¿Se equivocó Newton?

Hay una historia poco conocida sobre un problema de probabilidad que resolvió el gran Isaac Newton y que, como era de esperarse, no contiene error de cálculo alguno. Sin embargo, recientemente se ha encontrado que Newton sí cometió un error, pues la ambigüedad de su respuesta esconde un argumento lógico equivocado.

Indudablemente todos, quienes nos dedicamos a las ciencias, cometemos errores con frecuencia y muchas veces son esos errores los que mejor nos señalan el camino para descubrir la respuesta correcta. Pero tratándose de un genio como lo fue Newton, la sola mención de que pudo haberse equivocado resolviendo un problema de matemáticas despierta una curiosidad inusual, una especie de “morbo matemático”, y con algo de incredulidad queremos conocer el problema y auscultar para examinar cuál fue ese error, hasta poder decir: ¡claro! Newton no lo vio. Esa curiosidad, que de seguro ya se ha despertado en cada lector, es la que pretendo satisfacer con esta historia, que exige concentración. 

El 22 de noviembre del año de 1693, Samuel Pepys —quien había sido presidente de la Royal Society de Londres entre 1684 y 1686, período en el que Newton había presentado para su publicación su gran obra Principia— escribió una carta dirigida a Isaac Newton formulándole una pregunta que no se refería propiamente a cuestiones científicas. En la misiva, Pepys le pedía su consejo sobre la conveniencia de una apuesta. 

Newton le contestó con tres cartas, en las que primero respondía a la pregunta de forma breve y luego ofrecía más información cuando Pepys le pedía aclaraciones a su respuesta. Esas cartas fueron guardadas y no se les dio importancia hasta que aparecieron citadas por varios autores a mediados del siglo pasado cuando se planteaba el denominado “problema de Pepys” en algunos libros de texto; pero fue L. Gani, quien en 1982 analizó la solución de Newton, contenida en las citadas cartas, y la calificó como errónea. Finalmente, en 2006, Stephen M. Stigler —profesor del Departamento de Estadística de la Universidad de Chicago— publicó un completo artículo sobre el tema (en el cual me apoyo para escribir esta nota) y a partir de allí aparecieron muchos otros trabajos que han rescatado la importancia de esas cartas de Newton y de ese problema, aparentemente simple, del área de la probabilidad. 

El artículo de Stigler retoma el “problema de Pepys”, tal como surgió en la correspondencia de Pepys con Newton. La pregunta fue:

¿Cuál de las tres proposiciones siguientes tiene la mayor probabilidad de éxito?

A. Se lanzan seis dados corrientes (o «justos») de forma independiente y se saca al menos un “6”.

B. Se lanzan doce dados corrientes de forma independiente y se sacan al menos dos “6”.

C. Se lanzan dieciocho dados corrientes de forma independiente y se sacan al menos tres “6”.

Como se ha podido establecer a partir de la correspondencia con Newton, Pepys pensaba que la C era la mejor opción, pero Newton le dio inicialmente una sencilla razón lógica para concluir que A era el evento más probable; esa respuesta aparece en la primera carta fechada el 26 de noviembre de 1693. Ante las nuevas inquietudes expresadas por Pepys con esa respuesta, Newton le envía una segunda carta fechada el 16 de diciembre de 1693 (parece que el correo postal era más eficiente que ahora) en la que le presenta los cálculos precisos. En detalle, es equivalente a la solución que podría presentarse hoy en día usando la distribución binomial, aunque hay que aclarar que para la época, Newton tuvo que deducirla. 

La solución obtenida por Newton es exactamente la que se logra aplicando la fórmula binomial para obtener la probabilidad de k éxitos en una repetición de n experimentos:

aplicada como sigue:

Sea X = “Número de veces que se obtiene “6” en n lanzamientos de un dado corriente”

entonces la probabilidad de éxito para cada uno de los casos que preguntaba Pepys es:

Newton no comete error alguno en sus cálculos aritméticos manuales, que coinciden con los indicados arriba, aproximados a tres cifras decimales de manera impecable, y esos son los datos que envía en la segunda carta a Pepys para reafirmar lo que ya le había dicho en la primera carta, asegurando que la mejor opción para apostar es la del caso A, en la que la probabilidad de éxito es mayor.

