Para algunas personas las matemáticas se reducen a la ciencia que contiene esa aritmética que aprendieron desde los primeros años en el colegio, a veces sin estar convencidos de su necesidad o contra su voluntad. La mayoría, sin embargo, sospecha que hay algo más que operaciones, porcentajes, reglas de tres, triángulos y polinomios. Pero en realidad las matemáticas constituyen una de las mayores obras de arte de la humanidad.
Aun cuando se basaron inicialmente en la observación concreta y se desarrollaron con la experiencia de la vida real, en en el siglo XIX se produjo un importante cambio en las matemáticas: se pasó de la observación esencialmente geométrica y de la descripción de cantidades, al reconocimiento de que lo inobservable, en más de tres dimensiones por ejemplo, también es posible imaginarlo desde las matemáticas teóricas, mucho más abstractas y basadas principalmente en la teoría de conjuntos y la lógica.
Esas matemáticas “puras”, liberadas de la obligación de tener alguna relación con el mundo para merecer su estudio, condujeron a nuevas preguntas y ocuparon la atención de importantes matemáticos en la primera mitad del siglo pasado; entre ellos el gran matemático austriaco Kurt Gödel, quien sacudió a la comunidad matemática mundial demostrando que debemos aprender a vivir aceptando que hay enunciados matemáticos cuya verdad o falsedad no se puede demostrar a partir de los axiomas y principios matemáticos, dando origen a los problemas de las matemáticas que son irresolubles con las reglas de la lógica.
La importancia de esos problemas irresolubles es hoy indiscutible. Uno de ellos, muy famoso, es el primero de los 23 que propuso David Hilbert en 1900 y que han orientado el desarrollo de la matemática desde entonces, conocido bajo el nombre de “la hipótesis del continuo”, formulado inicialmente por Georg Cantor en 1878. Su enunciado afirma que no existe conjunto infinito alguno cuyo tamaño sea estrictamente menor que el del conjunto de los número reales y estrictamente mayor que el del conjunto de los números naturales.
Para entenderlo hay que explicar cómo se caracterizó el concepto de infinito, que aclaró la posibilidad de que existan varios tipos de infinito. Aunque parece contraintuitivo, podemos comprenderlo con un sencillo ejemplo: hay tantos números pares, como números naturales; es decir, hay tantos elementos en el conjunto de los pares como en el conjunto de los pares y los impares juntos. La razón para poder afirmarlo es la precisión sobre el significado de “infinitos elementos”: si es posible establecer una relación biunívoca entre los dos conjuntos, se puede concluir que uno tiene tantos elementos como el otro.
Para el ejemplo es sencillo mostrar que a cada natural le corresponde un único par, que puede conseguirse multiplicándolo por 2 y también a cada par le corresponde un único natural, que puede conseguirse dividiéndolo entre 2; obteniendo así una lista infinita de parejas como la que se muestra a continuación, en la que en la primera componente aparecen todos los naturales y en la segunda todos los pares:
(0,0), (1,2), (2,4), (3,6), …
Esta correspondencia biunívoca significa que todas las parejas anteriores tienen sus dos componentes, ninguna se queda sin encontrar su “dupla”, por lo tanto hay tantos números naturales pares como números naturales (pares e impares juntos), a pesar de que los últimos parezcan el doble de numerosos, en contra de nuestra intuición.
El matemático ruso Georg Cantor (1845-1918) demostró que, en cambio, los números naturales y los números reales (que incluyen los racionales y los irracionales) no tienen el mismo tamaño o cantidad de elementos. Llamó aleph_0 al cardinal de los naturales, algo así como la cantidad infinita de naturales que hay, y afirmó que ese era el infinito más pequeño existente. Ahora bien, como había demostrado que el cardinal de los reales es un número infinito mayor que aleph_0, digamos aleph_1, surge la pregunta natural de cómo saber si entre esos dos infinitos no hay más números infinitos; y esa es la esencia de la llamada “hipótesis del continuo”: No hay ningún infinito mayor que aleph_0 y menor que aleph_1. Es decir que la cantidad de números reales es inmediatamente superior que la cantidad de los números naturales.
Pero esta afirmación no se ha demostrado, por eso es una hipótesis solamente. No obstante tiene algo muy especial y de ahí su importancia. En efecto, en 1940 Gödel abrió el camino para que hoy sepamos que la “hipótesis del continuo” es indemostrable. Sí, así es: no se puede refutar, pero tampoco demostrar.
Este problema, el número uno de la lista de Hilbert, resultó ser de una importancia mayúscula por ser irresoluble, pues antes de la “hipótesis del continuo” se creía que todos los problemas y en particular este era decidible: ¿existe un conjunto de números infinitamente grande que contenga números reales, con más números que los naturales, pero con menos que los números reales?
Sabemos que no puede responderse inequívocamente con un sí o un no, porque está demostrado que es un problema irresoluble. Así son las matemáticas que también nos entretienen desde la lógica y la abstracción.
@MantillaIgnacio