Una polémica aritmética

En Twitter acostumbro compartir problemas, noticias, curiosidades, avances, pildoritas y entretenciones matemáticas. En ocasiones son de mi propia cosecha y frecuentemente replico lo que recibo de amigos matemáticos o de universidades y páginas especializadas que tienen también el interés de divulgar y estimular el estudio de las matemáticas.

Ayer publiqué un trino con la imagen de dos calculadoras que al realizar la misma operación obtienen respuestas distintas y preguntaba cuál de las dos daba la respuesta correcta, si era la del lado izquierdo o la calculadora del lado derecho.

Sorprendentemente, en pocas horas obtuve más de 250 respuestas. Sí, respuestas, no likes ni RT. Como es común en Twitter, no faltaron las respuestas graciosas ni las que aprovecharon para llevar el trino al plano político y tomarlo como elemento adicional para polarizar entre izquierda y derecha. Supongo que así son las pruebas de algunos que intentan demostrar que los profesores universitarios adoctrinamos a los estudiantes.

Pero más allá de estas curiosas reacciones, debo decir que hay tantos seguidores a favor de la una como de la otra respuesta; así que como matemático, me siento obligado a explicar y resolver la polémica en torno al problema aritmético planteado.

La operación indicada en las calculadoras es: 6÷2(2+1), y las respuestas son: 9 en la izquierda y 1 en la derecha.

Para dar una respuesta y una explicación del porqué de estas dos respuestas debo iniciar por recordar que en matemáticas hay una convención, o mejor una regla, conocida como PEMDAS, que es la abreviación, derivada del inglés para Parentheses (Paréntesis), Exponents (Exponentes), Multiplication-Division (Multiplicación-División), Addition-Subtraction (Suma y resta). De acuerdo con ésta, el orden en que se realizan las operaciones debe respetar esa jerarquía: primero lo que esté dentro de paréntesis, luego deben operarse los exponentes, después las multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas, Adicionalmente, como no hay jerarquía explícita entre multiplicaciones y divisiones ni entre sumas y restas, cuando se presente duda, debe realizarse la operación de izquierda a derecha, dando entonces prioridad a la operación indicada a la izquierda.

Así por ejemplo, si queremos realizar correctamente la operación: 5+3×6, hacemos primero la multiplicación 3×6 y luego la suma de 5 con el resultado de esa multiplicación; entonces la respuesta correcta en este caso es 5+18 = 23. Y es incorrecto realizar primero la suma, en cuyo caso obtendríamos 8×6 = 48. Sin embargo, si la operación estuviera indicada con unos paréntesis, como (5+3)×6, primero realizamos la operación dentro del paréntesis 5+3 = 8 y luego multiplicamos por 6 para obtener 48 como resultado. 

Ahora bien, se entiende que si no hay signo alguno entre un número y el paréntesis, entonces se trata de una multiplicación; esto es muy importante tenerlo en cuenta, pues como veremos da origen a errores. Si volvemos al ejemplo anterior, esto quiere decir que: (5+3)×6 = (5+3)6 y por la ley conmutativa (5+3)6 = 6(5+3). 

Después de esta introducción vamos a resolver el problema de marras: 6÷2(1+2).

Primero, como ya vimos, tenemos que realizar la operación dentro del paréntesis y obtenemos: 

6÷2(3), es decir: 

6÷2×3. 

Aquí se presenta el caso que expliqué antes, en el que hay división y multiplicación y podría haber confusión sobre cuál se realiza primero; pero la regla dice que vaya de izquierda a derecha; esto es, primero hago división:

6÷2 = 3 

y luego realizo la multiplicación. Por lo tanto:

6÷2×3 = 3×3 = 9 

y eso es lo correcto. Es decir, está bien el resultado que arroja la calculadora de la izquierda.

¿Cuál es entonces el error en la calculadora derecha? 

Existe lo que se llama “el síndrome del paréntesis invisible”. Se trata de la incorporación en algunos lenguajes de programación y calculadoras, de unos paréntesis (invisibles) que son introducidos para realizar las operaciones aritméticas cuando puede presentarse alguna ambigüedad. Tal es el caso que nos ocupa, en el que la calculadora derecha, realmente hace lo siguiente:

6÷2(1+2) = 6÷(2(1+2)); 

es decir agrega un paréntesis y luego opera con la regla PEMDAS para resolver la operación así:

6÷(2(1+2)) = 6÷(2(3)) = 6÷(2×3) = 6÷(6) = 6÷6 = 1.

Si en la misma calculadora, desde el principio, en lugar de escribir 6÷2(1+2) hubiéramos escrito 6÷2×(2+1), que es lo mismo, el resultado es el correcto. (¡Compruébenlo!).

Naturalmente, lo más aconsejable es usar siempre los paréntesis cuando haya alguna duda. Preferible pecar por exceso que por defecto. Nótese que también se obtiene como respuesta 9, si lo que deseamos calcular es:

(6÷2)(1+2), que podría ser otra interpretación inicial.

Espero haber resuelto las inquietudes surgidas con este sencillo problema.

@MantillaIgnacio