Las matemáticas que esconden las pirámides financieras

La aparición de esquemas de negocios masivos y fraudulentos para la captación de ahorradores que presumiblemente recibirán altas rentabilidades, libres de riesgos, se remonta al siglo XIX, más exactamente a la década de 1870, cuando la española Baldomera Larra inició unas exitosas operaciones en Madrid, pagando un 30% mensual a sus inversores, con el dinero fresco de los nuevos clientes. 

Posteriormente, en 1899, se hizo famosa una empresa que operó en Nueva York bajo el nombre de “Union Franklin”, de propiedad de William Miller, que pagaba el 10% de interés semanal a sus clientes y alcanzó a ganar un millón de dólares hasta que la estafa se hizo evidente y Miller fue enviado a la cárcel por 10 años, convirtiéndose en una de las primeras condenas por una estafa piramidal.

Pero el más famoso estafador con este tipo de captación se llamó Carlo Ponzi, un inmigrante italiano quien en 1920 llegó a Boston con un par de dólares en el bolsillo y en menos de 6 meses logró pasar del anonimato a ser un distinguido millonario. Ponzi prometía una ganancia del 40% en tan sólo tres meses, en comparación con un 5% de las cuentas de ahorro bancarias tradicionales. La credibilidad en Ponzi fue tal, que en tan solo tres horas llegó a recibir un millón de dólares de los fondos de inversionistas. Como anécdota se menciona que la investigación por la que se le condenó logró establecer que Ponzi sólo se había gastado 30 dólares en los costos del correo. Su estafa fue famosa por ingeniosa y fraudulenta, dando nombre al tristemente célebre “Esquema Ponzi” que trataré de explicar.

Aun cuando existen básicamente dos tipos de pirámides, el principio fundamental en ambos casos es el mismo: un crecimiento rápido en el número de clientes que se consigue mediante referencias de los primeros que perciben intereses muy por encima de lo que pueden pagar los bancos o las empresas formales de inversión. Los nuevos clientes son atraídos por la confianza que les inspiran personas conocidas que ya se han beneficiado y que alimentan la ambición y el deseo de ganar dinero en forma rápida y fácil.

En una pirámide general (no-Ponzi) es usual que un cliente tenga que reclutar a un cierto número de nuevos clientes para poder obtener la ganancia prometida por la captadora, pero en un esquema Ponzi, un cliente no tiene esa obligación, de manera que la velocidad de crecimiento es menor. Por otra parte, los intereses prometidos en el esquema Ponzi no son escandalosamente superiores y los tiempos de retorno son un poco mayores; la captadora se disfraza fácilmente de una empresa de inversiones, “novedosísima”, y por lo tanto de altísimo retorno, por lo que despierta menos sospechas del fraude, pero al mismo tiempo le convierte en el tipo más peligroso de esquema piramidal. 

La clave para el éxito del esquema piramidal está en el cumplimiento con el pago de las rentabilidades prometidas a las primeras rondas de clientes. La publicidad “boca a boca” es sumamente certera y gracias a la mayor confianza que se transmite se consiguen fácilmente nuevos clientes con cuyos aportes se les paga a los más antiguos. La convicción de quienes han recibido las primeras rentabilidades es esencial y frecuentemente ellos mismos reinvierten todo el capital ganado, formando parte en una nueva ronda de clientes. En la medida en que el modelo se vuelve popular aumenta el número de inversionistas y los montos que estos invierten, pero en realidad el esquema piramidal funciona otorgando ganancias a los clientes de la penúltima generación con los aportes de la última generación; dicho de forma coloquial, robando a Jaime para pagar a Pedro.

Un esquema piramidal puede sostenerse por largo tiempo hasta alcanzar su saturación. Su sostenimiento está garantizado mientras exista un flujo suficiente de dinero fresco ingresando al sistema; en caso contrario es inevitable el fracaso; los clientes que se encuentran en ese instante en el sistema no pueden retirar su inversión y pierden su dinero.  

