse bondadoso ante sus súbditos, ofreciendo a los condenados una oportunidad de conseguir su libertad.

El reto que reveló el rey es el siguiente: Plinio y Flavio serán conducidos a la horca, instalada en la plaza central, dentro de ocho días, con el fin de que puedan asistir muchas familias a presenciar la ejecución; sin embargo, los condenados podrán quedar libres antes si logran adivinar cuántos árboles hay en el jardín que separa las torres donde están sus celdas.

La estrategia del rey se basa en esas observaciones que él mismo ha realizado durante las últimas semanas y consiste en informar a los condenados que todos los árboles del jardín que los separan pueden ser vistos entre los dos desde sus respectivas celdas, pero que ninguno de los árboles es visto por ambos. Los prisioneros quedarán libres si adivinan cuántos árboles hay en el jardín, y para hacer más fácil la tarea se les da una importante pista adicional: los árboles del jardín son en total 18 o 20.

A los prisioneros se les informa que al día siguiente (lunes) un guardián preguntará a las 8 de la mañana a Plinio: “¿Hay 18 o 20 árboles en el jardín? Si Plinio responde correctamente, él y Flavio serán liberados inmediatamente. Si su respuesta es incorrecta ambos serán ejecutados como está previsto, el próximo domingo. Pero Plinio puede optar por no responder, en cuyo caso el guardián hará la misma pregunta a Flavio y su respuesta tendrá las mismas consecuencias. Si Flavio no responde, el día martes a las 8 de la mañana nuevamente se repetirá la pregunta a Plinio y así se repetirá el proceso, de ser necesario, hasta el próximo sábado por última vez.

¿Podrán Plinio y Flavio conseguir su libertad sin acudir al azar, antes del próximo domingo de su ejecución?

Pensemos un momento la respuesta…

La historia cuenta que Plinio y Flavio quedaron libres el día viernes. El rey, sorprendido y muy enojado los invitó a palacio y les pidió que le explicaran cómo lo lograron. Y esto fue lo que declaró Plinio:

Cada acción de uno de nosotros, como no responder, se convirtió en información muy valiosa para el otro. Cada día se usó esa información de la siguiente manera:

Lunes: si yo Plinio hubiese podido ver 19 o 20 árboles, habría sabido inmediatamente que eran 20 en total, pero como solamente veía 12, callé y no me arriesgué con ninguna respuesta. Cuando el guardián le preguntó a Flavio, él pudo deducir que yo Plinio veía como mucho 18 árboles, pues de lo contrario yo habría podido responder acertadamente. Ahora bien, si Flavio no hubiese podido ver ningún árbol o hubiese visto solo uno, habría concluido que son 18 los árboles porque sería entonces imposible que fuesen 20 si yo solo veía a lo sumo 18; pero Flavio veía 8 árboles, así que decidió no responder, pues no tenía certeza sobre el número total de árboles.

 Martes: cuando el carcelero llegó puntual a las 8 de la mañana, yo inmediatamente supe que Flavio no respondió el día anterior, por lo tanto él debió ver al menos 2 árboles, en otro caso, habría respondido correctamente. Ahora bien, si yo hubiese visto 17 o 18 árboles, habría sabido inmediatamente que hay 20 porque ya sabía que Flavio veía al menos 2 árboles. Mi silencio indicó a Flavio que yo veía como mucho 16 árboles, pues de lo contrario habría acertado la respuesta. Nuevamente, si Flavio hubiese visto 2 o 3 árboles, habría concluido que hay 18 puesto que sería imposible que hubiese 20, pero veía 8, así que Flavio tampoco se arriesgó con una respuesta y también calló. 

Miércoles: en esta jornada ya cada uno de nosotros tenía más información, yo sabía que Flavio veía al menos 4 árboles. Y si yo hubiese podido ver 15 o 16, habría sabido inmediatamente entonces que son 20; como solo veía 12, pasé nuevamente. Mi decisión de callar le indicó a Flavio que yo veía como mucho 14, pues de lo contrario habría acertado la respuesta. Ahora bien, Flavio también calló pues el veía 8, si hubiese visto solo 4 o 5 habría concluido que hay 18.

Jueves: el silencio de Flavio el día anterior me indicó que Flavio veía al menos 6 árboles, si fuesen menos habría respondido, como ya se indicó. Entonces, si yo hubiese podido ver 13 o 14 habría sabido inmediatamente que tienen que ser 20, pero solo veía 12, así que decidí callar y no responder. Mi silencio le dio la información a Flavio de que yo debía ver 12 a lo sumo, de lo contrario habría respondido correctamente, y si Flavio pudiese ver solo 6 o 7 habría concluido que son 18, pero él veía 8 y yo debía ver 12 o menos, así que prefirió pasar sin responder.

Viernes: Flavio, con su silencio del jueves me dio la clave: él veía 8 árboles como mínimo, pero como yo veía 12, la respuesta, con toda seguridad es 20 árboles. Y así fue como logramos quedar libres.

Con la respuesta de Plinio, el mismo día viernes quedaron libres Plinio y Flavio; desde ese día el rey pasó a llamarse “Enrique el ingenuo”.

