Newton y las disputas del cálculo

El conflicto intelectual ha permitido revelar, cómo Leibniz llegó primero a la integración, mientras que Newton comenzó a partir de las derivadas y su teoría de fluxiones. Sin embargo, parece ser que ambos tenían algún conocimiento de los métodos del otro. 

Existe una carta dirigida a Henry Oldenburg, de fecha 24 de octubre de 1676, en la que Newton comenta que Leibniz había desarrollado un método nuevo para él, refiriéndose a las series de potencias, lo que revelaría que incluso llegaron a trabajar juntos, pues tanto Leibniz como Newton, gracias a ese intercambio de cartas, pudieron haber conocido los avances del otro.

Aun cuando en 1713 la Real Sociedad determinó que Newton se había anticipado a Leibniz algunos años, esta conclusión no fue aceptada por todos y la disputa tomó muchos años, hasta después de muertos los dos. Hoy en día se acepta que ambos llegaron al cálculo independientemente, por lo que no hubo plagio.

Pero hay que reconocer que Leibniz tuvo que enfrentar a un gigante de la ciencia como lo fue Isaac Newton, tarea que para la época nadie hubiese querido realizar; sin embargo, Leibniz no fue un enano de la ciencia, sino uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, reconocido como «el último genio universal». Realizó profundas e importantes contribuciones en áreas de filosofía, matemáticas, física, geología, jurisprudencia e historia. 

Leibniz presentó en Londres su desarrollo del cálculo, así como una máquina calculadora que había estado diseñando y construyendo desde 1670, la primera máquina de este tipo que podía ejecutar las cuatro operaciones aritméticas básicas. Por estos aportes, la Real Sociedad, muy complacida, le nombró miembro externo.

Menos conocida es la controversia que existió entre Newton y Raphson por la invención del conocido «método de Newton» o «método de Newton-Raphson» para calcular ceros de funciones en forma aproximada. El matemático inglés Joseph Raphson (1668-1715) fue nombrado miembro de la Real Sociedad en 1689, cuando tenía apenas 21 años de edad, a solicitud del célebre astrónomo, físico y matemático Edmond Halley, y su elección se basó principalmente en la solidez de su trabajo. 

Según consta en las actas: “El Sr. Halley relató que el Sr. Raphson había inventado un método para resolver todo tipo de ecuaciones y dar sus raíces en series infinitas que convergen rápidamente, y que le había pedido que le propusiera una ecuación de quinta potencia, a la cual devolvió respuestas con siete cifras en mucho menos tiempo del que se podría haber logrado con los métodos conocidos de Vieta”. 

Este método, dado a conocer por Raphson y descrito en su libro Analysis aequationum universalis, publicado en 1690, es el que se denomina ahora método de Newton o método de Newton-Raphson, pues también Newton lo describió como un método para aproximar las raíces de una ecuación en su trabajo Method of Fluxions. La controversia surge aquí al intentar determinar quién es el autor del método, cuestión que vamos a tratar de aclarar a continuación.

El método Newton, o método de Newton-Raphson, es un poderoso procedimiento iterativo para resolver 

$f(x)=0$

cuando $f$ es una función continuamente diferenciable en una vecindad de la raíz buscada. Se trata de un método iterativo particular de punto fijo, tal como lo conocemos hoy, en el cual la función $f(x)$ se linealiza en $x_n$ para hallar $x_{n+1}$. Presentado con la notación que se usa actualmente (la de Leibniz), dado un valor inicial $x_0$, se define:

$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \quad n = 0,1,2,\dots$

La convergencia del método está garantizada siempre y cuando el valor inicial elegido esté suficientemente próximo a la raíz buscada.

En 1671, Newton describió ese método para aproximar ceros de polinomios y, como ejemplo, halló la raíz de la ecuación

$x^{3} – 2x – 5 = 0$

situada entre 2 y 3, obteniendo aproximadamente:

$x \approx 2.09455.$

Pero, aunque fue escrito en 1671, no se publicó hasta 1736, por lo que se afirma que Raphson dio a conocer el resultado casi cincuenta años antes que Newton. Las actas de la reunión de la Royal Society del miércoles 17 de diciembre de 1690 (calendario juliano) contienen una referencia al Análisis aequationum universalis de Raphson en los siguientes términos:

“El libro del Sr. Raphson fue publicado hoy por E. Halley, en el cual ofrece una notable mejora del método de resolución de todo tipo de ecuaciones, mostrando cómo extraer sus raíces mediante una regla general que duplica las cifras conocidas de la raíz obtenida en cada operación. De esta manera, al repetir el procedimiento tres o cuatro veces, se obtienen resultados con una precisión de ocho o diez cifras decimales. La Sociedad, muy complacida con su trabajo, le expresó su agradecimiento y le deseó que continuara con los estudios en los que ha tenido tanto éxito”.

El sábado 17 de enero de 1691 (calendario juliano) se presentó a la Royal Society un ejemplar del libro de Raphson como “un regalo del autor”.

La relación de Raphson con Newton es significativa, ya que entre ellos no hubo disputa alguna por el método. Raphson fue una de las pocas personas a quienes Newton permitía acceder a sus trabajos matemáticos, incluso llegó a traducir algunos de ellos del latín al inglés.

En 1691, Raphson y Edmond Halley participaron en los planes para publicar la obra de Newton de principios de la década de 1670 sobre la cuadratura de curvas, un proyecto que solo se concretó en 1704. Asimismo, se sabe que en 1711 Roger Cotes y William Jones propiciaron que Raphson pudiera consultar algunos de los trabajos de Newton para su proyecto de redactar la Historia de las Fluxiones, que no se publicó hasta 1715,  después de la muerte de Raphson, bajo el título Historia fluxionum.

En definitiva, la controversia se resuelve aceptando que Newton había descrito el método en 1671, antes de la publicación de Raphson, aunque aplicado exclusivamente a la aproximación de raíces de polinomios. Unos años más tarde, Raphson —quien había tenido acceso a este trabajo— publicó su propio método, más general, válido para el resto de funciones continuamente diferenciables. Por lo tanto, podemos concluir que Raphson partió del procedimiento de Newton para desarrollar su versión del método y que, en consecuencia, no existió un «robo» ni por parte de Newton ni de Raphson. Así, la denominación actual de «método de Newton-Raphson» constituye un justo reconocimiento a la historia de su aparición.

Como bien puede observarse, conocer la historia detrás de los aportes matemáticos que hoy disfrutamos nos permite valorar el esfuerzo y la dedicación de quienes nos transmitieron sus descubrimientos e invenciones.

@MantillaIgnacio