Números para todos los gustos

Recientemente he compartido dos listas de conjuntos de números con nombre propio. La primera contenía los diferentes tipos de números primos (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/los-nombres-de-los-numeros/) y la segunda, más general, consistía de conjuntos de números que llevan nombres muy particulares y que no son muy conocidos (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/numeros-con-nombre-propio/). Pero dado el gran número de conjuntos existentes con esos nombres tan especiales, anuncié que debía repartir en otras publicaciones la tarea de darlos a conocer. Hoy quiero entonces, continuando con la presentación de algunos de esos conjuntos que despiertan curiosidad por sus nombres propios, compartirles otros más de los que he ido recopilando.

Números malvados: un número malvado es un número natural cuya expansión binaria (en base2) contiene un número par de unos. Por ejemplo:

15 = 1 · 2³ + 1 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰

entonces 15₁₀ = 1111₂ por lo tanto 15 es un número malvado. Los primeros números malvados son:

3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 33, …

Los números que no son malvados, es decir cuya expansión binaria contiene un número impar de unos, se denominan números odiosos.

Números de Cunningham: el nombre es en honor al matemático británico-indio Allan J. C. Cunninghamun. Los números de Cunningham son números naturales de la forma 

bⁿ ± 1

donde b no puede ser una potencia perfecta. En el caso n = 2 los números de Cunningham son de la forma b² ± 1, donde b no puede ser un cuadrado perfecto. A manera de ejemplo, el número 10 es un número de Cunningham porque se puede escribir como 

3² + 1 

y 3 no es un cuadrado perfecto. 

También el número 9 es de Cunningham porque puede escribirse como 

2³ + 1

y 2 no es un cubo perfecto. Los primeros números de Cunningham son: 

3, 5, 7, 8, 9, 10, 15, 17, 24, 26, 28, 31, 33, 35, …

Hay infinitos números de Cunningham pares e impares. Una explicacion sencilla es porque tanto los números de la forma 6ⁿ ± 1 como los números de la forma 5ⁿ ± 1 son números de Cunningham. Los primeros siempre son impares y los segundos, todos son pares.

Números abundantes: un número abundante es un número natural para el cual la suma de sus divisores propios; es decir los divisores diferentes al mismo número, es mayor que el propio número. El número 12 es el primer número abundante: en efecto, sus divisores propios son1, 2, 3, 4 y 6 que suman 16 > 12. 

La cantidad en que la suma excede al número se denomina abundancia del número; o sea que el número 12 tiene una abundancia de 4.

Los primeros números abundantes son: 

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, …

Números asombrosos: un número asombroso es un número natural que tiene exactamente tres divisores distintos. Así por ejemplo 4 es asombroso, sus divisores son 1, 2, 4. Los números asombrosos tienen exactamente un divisor diferente a 1 y al mismo número, por esta razón un número primo no puede ser asombroso. Los números asombrosos son entonces todos los cuadrados de los números primos:

2² = 4 (divisores: 1, 2, 4)

3² = 9 (divisores: 1, 3, 9)

5² = 25 (divisores: 1, 5, 25)

7² = 49 (divisores: 1, 7, 49)

11² = 121 (divisores: 1, 11, 121)

…

Números intocables: un número intocable es un entero positivo que no puede expresarse como la suma de todos los divisores propios de ningún entero positivo. Así por ejemplo 4 no es intocable porque puede escribirse como la suma de los divisores propios de 9, ya que 4 = 1 + 3; pero 5 sí es intocable porque la única forma de escribirlo como suma de distintos enteros positivos que incluyan al 1 es:

5 = 4 + 1

y estos dos números, 1 y 4, no pueden ser todos los divisores propios de algún entero positivo, ya que si 4 es divisor, también lo es 2.

Los primeros números intocables son:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, …

Números desnudos: un número desnudo es un entero positivo que es divisible entre cada uno de sus dígitos. Por ejemplo, 12 es un número desnudo porque es divisible entre 1 y 2. 

Los primeros números desnudos son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 22, …

Números ondulados: un número ondulado es un entero positivo de tres o más cifras, de la forma «ababab… ». Por ejemplo, los números 313, 79797 son números ondulados.

Números vampiros: un número vampiro es un entero positivo que tiene un número par de dígitos y que puede factorizarse como producto de dos números naturales, cada uno con la mitad de dígitos del número original y que no terminen ambos en cero, donde los dos factores contienen exactamente todos los dígitos del número original, en cualquier orden. Por ejemplo 1435 es un número vampiro porque:

1435 = 35 × 41.

Y aquí aparece un concepto muy divertido: los colmillos de los números vampiros son los dos números que forman la factorización. En el ejemplo anterior, 35 y 41 son los colmillos de 1435.

Un número vampiro puede tener distintos pares de colmillos, por ejemplo:

125460 = 204 x 615 = 246 x 510.

Los primeros números vampiros y sus respectivos colmillos son 

1260 = 21 × 60

1395 = 15 × 93

1435 = 35 × 41

1530 = 30 × 51

1827 = 21 × 87

2187 = 27 × 81

6880 = 80 × 86

102510 = 201 × 510

104260 = 260 × 401

105210 = 210 × 50

Y continúan los siguientes vampiros:

104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, …

Números magnánimos: un número magnánimo es un entero positivo tal que las sumas obtenidas al insertar un «+» entre sus dígitos, en cualquier posición, arroja números primos. Por ejemplo, 4001 es un número magnánimo porque los números

4 +001 = 5, 40 + 01 = 41 y 400 + 1 = 401

son primos.

Los primeros números magnánimos son:

2, 3, 5, 7, 11, 12, 14, 16, 20, 21, 23, 25, 29, 30, 32, 34, 38, 41, 43, 47, 49, 50, 52, 56, 58, 61, …

Como puede observarse, los números con nombre propio son muchos y muy diversos y divertidos; el descubrimiento de cada nuevo conjunto nos invita a realizar un ejercicio propio de nuestra curiosidad, que es la madre de la investigación científica.

Me atrevería a afirmar que la aparición de cada nuevo conjunto de números es el resultado de un intento de resolver algún problema de matemáticas. Aún tengo en mi colección muchos otros conjuntos de números con nombre propio que harán parte de un futuro artículo.

@MantillaIgancio