@MantillaIgnacio 

Un buen ejemplo para el aprovechamiento de las matemáticas con ejemplos de actualidad, no comunes, es el que bien podría ser utilizado el día de elecciones, cuando todos estamos pendientes de los resultados de un conteo de votos. La mayoría cree que las únicas matemáticas necesarias allí son las elementales operaciones aritméticas y a lo sumo el cálculo de unos porcentajes; sin embargo, este evento democrático se presta para reforzar conceptos matemáticos que todos deberían dominar, como quiero mostrarles a continuación.

En Bogotá, para la elección de alcalde se aprobó en 2019 el Acto Legislativo 03 del Congreso de la República, que modificó el artículo 323 de la Constitución Política de Colombia, para incluir la segunda vuelta; esto significa que bajo ciertas condiciones, los dos candidatos que obtengan la mayoría de los votos se tendrán que enfrentar en una nueva jornada electoral. Las reglas sobre este mecanismo están perfectamente explicadas y se prestan para un buen ejemplo de lógica matemática elemental. 

En efecto, la norma se puede enunciar de dos maneras: diciendo bajo qué condiciones tendrá lugar una segunda vuelta o equivalentemente, bajo qué condiciones no habrá una segunda vuelta. Una oportunidad maravillosa para tomarlo como ejemplo y aprender o repasar cómo presentar correctamente algunas proposiciones. 

¿Cuándo hay segunda vuelta? La regla establece que habrá segunda vuelta siempre que se cumpla alguna de las dos condiciones siguientes: que el candidato ganador no alcance el 40% de los votos o siempre que la diferencia con el candidato que obtenga la segunda votación sea menor que el 10% de los votos. 

¿Cuándo no hay segunda vuelta? Equivalentemente la norma establece entonces que no habrá segunda vuelta cuando se cumplan las dos condiciones siguientes: el candidato ganador alcance como mínimo el 40% de los votos y además tenga una ventaja sobre el segundo candidato que sea igual o superior al 10% de los votos.

Como se observa, aquí aparecen una serie de expresiones afirmativas y negativas que nos ofrecen una rica combinación para explorar matemáticamente con proposiciones, es decir con enunciados que pueden ser calificados de verdaderos o falsos, como sigue: definimos

P := “el candidato ganador obtiene una votación del 40% o superior”

Q := “la diferencia entre los dos primeros candidatos es igual o superior al 10%”

S := “hay segunda vuelta”

Ahora podemos expresar la regla de cuándo no hay segunda vuelta así:

“P y Q” implica (no S), 

y con la notación matemática, de la siguiente manera: 

(P∧Q) ⇒ ¬S, donde los símbolos significan ∧: conjunción “y”, ∨: disyunción “o”, ⇒: implicación “entonces”,  ¬: negación “no”.

Es decir que si se cumple P (“el candidato ganador obtiene una votación del 40% o superior”) y se cumple Q (“la diferencia entre los dos primeros candidatos es igual o superior al 10%”), entonces no se cumple S; o sea no “hay segunda vuelta”. 

En este punto conviene ahora aprovechar para recordar las Leyes de De Morgan que se pueden enunciar como:

1. La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones, o sea: 

“no (P y Q)” es lo mismo que “(no P) o (no Q)”, que se expresa matemáticamente así:

¬(P∧Q) ⟺ (¬P)∨(¬Q)

2. La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones, es decir:

“no (P o Q)” es lo mismo que “(no P) y (no Q)”. Esto es:

¬(P∨Q) ⟺ (¬P)∧(¬Q)

El tema puede explotarse un poco más allá, recordando que en una implicación 

A ⇒ B, 

A es la hipótesis y B es la tesis. 

A implica B es equivalente a (¬A)∨B, por lo tanto la negación de una implicación

¬(A ⇒ B) es equivalente a A∧(¬B), 

lo cual quiere decir que al negarse la implicación se cumple la hipótesis pero ya no la tesis. 

En nuestro ejemplo, A es la proposición (P∧Q), que cuando es verdadera implica ¬S, es decir que no hay segunda vuelta: 

(P∧Q) ⇒ ¬S

y esta implicación es equivalente a 

¬(P∧Q)∨(¬S).

Su negación validaría la hipótesis pero no la tesis, sería como desobedecer la ley. En efecto:  

¬[¬(P∧Q)∨(¬S)]  es equivalente a  (P∧Q)∧S

es decir, se cumple P (“el candidato ganador obtiene el 40% o más de los votos”) y se cumple Q (“la diferencia entre los dos primeros candidatos es mayor o igual al 10% de los votos”), pero además se cumple S (“hay segunda vuelta”). O sea que estaríamos ante una clara violación de la regla para la segunda vuelta. 

Las elecciones son también una fuente de problemas matemáticos para explotar, más allá de estas consideraciones lógicas. Para mencionar solo uno, se puede preguntar si habría una segunda vuelta en el caso hipotético en el que cada candidato, empezando con el penúltimo, hubiese obtenido el doble de los votos del anterior. Este es un bonito ejercicio, como veremos.

En Bogotá hubo 9 candidatos en el tarjetón. Supongamos que el de menor votación obtuvo N votos, en ese caso la votación de los 9 candidatos fue de:

Por lo tanto, bajo esa hipótesis no se necesita una segunda vuelta.

Problemas que surgen del acontecer, como los expuestos pueden despertar, como lo dije al principio, un interés particular y estimular el gusto por las matemáticas. Se trata entonces de llevar también la actualidad a las aulas de matemáticas. 

@MantillaIgnacio