Puesto que Pepys responde con nuevas preguntas sobre su método empleado, Newton le escribe una tercera carta el 23 de diciembre de 1693 (una respuesta inmediata si se observan las fechas) en la que retoma su argumento y lo amplía personificando las opciones con dos nombres para explicarlo mejor; llama “Peter” al jugador con la apuesta A y “James” al jugador con la apuesta B. Newton escribió entonces:

«Tal y como está planteada la apuesta, Peter debe ganar siempre que saque un seis [es decir, que saque al menos un “6” entre los seis dados], pero James puede sacar un seis y no ganar nada, porque nunca puede ganar con un solo “6”. Si Peter saca un “6”, por ejemplo, cuatro veces en ocho lanzamientos, sin duda ganará cuatro veces, pero James, con la misma suerte, puede sacar un “6” ocho veces en dieciséis lanzamientos y, sin embargo, no ganar nada, ya que, tal como está planteada la cuestión en la apuesta, no gana en cada lanzamiento con un “6”, como hace Peter, sino sólo en cada dos lanzamientos en los que saque al menos dos “6”. Y por lo tanto, si él saca sólo un seis en los dos primeros lanzamientos, y uno en los dos siguientes, y sólo uno en los dos siguientes, y así sucesivamente hasta dieciséis lanzamientos, no gana nada en absoluto, aunque saque un “6” el doble de veces que Peter, y en consecuencia tenga la misma suerte que Peter».

Aunque en la primera carta Newton había señalado cuidadosamente que “sacar un seis” debe entenderse como “sacar al menos un seis”, aquí confundió las dos afirmaciones. Su argumento podría funcionar si se entendiera “exactamente un seis”, pero entonces no correspondería al problema tal como él y Pepys habían acordado que debía entenderse. De hecho, Peter no necesariamente gana de nuevo con cada “6” que saque, ya que si saca dos o más “6” en el primer lanzamiento, gana lo mismo que sacando un solo “6”.

Ahora bien, la probabilidad de que Peter saque exactamente un “6” en un lanzamiento es apenas del 40% (menor que la probabilidad de sacar «uno o más»). Cuando Newton dice que Peter puede obtener un “6” en cuatro de ocho lanzamientos y entonces gana cuatro veces, está suponiendo que saca exactamente un “6” cuando gana, como si no fuera posible sacar más de uno en algún lanzamiento y no ganar entonces cuatro veces. Ese es su argumento erróneo.

Muchas de las victorias de Peter, aquellas con dos o más “6” en un solo lanzamiento, ocurren aproximadamente el 26% de las veces y esas también serían victorias de James, si tiene la misma suerte. Y en algunas de las victorias de James, que tienen una pequeña probabilidad de ocurrir —como son las que tienen al menos dos “6” en la mitad de los lanzamientos y ninguno en la otra mitad—, son también victorias de Peter (si cuenta con “igual suerte”), pero en tal caso Peter no tendría más victorias que James y solo habría ganado una vez sacando dos “6” en la mitad de los lanzamientos y ninguno en la otra mitad, es decir que Peter habría ganado solo la mitad de las veces, contrario a lo que indica Newton.

Como se observa, en la última carta Newton, por querer explicar más de la cuenta lo que ya había calculado con exactitud y respondido con claridad, termina cometiendo un error lógico de argumentación. No obstante, hay que reconocer que Newton, desde la primera carta, había contestado a Pepys correctamente, aconsejándole la mejor opción para la apuesta. 

El problema es, sin duda, muy bonito e interesante, y recomendaría que se incluya en un curso básico de probabilidad. Animará además a cualquier estudiante descubrir un error cometido por el gran genio de la física y las matemáticas que fue Isaac Newton y saber que aún los personajes más sobresalientes por su inteligencia y capacidad, pueden equivocarse.  

@MantillaIgnacio