Las matemáticas del Sudoku

Seguramente los juegos de mesa, los juegos de azar o los pasatiempos despiertan el interés de muchos lectores. Los primeros son especialmente comunes en los países con estaciones y no pueden faltar cuando llega el invierno y las familias o los grupos de amigos se reúnen en sus casas; los segundos son una tradición (y una tentación) en todo el mundo, y los pasatiempos como los sudokus y los crucigramas generalmente nos distraen en solitario, pero constituyen uno de los ejercicios mentales más frecuentes y también una fuente para el aprendizaje. 

En los últimos 20 años el sudoku se ha posicionado como uno de los pasatiempos favoritos, gracias a la simpleza de sus reglas y a la abundancia de combinaciones posibles que permiten ofrecer variados niveles de dificultad; el sudoku también ya hace parte de las aplicaciones de entretenimiento disponibles para celulares. Pero ¿cuál es su origen?

Para quienes no lo conocen o han olvidado sus reglas, recordemos que el sudoku se presenta como una tabla de 9 × 9, compuesta por bloques de 3 × 3 celdas que ya contienen algunos números a modo de pistas. El objetivo del juego es rellenar las celdas vacías con un dígito de 1 a 9 en cada una, de tal manera que cada fila y cada columna de la tabla, así como cada bloque, contenga todos los nueve dígitos. A modo de ejemplo, este es uno en su forma inicial. 

En la solución, cada número del 1 al 9 aparece solo una vez en cada fila, en cada columna y en cada bloque, como muestra el ejemplo, ya resuelto, a continuación:   

Una condición para que un sudoku esté bien planteado es que solo pueda tener una una solución, y se ha demostrado que esto no es posible sin tener al menos 17 pistas iniciales; por lo general se dan entre 25 y 30 pistas, como era el caso del ejemplo anterior en su forma inicial. La dificultad para resolver un sudoku es inversamente proporcional al número de pistas iniciales. 

El Sudoku es un acertijo que tiene similitud con los cuadrados mágicos, muy antiguos y usados como pasatiempos en algunas civilizaciones. El primer cuadrado mágico del que se tiene noticia fue encontrado en el siglo XXIII a. C. en China y apareció en la caparazón de una tortuga. Se trata de un cuadrado de 3 x 3 que contiene en cada celda un dígito de 1 a 9. La suma de las filas, columnas y diagonales es 15.

Los cuadrados mágicos en occidente fueron introducidos en el siglo XIV, se cree que fue a través de un manuscrito atribuido al escritor, nacido en Constantinopla, Manuel Moscópulo (1265-1316), que contiene explicaciones sobre cómo construirlos. 

Un cuadrado mágico muy antiguo y famoso es el que aparece en el grabado titulado Melancolía I del artista alemán del Renacimiento Alberto Durero  

que resalto a continuación:

En el cuadrado de 4 x 4 se obtiene la constante mágica 34 en las filas, columnas, diagonales principales y en las cuatro submatrices de 2 x 2 en las que puede dividirse el cuadrado. También la suma de los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas y de las columnas y una serie de combinaciones sorprendentes de celdas simétricas que suman 34; en fin, son tantas, que mejor les comparto imágenes ilustrativas (tomadas de https://www.gaussianos.com/el-cuadrado-magico-del-pintor/) para que al detenerse puedan deleitarse: 

Obsérvese que adicionalmente, las dos celdas centrales de la última fila tienen el año de ejecución de la obra del artista: 1514. 

En 1776 el gran matemático suizo Leonhard Euler, el matemático más prolífico de todos los tiempos, introdujo los cuadrados latinos, que incluyen los greco-latinos, también conocidos como cuadrados de Euler o cuadrados latinos ortogonales, llamados así porque Euler usó caracteres latinos en las celdas de los cuadrados para su definición. Con estos nuevos objetos matemáticos Euler descubrió además un nuevo método para construir cuadrados mágicos de orden 3, 4 y 5; y es por este hecho que a Euler se le considera uno de los inventores del Sudoku, pues aun cuando no fue el creador, las soluciones de los Sudokus son casos especiales de cuadrados latinos; o mejor, toda solución de un Sudoku es un cuadrado latino, pero un Sudoku impone una condición adicional, ya que todos los bloques de 3 × 3 deben contener todos los dígitos del 1 al 9, así que no todo cuadrado latino es solución de un Sudoku.

