Un número cabalístico sorprendente

Las propiedades e importancia de algunos números, a los que bien podría llamárseles “estrellas aritméticas”, tales como los irracionales π, e o √2, es ampliamente conocida gracias a la extraordinaria divulgación que se hace sobre su origen y al estudio que se realiza, desde la escuela, de los problemas aritméticos, geométricos y algebraicos donde aparecen frecuentemente. Estos números además sirven de ejemplos o contraejemplos para proposiciones, conjeturas y teoremas.

Hay otros números menos famosos, como el número áureo ø, cuya importancia frecuentemente se reconoce más tarde, especialmente cuando se descubre la utilidad de la sucesión de Fibonacci para la descripción de fenómenos poblacionales o para la medida de la proporción y armonía del cuerpo humano o cuando se observa la similitud con un patrón presente frecuentemente en la naturaleza y en las formas espirales de las galaxias. Y hay otros números, prácticamente desconocidos, que también tienen propiedades sorprendentes y que podrían clasificarse como cabalísticos; a esta última clase de números pertenece uno que bien vale la pena estudiar y que hoy quiero presentarles.

Se trata del número ñ := 142857, un número de 6 cifras que aparentemente no ofrece nada especial que lo distinga de otros enteros de igual cantidad de cifras; sin embargo este número, del género cabalístico, es uno de los más interesantes de la matemática. 

Empecemos por observar que si se le multiplica por 2, se obtiene:

2ñ = 2 x 142857 = 285714

que es un número que tiene los mismos dígitos de ñ, escritos en otro orden.

Lo mismo ocurre multiplicándolo por 3, por 4, por 5 o por 6. En efecto:

3ñ = 3 x 142857 = 428571

4ñ = 4 x 142857 = 571428

5ñ = 5 x 142857 = 714285

6ñ = 6 x 142857 = 857142

Y cuando el factor es 7, el resultado es sorprendentemente curioso:

7ñ = 7 x 142857 = 999999,

un número formado por seis nueves. 

A partir de allí, multiplicando por factores mayores, obviamente los resultados deben ser números de más de seis cifras; pero hay también sorpresas:

8ñ = 8 x 142857 = 1142856 

es un número que tiene todos los dígitos de ñ, con excepción del 7, pero en cambio están el 1 y el 6, que ocupan la primera y última cifras respectivamente, y que suman 7. 

Vamos a sustituir el 1 de la izquierda y el 6 de la derecha por ceros,

0142850.

El 1 y el 6 que hemos quitado se lo sumamos al 0142850 y nos da:

142857

que es el mismo ñ.

Esta curiosidad se repite ahora con los otros productos, obsérvese que en

9ñ = 9 x 142857 = 1285713

el único dígito de ñ que no aparece es el 4, pero el primero es 1 y el último es 3, que suman 4. Si hacemos lo mismo que antes, reemplazando el primero (1) y el último (3) por ceros, tenemos 0285710. El 1 y el 3 que hemos quitado suman 4. Se lo sumamos al 0285710 y nos da:

285714

que tiene todos los dígitos de ñ en otro orden.

Lo mismo puede observarse en los productos por 10, por 11, por 12, por 13: cuando falta un dígito de ñ en el resultado, éste se consigue con la suma del primero y el último de los dígitos.

10ñ = 10 x 142857 = 1428570

11ñ = 11 x 142857 = 1571427
12ñ = 12 x 142857 = 1714284
13ñ = 13 x 142857 = 1857141

Y observemos lo que ocurre cuando los factores son múltiplos de 7:

7ñ = 7 x 142857 = 999999

14ñ = 14 x 142857 = 1999998 

21ñ = 21 x 142857 = 2999997

28ñ = 28 x 142857 = 3999996

Si el resultado tiene más de seis dígitos, como ocurre a partir de 14, no aparecen seis nueves como en 7ñ, sino solo cinco; pero el sexto se obtiene también sumando el primero y el último dígito del resultado al número en el que se han reemplazado estos dígitos por ceros, así por ejemplo:

De 14ñ = 1999998 

            :: 0 999 990 + (1 + 8) = 999999

que es igual a 7ñ.

Un comportamiento análogo y muy curioso se mantiene aún con factores más grandes, múltiplos de 7, como por ejemplo 

84ñ = 84 x 142857 = 11999988      

91ñ = 91 x 142857 = 12999987

105ñ = 105 x 142857 = 14999985 

en los que el resultado tiene 8 cifras y solo hay 4 nueves. Vamos a sustituir el 14 de la izquierda y el 85 de la derecha en 105ñ por ceros,

00999900

El 14 y el 85 que hemos quitado suman 99. Se lo sumamos al 00999900

 y nos da:

999900 + (14 +85) = 999900 + 99 = 999999,

que es el mismo número 7ñ.

Ahora bien, volviendo a factores grandes que no son múltiplos de 7, se observa un comportamiento similar: los dígitos faltantes de ñ se encuentran sumando el primero y el último de los dígitos cuando el resultado es de siete cifras; o sumando el número formado con los dos primeros más el formado con los dos últimos, cuando el resultado tiene ocho dígitos.

53ñ = 53 x 142857 = 7571421 

       :: 0571420 + (7 + 1) = 571420 + 8 = 571428,

327ñ = 327 x 142857 = 46714239 :: 

         :: 00714200 + (46+39) = 714200 + 85 = 714285

que tienen los mismos dígitos de ñ.

Parecería que nuestro protagonista ñ ejerciera un poder especial sobre sus dígitos para evitar que estos se separen, y también podría pensarse que sostiene una relación estrecha e inseparable con el número 7. Pero ¿dónde puede encontrarse el origen aritmético de estas propiedades?

La relación de nuestro protagonista ñ con el número 7 no es casual, veamos por qué. Como sabemos, todo número racional se puede expresar como una fracción con numerador y denominador enteros y, a diferencia de los números irracionales (como π), los racionales son todos números cuya expansión decimal es periódica; es decir que hay una cadena de dígitos que se repite indefinidamente. En el caso que nos ocupa, el número ñ = 142857 es justamente ese período que se repite al expresar el número 1/7 en forma decimal:

1/7 = 0,142857142857142857142857142857…

Pero la permanencia de sus dígitos (a veces en otro orden) en los productos arriba estudiados, como vimos, también se observa en los períodos de:

2/7 = 0,285714285714285714285714285714…
3/7 = 0,428571428571428571428571428571…
4/7 = 0,571428571428571428571428571428…
5/7 = 0,714285714285714285714285714285…
6/7 = 0,857142857142857142857142857142…
8/7 = 1,142857142857142857142857142857…
9/7 = 1,285714285714285714285714285714…

en los que todos tienen los dígitos 1, 4, 2, 8, 5, 7.

Nuestro número cabalístico ñ tiene además unas propiedades excepcionales; aquí algunas:

(142857)² = 20.408.122.449 y obsérvese que

20.408 + 122.449 = 142857 = ñ.

Otra curiosidad:

142 + 857 = 999 y

999 x 143 = 142857 = ñ

Espero que el hecho de haber conocido este número tan especial les motive a buscar otros así de especiales, con propiedades sorprendentes para deleite de todos.

@MantillaIgnacio