Matemáticas para decidir invertir o guardar la platica debajo del colchón

Un amigo economista me animaba a invertir en acciones afirmando que el riesgo de perder es mínimo porque los mercados son sabios y “las bolsas respiran”; es decir, me explicaba, ellas fluctúan, si una acción cae un porcentaje, en algún momento vuelve a subir ese porcentaje y la inversión inicial se equilibra; es cuestión de elegir el momento adecuado para vender las acciones, decía.

No soy economista, pero sé que algunos de ellos provocarían protestas de ecuaciones y fórmulas por el mal trato que les dan, así que preferí recurrir al uso de las matemáticas básicas para hacer un ejercicio sencillo que condujo a un resultado que voy a compartirles.

Supongamos que adquiero acciones de un fabricante de vehículos eléctricos, a un costo de 200 dólares cada una. Supongamos ahora, que meses después, el precio de las acciones cae, pero que se desploma estrepitosamente debido a un escándalo y mis acciones valen solo el 15% del precio original que pagué, es decir, hoy valen a 30 dólares.

Siguiendo el consejo de mi amigo, si las acciones bajaron un 85% y el precio actual ya no es de 200 dólares sino de 30 dólares cada una, y todo es cuestión de tiempo, hay que esperar a que “la bolsa respire” y vuelva a tomar el mismo aire expulsado, para que mis acciones suban y su precio se recupere, y vuelva a ser de 200 dólares.

Pero cuidado: si el precio bajó a 30 dólares y lo aumento en el mismo porcentaje que se redujo, o sea 85%, el nuevo precio de las acciones sólo alcanza a ser:

30 · (1 + 85 / 100) = 30 · (1,85) = 55,5  dólares

que dista bastante de los 200 dólares que pagué originalmente.

Aquí surge mi inquietud puramente matemática: ¿cuál es el crecimiento porcentual necesario del precio de las acciones para volver al valor de 200 dólares? Busquemos la respuesta en general. El problema se puede plantear así:

Si el precio de compra original es P (= 200), y el porcentaje que perdió fue S (= 85), alcanzando el precio actual de Q (= 30), ¿cuál debe ser el crecimiento porcentual R para volver al precio P?

Para dar con la solución, llamemos 

s := S / 100 (= 85 / 100)  y  r := R / 100  entonces  Q = (1 – s) · P  (= 30).

Si el precio Q ahora se empieza a recuperar con un incremento porcentual R, debe satisfacerse la siguiente igualdad:

(1 + r) · Q = (1 + r) · (1 – s) · P

y para que recupere el valor inicial, esa expresión debe ser igual a P; es decir que debe cumplirse:

(1 + r) · Q = (1 + r) · (1 – s) · P = P 

de esta ecuación se obtiene:

(1 + r) · (1 – s) = 1

1 + r = 1 / (1 – s)

r = 1 / (1 – s) – 1

r = s / (1 – s)

entonces 

R = 100r = (100s) / (1 – s) = 100·(S / 100) / [1 – (S / 100)] = 100S / (100 – S)    (*)

Esto quiere decir que para nuestro caso, con S = 85, tenemos que:

R = (100) · (85) / (100 – 85) = 8500 / 15 = 566,67

Es decir que se requiere un crecimiento en el precio de las acciones del 566,67% para recuperar la inversión inicial; porcentaje bastante lejano del 85%. Me dije: mejor guardo la platica debajo del colchón.

Revisé mis cálculos porque no lo podía creer y decidí analizar mejor el problema general sobre los porcentajes de recuperación, de la siguiente forma:

Si subimos el mismo porcentaje que hemos perdido, ante un 3% de un precio inicial de 100 dólares, tenemos que:

P = 100,   S = 3%,   Q = 97

La recuperación es de:

(97) · (1 + 3 / 100) = (97) · (1,03) = 99,91

que no está del todo mal, pues recuperamos 99,9 dólares de los 100 invertidos y de acuerdo con (*)  solo habrá que esperar que suba un porcentaje del 3,09%, porque:

100S / (100 – S) = 300 / 97 =  3,09.

Si el activo cae un 2%, basta con que suba un 2,04% para que recupere el 100%.

Ante un 6%, la recuperación es de:

(94) · (1 + 6 / 100) = (94) · (1,06) = 99,64 dólares,

pero cuando es un 12%, la recuperación con ese mismo porcentaje es de:

(88) · (1 + 12 / 100) = (88) · (1,12) = 98,56. 

Y así se observa que cuanto mayor es la caída, más difícil es recuperar la inversión, en el sentido indicado. Una caída del 20% se recupera con el 25%, pero si es del 50% se necesita un aumento del 100% para recuperar el precio original. Esto está indicando que solo en caídas pequeñas de precios podría mantenerse el optimismo de la recuperación.

Pero analicemos mejor la situación desde las matemáticas: naturalmente, cuando x es pequeño,  

1 / (1+ x) ≈ 1-x 

la razón, para quienes deseen una justificación formal, es que si llamamos 

f(x) := 1 / (1 + x) 

y expandimos la función f alrededor del origen en serie de Taylor, tendríamos que:

f(x) ≈ f(0) + f’(0) · (x – 0) = 1 – x.

Con esta observación podemos decir que para un s pequeño, el valor de 1 / (1 + s ) puede ser reemplazado por (1 – s) y en ese caso el precio Q, después de la caída, es entonces aproximado por 

Q = P · (1 – s) ≈ P / (1 + s).

La recuperación con el mismo porcentaje con que cayó sería entonces válida solo cuando se trata de un porcentaje s pequeño, ya que

Q · (1 + s) = P·(1 – s)(1 + s) = P · (1 – s²) ≈ P 

porque al ser s pequeño, también lo es s².

Matemáticamente es también comprensible por qué una buena fórmula, muy simple, que se usaba en la Edad Media para deducir el “descuento comercial” de un préstamo es:

P = Q · [1 – ( i · t)] ≈ Q / [1 + (i · t)],

así por ejemplo, para un préstamo de 200 reales, por 9 meses, al 4% de interés anual, la suma entregada debía ser:

P = 200(1 – 0,04 (3/4)) = 194 reales

y al cabo de los 9 meses debía reembolsarse 100 reales. 

Espero haber despertado el interés por comprender mejor la manera como se hacen algunos cálculos financieros y cómo la recuperación de una caída en el precio de unas acciones puede convertirse en una meta imposible.

@MantillaIgnacio