Pese a todos estos antecedentes históricos, solo fue hasta 1970 que este rompecabezas matemático, que se convertiría en el Sudoku, se divulgó como un pasatiempos, pero sin mucho éxito. La encargada de hacerlo fue una editorial llamada «Matt Puzzles and Logic Problems», que publicó una sección llamada Number place, incluyendo el rompecabezas. Posteriormente «Nikoli», empresa japonesa especializada en pasatiempos para prensa, comenzó a publicarlo en el periódico «Monthly Nikolist» desde abril de 1984 bajo el título «Sūji wa dokushin ni kagiru», que se puede traducir como «los números deben estar solos», con la idea de que el título mismo del rompecabezas evocara la regla general que establece que los dígitos de 1 a 9 deben aparecer solo una vez en cada fila, columna o bloque, y que por lo tanto deben estar solos. El nombre se abrevió a «Sūdoku»(sū = número, doku = solo). 

Con el tiempo se fueron introduciendo pequeñas modificaciones, tales como restringir el número de pistas iniciales a 30 dispuestas en forma simétrica, algunas fueron bien recibidas, otras fueron rechazadas y tras muchas contribuciones del público japonés, finalmente el sudoku obtuvo la forma actual, ofreciendo la flexibilidad permitida en el estado inicial de la tabla.

En 1997, Wayne Gould, juez de la Corte de Hong Kong, durante unas vacaciones en Japón, encontró una revista de Sudokus y decidió entonces compartir este rompecabezas haciéndolo conocer de algunos editores de medios británicos como «The Times» y «The Daily Mail». Fue así como el 12 de noviembre de 2004 se publicó el primer Sudoku, como juego de entretenimiento matemático, en «The Times». A los pocos días otros diarios empezaron a copiar el rompecabezas y pronto toda la prensa británica lo incorporó en sus pasatiempos. En pocos meses su popularidad se extendió a los demás países de Europa y América.

Pero no podría cerrar esta nota histórica del Sudoku sin compartir un dato sorprendente sobre las cifras que indican la basta oferta de posibilidades que nos brinda un Sudoku. En el año 2005, los matemáticos Bertram Felgenhauer, de la Universidad Técnica de Dresden (Alemania) y Frazer Jarvis de la Universidad de Sheffield (Reino Unido) determinaron que existen 

6.670.903.752.021.072.936.960 ≈ 6,67 x 10²¹ 

Sudokus válidos. Esta es una cifra descomunal. Para que nos hagamos a una idea del tamaño de este número basta con observar que si disponemos de un computador capaz de rellenar un billón de Sudokus por segundo, esto es soluciónar

1.000.000.000.000 = 1 x 10¹²

Sudokus distintos cada segundo, entonces tardaría más de 200 años en resolverlos todos los que existen. Naturalmente, si se no se consideran como distintas las tablas de 9 x 9 ni los bloques de 3 x 3 que se obtienen mediante las simetrías debidas a rotaciones, reflexiones y permutaciones, este número tan grande puede reducirse a 5.472.730.538 formas distintas de Sudoku, que sigue siendo un número gigante de posibles combinaciones.

Como se observa, el Sudoku es un gran invento, un pasatiempo entretenido que puede hacerse tan fácil o tan difícil de resolver como se quiera, pero que además, como en el caso de los cuadrados mágicos, su construcción puede entenderse como un reto matemático adicional, porque la satisfacción de resolver un problema bien planteado no es comparable con el reto de plantear bien un buen problema que tenga una única solución.

@MantillaIgnacio