Matemáticas que se vuelven virales 

Hay algunas curiosidades matemáticas que por su extraordinaria belleza se divulgan y se propagan rápidamente en las redes sociales; hay también descubrimientos matemáticos que por su alcance y aplicación son compartidos entre miles de usuarios y hay retos que llaman la atención y se vuelven virales; pero al igual que con las noticias falsas que nos invaden, se presentan también, de vez en cuando, las “fake news” matemáticas; y ¿cómo evitarlo si aparecen frecuentemente hasta noticias falsas sobre la antigua Roma?

Desde hace unos dos años ha circulado un problema aritmético que en forma cíclica se vuelve viral, convirtiéndose ya en un clásico de las redes sociales, especialmente por la confusión que produce la obtención de respuestas distintas en diferentes calculadoras. Aun cuando hay varias versiones similares del problema, uno de los más comunes es el que plantea el reto consistente en calcular:

6 ÷ 2(1 + 2).

Se cree que hay dos formas correctas de resolverlo y que por eso la respuesta puede ser 1 o 9.

6 ÷ 2(1 + 2) = 3 · 3 = 9

o también 

6 ÷ 2(1 + 2) = 6 ÷ 6 = 1.

Y esta contradicción se refuerza con la imagen que muestra dos calculadoras, cada una con una respuesta diferente:

El 5 de abril de 2019 publiqué un artículo explicando el porqué solo 9 es la respuesta correcta y cuál es la razón para que algunas calculadoras lo hagan mal y arrojen 1 como resultado (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/una-polemica-aritmetica).

Pero teniendo en cuenta que actualmente se presenta un “rebrote” y ha vuelto a crecer la polémica ante el aparente dilema y sobre todo ante la idea generalizada según la cual hay dos respuestas, me siento en la obligación de insistir en que solo hay una respuesta correcta, en contra de todas las evidencias que se quieran presentar para defender la idea de que depende de cómo se haga.

Sería imposible mencionar todos los comentarios que se leen en Twitter sobre las razones por las que debe ser una u otra la respuesta, así que sin entrar a validar o rebatir tantas opiniones, voy a tratar de extender la explicación dada en el artículo antes mencionado, acudiendo principalmente a conceptos matemáticos. 

Es importante recordar lo dicho sobre la regla convencional conocida como PEMDAS que establece el orden y jerarquía de las operaciones en matemáticas: Parentheses (Paréntesis), Exponents (Exponentes), Multiplication-Division (Multiplicación-División), Addition-Subtraction (Suma-resta).

Alguna confusión parece causar la existencia de la regla BODMAS que resume: Brackets (Paréntesis), Orders (Exponentes), Division-Multiplication (División-Multiplicación), Addition-Subtraction (Suma-resta).

De acuerdo con estas reglas, que en realidad son la misma, el orden en que se realizan las operaciones debe respetar esa jerarquía: primero se calcula lo que esté dentro de paréntesis, luego deben operarse los exponentes, después las multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas. A primera vista parecería como si BODMAS señalara que la combinación DM significa que primero se operan las divisiones y después las multiplicaciones a diferencia de PEMDAS con la combinación MD, pero no existe jerarquía alguna entre divisiones y multiplicaciones ni entre sumas y restas y solo se recomienda realizar la operación de izquierda a derecha, dando entonces prioridad a la operación de la izquierda. Así, cuando haya varias operaciones del mismo nivel jerárquico, como multiplicación y división o como suma y resta, se sugiere realizar primero la de la izquierda.

Pero pasemos ahora a las matemáticas formales. 

Los axiomas son proposiciones aceptadas que no requieren demostración y a partir de los cuales se deducen otras proposiciones. Tanto para la adición como para la multiplicación existe una ley asociativa, derivada de los correspondientes axiomas, que nos garantizan que dados números reales cualesquiera x, y, z se cumple:

(x + y) + z = x + (y + z)

(x · y) · z = x · (y · z).

Otro axioma para la suma nos asegura que dado cualquier número real x, existe un único número real y tal que:

x + y = y + x = 0, 

el número y se denomina el opuesto de x, denotado como 

y := -x.

Es a partir de este axioma que se define la resta de dos números reales u y v como la suma de u con el opuesto de v:

u – v := u + (-v).

Por lo tanto cuando tenemos que realizar una operación como:

8 – 2 + 14

en realidad estamos realizando solo sumas:

8 + (-2) + 14

y por la ley asociativa de la adición da igual calcular primero 8 + (-2) y luego sumar 14: 

(8 + (-2)) + 14 = 6 + 14 = 20,  

que calcular primero (-2) + 14 y luego sumar 8:

8 + ((-2) + 14) = 8 + 12 = 20.

Para la multiplicación tenemos un axioma similar que nos garantiza que para todo número real x distinto de cero, existe un único número real y tal que:

x  ·  y = y  ·  x = 1.

El número y se llama el inverso de x, denotado como

y := 1/x.

A partir de este axioma de define la división entre dos números reales u y v, con v≠0, como el producto entre u y el inverso de v:

u ÷ v := u · 1/v.

Por lo tanto, cuando se nos pide realizar una operación como:

8 ÷ 2 · 14

podemos escribir 

8 · 1/2 · 14

y por la ley asociativa de la multiplicación es lo mismo multiplicar primero 8 y 1/2 que operar en primer lugar 1/2 y 14; es decir que podemos multiplicar en el orden:

8 ÷ 2 · 14 = 8 · ½ · 14 = (8 · ½) · 14 = 4 · 14 = 56

o también:

8 ÷ 2 · 14 = 8 · ½ · 14 = 8 · (½ · 14) = 8 · 7 = 56.

Habiendo aclarado estas leyes podemos volver ahora sobre el problema de marras que se ha vuelto viral:

6 ÷ 2(1 + 2) = ?

De acuerdo con PEMDAS, primero operamos el paréntesis: 

6 ÷ 2(1 + 2) = 6 ÷ 2(3) 

Ahora podemos eliminar esos paréntesis que se vuelven innecesarios y reemplazarlos por el punto de la multiplicación:

6 ÷ 2(1 + 2) = 6 ÷ 2(3) = 6 ÷ 2 · 3.

Puesto que dividir entre 2 no es otra cosa que multiplicar por el inverso de 2,  que es igual a 1/2, tenemos:

6 ÷ 2(1 + 2) = 6 ÷ 2(3) = 6 ÷ 2 · 3 = 6  ·  ½  ·  3

y usando la ley asociativa

6  ·  ½  ·  3 = (6  ·  ½)  ·  3 = 3 · 3 = 9 

o también

6  ·  ½  ·  3 = 6  ·  (½  ·  3) = 6  ·  3/2  = 18/2 = 9.

Analizando este problema, coincido con quienes afirman que la confusión es consecuencia de un error inducido al considerar la resta y la división como si fuesen operaciones asociativas, lo cual es incorrecto; pero además como si existiese la jerarquía entre suma y resta o entre división y multiplicación para definir la prioridad de la operación.

Una recomendación final: si va a comprar una nueva calculadora, pruébela antes con esta operación.

@MantillaIgnacio