La soledad de los números primos

El escritor italiano Paolo Giordano, quien estuvo participando como invitado en el «Hay Festival» de Cartagena hace unos años, además de escritor es físico teórico de la Universidad de Turín y combina la investigación en su campo con la escritura; se hizo famoso con la publicación, en 2008, de su primera novela titulada La soledad de los números primos.

La obra narra una conmovedora historia de una sólida relación puesta a prueba, entre Mattia y Alice, dos seres cuyas vidas están condicionadas desde la niñez. Con esta obra el autor ganó el «Premio Strega» de 2008 y fue el libro más vendido en Italia ese año, superando el millón de ejemplares, según lo informó el diario La Stampa.

Independientemente de la narración y la calidad de la novela, es obvio que el título resulta sumamente atractivo para cualquier matemático que encuentre este libro en un estante de una librería y por lo tanto la curiosidad que despierta entre los matemáticos genera una especial inclinación que impulsa a comprarlo, como fue mi caso. 

El autor describe la relación entre los protagonistas de la historia haciendo una extraordinaria comparación con el comportamiento de los números primos; y en un aparte dice: 

“Los números primos solo son exactamente divisibles por 1 y por sí mismos. Ocupan su sitio en la infinita serie de los números naturales y están, como todos los demás, emparedados entre otros dos números, aunque ellos más separados entre sí. Son números solitarios, sospechosos, y por eso encantaban a Mattia…”.

Y seguidamente entra en el tema central, el de los números primos gemelos, que en el libro los describe con una exquisita definición, sin abandonar la exactitud, agregando una explicación sobre cuál es su comportamiento, de la siguiente manera: 

“…son parejas de primos sucesivos, o mejor, casi sucesivos, ya que entre ellos siempre hay un número par que les impide ir realmente unidos, como el 11 y el 13, el 17 y el 19, el 41 y el 43. Si se tiene paciencia y se sigue contando, se descubre que dichas parejas aparecen cada vez con menos frecuencia. Lo que encontramos son primos aislados, como perdidos en ese espacio silencioso y rítmico hecho de cifras, y uno tiene la angustiosa sensación de que las parejas halladas anteriormente no son sino hechos fortuitos, y que el verdadero destino de los números primos es quedarse solos. Pero cuando, ya cansados de contar, nos disponemos a dejarlo, topamos de pronto con otros dos gemelos estrechamente unidos. Es convencimiento general entre los matemáticos que, por muy atrás que quede la última pareja, siempre acabará apareciendo otra, aunque hasta ese momento nadie pueda predecir dónde…”.

Y efectivamente es así, los «primos gemelos» aparecen con una extraña frecuencia, ¿cada vez menor?

“…Mattia pensaba que él y Alice eran eso, dos primos gemelos solos y perdidos, próximos, pero nunca juntos”.

Hay sólo dos primos consecutivos (juntos), que son 2 y 3. Hay 35 parejas de primos gemelos menores que 1000: 

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

y hay 10 parejas menos, de primos gemelos, entre 1000 y 2000. Pero aun cuando la frecuencia con que aparecen las parejas de primos gemelos entre los múltiplos de 1000 sea menor a medida que crecen las cifras, y aunque esas parejas estén cada vez más distantes, no se puede afirmar que no exista otra pareja más grande. De hecho se han encontrado primos gemelos de tamaños enormes. Algunos de ellos son:

(3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹) − 1 y (3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹) + 1

que constan de 200 700 dígitos, descubiertos por el norteamericano T. D. Winslow en 2011 y superados en 2016 por los gemelos:

(29963034895 × 2^1290000) − 1 y (29963034895 × 2^1290000) + 1

que tienen la inimaginable cantidad de 388 342 dígitos. Estos primos gemelos, los más grandes hasta ahora conocidos, fueron encontrados por el estadounidense Tom Greer, gracias al proyecto colaborativo de búsqueda de primos denominado PrimeGrid.

El primer matemático en usar el término de «primos gemelos» fue el alemán Paul Stäckel (1862-1919) quien intentó despejar la duda sobre la posible existencia de infinitas parejas de primos gemelos, una conjetura que ya desde mediados del siglo XIX había sido formulada en la forma siguiente:

«Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo».

Esta conjetura, que afirma que hay infinitas parejas de primos gemelos no ha podido ser demostrada, tampoco refutada. Y hay una conjetura más general según la cual:

«Para todo número natural k existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2k». 

El caso k = 1 es la de los primos gemelos.

Pero no todo está sin explorar sobre los números primos gemelos, hay algunos avances; por ejemplo, se sabe que salvo la pareja (3, 5), todos los primos gemelos deben ser de la forma (6n – 1, 6n + 1), es decir que la suma de dos primos gemelos, mayores que (3, 5), debe ser divisible por 12. 

También hay un resultado extraordinario sobre los primos gemelos: la suma de los recíprocos de los números primos gemelos es convergente, es decir la suma infinita

converge (a diferencia de la suma de los recíprocos de todos los primos, que es divergente) y es igual a la constante de Brun, nombre en honor a Viggo Brun, quien lo demostró en 1919. La constante tiene un valor aproximado de

1,902160583104

esta aproximación fue obtenida en 2002 por Pascal Sebah y Xavier Gourdon. 

Desafortunadamente tampoco se sabe si la constante de Brun es un número irracional; si lo fuese, es decir, si no se pudiese escribir como cociente de dos números enteros, podríamos afirmar inmediatamente que entonces existen infinitos números primos gemelos, porque si fuesen finitos, la suma anterior sería una suma finita de números racionales, luego sería racional.

Como se puede deducir, este es un mundo fantástico lleno de incógnitas y retos. Que sea el libro de Paolo Giordano La soledad de los números primos un estímulo para que los lectores se interesen por conocer más sobre los maravillosos primos gemelos y el final de los protagonistas de la novela, Mattia y Alice.

@MantillaIgnacio