La paradoja de la caja de Bertrand

El matemático francés Joseph Bertrand (1822-1900) publicó en 1889 un libro que tituló Calcul des Probabilités, de gran impacto e influencia en el desarrollo de la teoría de la Probabilidad, pues mediante la presentación de algunas, hoy famosas, paradojas, hizo evidente la necesidad de replantear la definición de probabilidad en términos de eventos equiprobables, que ya era motivo de insatisfacción por la falta de precisión que generaba en algunos conceptos probabilísticos.

Una de esas paradojas, que quiero compartirles a continuación, es la que se conoce hoy en día como “La paradoja de la caja de Bertrand”. Este interesante problema es además un buen ejemplo que contribuye a entender la importancia del concepto de “probabilidad condicional”.

El enunciado del problema propuesto por Bertrand es el siguiente: tenemos tres cajas y cada una de ellas tiene dos cajones, uno izquierdo y otro derecho. En cada cajón hay una moneda. La caja 1 tiene dos monedas de oro, digamos que (ORO, ORO) es el contenido en los cajones de esta caja. La caja 2 contiene dos monedas de plata (PLATA, PLATA) y en la caja 3 hay una moneda de plata en un cajón y una de oro en el otro cajón (PLATA, ORO). Es decir que en total hay seis monedas, tres de plata y tres de oro y ninguno de los seis cajones está vacío; por otra parte, una vez se han cerrados los cajones, desde afuera, sin abrirlos, no hay forma de saber cuál es su contenido.

Después de escoger una caja al azar se selecciona también al azar uno de sus dos cajones y se encuentra que contiene una moneda de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda del otro cajón, de la misma caja, sea también de oro?

La solución del problema parece ser trivial, pero como veremos, más que trivial es contraintuitiva. 

Un razonamiento que parece convincente es que si la moneda encontrada es de oro, solo tenemos dos opciones: que la caja elegida sea la caja 1 que contiene dos de oro (ORO, ORO) o que la caja escogida sea la caja 3 que contiene una de plata y otra de oro  (PLATA, ORO). Por lo tanto la única posibilidad para que la otra moneda también sea de oro es que hayamos elegido la caja 1 (ORO, ORO) entre las dos cajas que tienen monedas de oro en al menos uno de sus cajones, o sea que solo una de las dos situaciones es favorable; es decir que la probabilidad de que la moneda del otro cajón sea también de oro sería igual a 1/2. 

La paradoja es que aunque parece razonable, esta respuesta es incorrecta.

En efecto, el enunciado nos da como condición, que la moneda que contiene el cajón escogido al azar es de oro y por lo tanto nos pide calcular una probabilidad condicional. Veamos las tres posibilidades:

1. Que hayamos escogido la única moneda de oro en la caja 3 (PLATA, ORO*).

2. Que hayamos elegido la moneda del cajón izquierdo en la caja 1 que contiene (ORO*, ORO).

3. Que hayamos tomado la moneda del cajón derecho de la caja 1 (ORO, ORO*).

En el caso (A) la moneda que queda en la caja es la de plata.

En el caso (B) la otra moneda es de oro.

En el caso (C) la moneda que queda también es de oro.

Como se observa, de los tres casos posibles, sabiendo que la primera moneda es de oro, hay dos que son favorables. La probabilidad de que la otra moneda sea también de oro, es entonces el doble de la probabilidad de que la otra sea de plata. Por lo tanto la probabilidad pedida es 2/3; es decir 66,67%, que es mayor que la probabilidad que intuitivamente habíamos calculado como 1/2 o del 50%.

Este tipo de problemas que son llamados paradojas porque su solución es contraintuitiva, merecen una atención especial pues nos enseñan a ser muy cautelosos en las respuestas. Este problema en particular me parece fascinante porque aunque atenta contra la intuición, nos revela de manera comprensible una solución insospechada inicialmente, lo que enseña a no confiarnos en una primera respuesta sin precaución. 

@MantillaIgnacio