El fenómeno puede ser descrito matemáticamente teniendo en cuenta múltiples factores; hay modelos que usan ecuaciones diferenciales similares a las que describen la propagación de una epidemia en una población y que demuestran un crecimiento exponencial de los clientes en una etapa del proceso.

Con el siguiente ejemplo quiero ilustrar cómo evolucionaría una pirámide que inicia con un solo inversionista que aporta el capital semilla de un millón de pesos. Supongamos que se ofrece el pago mensual de un interés del 50% y que mensualmente se logra duplicar la captación, bien sea con nuevos inversionistas o con mayores inversiones de antiguos y nuevos clientes. Bajo estas condiciones, el número de captaciones hasta el mes m crece de la siguiente forma: 

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … + 2^m = 2^(m+1) – 1.

Por cada millón depositado se paga al mes $1.500.000. Entonces el dinero aumenta así:

Mes 0: se deposita 1 millón.

Mes 1: ingresan 2 millones, hay en total 3 millones y se pagan 1.5 millones al primero (sobra 1.5 millones. Los dineros “sobrantes” se usan parcialmente en la administración de las captaciones).

Mes 2 (cifras en millones de pesos): ingresan 4, hay en total 5.5 y se pagan 3 a los dos antiguos clientes (sobran 2.5).

Mes 3: ingresan 8, hay en total 10.5 y se pagan 6 a los antiguos cuatro clientes (sobran 4.5 millones).

Mes 4: ingresan 16, hay en total 20.5 y se pagan 12 a los antiguos ocho clientes (sobran 8.5).

Continuando en esta forma, tenemos:

Mes m: ingresan (2^m) nuevas inversiones de 1 millón cada una, 

hay recaudado un total de [2^(m-2)] [5 + 2^(1-m)] millones. 

Se deben pagar [3 · 2^(m-2)] millones. 

Sobran [1/2][(2^m) + 1] millones.

Es decir que para el primer año esta pirámide ha recibido un total de: 

(2^13) – 1 = 8.192 millones de pesos. 

En el último mes hubo aportes de (2^12) = 4.096 millones. Hay reunida una suma de 5.120,5 millones y aun cuando deberían pagarse 3.072 millones a los últimos inversionistas, dejando así un sobrante de 2.048,5 millones, si el estafador decide desaparecer en ese momento para evitar la saturación, se lleva toda esa cuantiosa suma de más de 5.000 millones de pesos. 

Tras esta situación los 4.096 inversionistas víctimas de la estafa que se sienten engañados recurren al estado para que intervenga y les devuelvan al menos su inversión.

La estafa piramidal más grande de la historia la realizó Bernard Madoff quien fue arrestado el 11 de diciembre de 2008 por engañar a miles de inversionistas por miles de millones de dólares. Se declaró culpable tres meses después de las acusaciones de fraude y fue sentenciado a 150 años en prisión federal.

En Colombia se estima que unas 500.000 personas resultaron afectadas en noviembre de 2008 en la conocida pirámide denominada DMG. A pesar de haber sido un caso tan ampliamente conocido, la ambición y el deseo de enriquecerse rápido y sin esfuerzo sigue atrayendo a cientos de ingenuos que invierten sus pesitos en estos sistemas.

Un especial cuidado hay que tener con los nuevos esquemas piramidales tales como los llamados “telares”, “mandalas” o “flores de la abundancia”, que usan redes cerradas con estrategias de publicidad diferentes y que logran novedosos engaños, aumentando el número de perdedores y por consiguiente causando un fraude mayor, representado en un gran botín. Las matemáticas que estos esquemas esconden son diferentes y podría ser tema suficiente para otro artículo. 

Pero en cualquier caso hay que advertir que las pirámides solo sirven para aumentar su pobreza, medida no en lo poco que usted posee, sino en lo mucho que usted desea. Hay un principio básico universal de todos los sistemas piramidales: al final, si alguien tiene más, es porque muchos tienen menos.

@MantillaIgnacio