La magia de π

Sin lugar a dudas el número π es la estrella de los números irracionales, es decir de los números que no pueden expresarse como razón de dos números enteros y que por lo tanto no tienen una expresión decimal periódica. Aunque hay infinitos números con esas características, como por ejemplo √2 o el número de Euler e, ningún otro número irracional es tan conocido ni tan “estimado” como π, llegando incluso a ser proclamado por la UNESCO al asignar el día 14 de marzo de cada año como el Día Internacional de las Matemáticas. La elección de esta fecha obedece a que, escrita en el formato MM/DD se logra 3/14, las primeras cifras del número π y por eso esta fecha se conoce también bajo el nombre de Día π.

Recordemos que el número π es la constante que se obtiene de dividir la longitud de la circunferencia entre el diámetro, eso para cualquier círculo.

El conocimiento sobre esta relación es muy antigua, pero el valor aproximado del número ha sido bastante cambiante, así por ejemplo en el denominado Papiro de Moscú, documento matemático del antiguo Egipto que data del año 1890 a. C., se toma para π el valor de 

π = 3,1605 

al igual que en el Papiro de Ahmes, también llamado Papiro de Rhind, que data de mediados del siglo XIV a. C. donde se aproxima con el mismo valor, pero escrito como cociente de enteros: 

π = 256/81. 

También en tablillas babilónicas de arcilla, más recientes, se ha encontrado la aproximación

π = 25/8 = 3,125 

que es un poco mejor que la anterior. 

Pero la aproximación más conocida desde la antigüedad es la que se deduce al hacer un sencillo cálculo en la descripción de lo que se llamó «Mar de Bronce», nombre con el que se conoció un gran recipiente circular, que el rey Salomón mandó fundir en el año 957 a. C. para el Templo de Jerusalén. En el antiguo testamento, más exactamente en el Libro III de los Reyes, se puede leer: «Hizo, además, un mar fundido, de diez codos de un borde al otro. Era completamente redondo y tenía cinco codos de altura. Un cordón de treinta codos ceñía toda su circunferencia». Es claro que 10 codos era la longitud del diámetro y 30 codos la circunferencia, con lo cual π es aproximado a 3. La explicación parece ser que por aquella época la circunferencia se medía con líneas rectas de la longitud del radio.

Hoy en día podemos encontrar fácilmente las primeras n cifras decimales de π, así por ejemplo las primeras 50 cifras decimales de π son:

π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…

y aún para valores muy grandes de n es posible conocer el desarrollo decimal de π. 

Actualmente se han calculado hasta 100 billones de dígitos de π, como lo hizo a mediados de 2022 la informática y desarrolladora de programación Emma Haruka Iwako, quien logró ese récord en 157 días de cómputo.

Pero la búsqueda de aproximaciones de π mediante números racionales, es decir, mediante fracciones de enteros, no ha cesado, y ha sido un reto natural, surgido desde la antigüedad, que busca la manera de aproximar lo mejor posible a π, ante la imposibilidad que había de expresar una secuencia suficientemente grande de sus cifras decimales. 

Dentro de las aproximaciones más conocidas aparecen:

3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, calculado por Arquímedes hacia el año 250 a. C. Es decir,, de manera muy acertada Arquímedes afirma que π se encuentra entre el numero 3,140845… y el número 3,142857.

π = 377/120 = 3,141666…, dada por el astrónomo egipcio Claudio Ptolomeo en el siglo II.

π = 22/7 = 3,14285714, muy sencilla de retener, introducida en siglo IX por el matemático árabe Al-Jwarizmi.

π = 355/113 = 3,141592292…, una de las más precisas usando números enteros de solamente tres cifras, que guardan una bella armonía, si se tiene en cuenta la secuencia 113355. Se cree que esta aproximación ya era conocida por los griegos, pero también se le da la autoría de su uso al matemático indio Aryabhata, quien la usó hacia el año 500.

π = 22/17 + 37/47 + 88/83 = 3,141592653467437…, con la que se logra una precisión de 10 cifras decimales. 

A π se le llamaba «Constante de Arquímedes» (no confundir con el Número de Arquímedes Ar) hasta cuando apareció la notación actual con la letra griega π que fue utilizada por primera vez por William Oughtred (1574-1660), aunque fue Leonhard Euler quien la difundió a partir de 1736 y la popularizó con su obra de Introducción al Cálculo Infinitesimal publicada en 1748.

El número π aparece con frecuencia en muchas expresiones que aparentemente no tienen nada qué ver con él, como si se tratase de un personaje que posee la magia de hacerse invisible para sorprendernos de repente. Es así como por ejemplo se encuentra en la Serie de Leibniz:

1 – 1/3 +1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + – ··· = π/4

o como valor al que converge la Serie de Nilakantha conocida desde el siglo XV:

3 + 4/(2x3x4) – 4/(4x5x6) + 4/(6x7x8) – 4/(8x9x10) + – ··· = π.

También aparece sorpresivamente en la solución del conocido Problema de Basilea que consiste en calcular la suma de los inversos de los cuadrados de todos los números enteros positivos:

o en la Identidad de Euler, considerada la más bella de las ecuaciones matemáticas:

  e^iπ + 1 = 0

La primera demostración de que π es un número irracional es de 1761 y se debe al matemático alemán Johann H. Lambert (1728-1777), pero a pesar de la demostración que finalmente asegura que π no se puede expresar mediante una cantidad finita de decimales, ni mediante un grupo finito de decimales que se repite de forma periódica, 

nos encontramos, más de un siglo después, con una de las más curiosas anécdotas sobre aproximaciones de π. Se trata de la increíble historia de un proyecto de ley que se hizo famoso por su absurdo contenido con el que se pretendió imponer la aproximación de π = 3,2. 

Se trata de un proyecto que estuvo a punto de ser aprobado en el Estado de Indiana (EE UU) en el siglo XIX cuando el médico y matemático aficionado Edwin J. Goodwin le propuso a Taylor I. Record, un representante del condado de Posey en la Asamblea General de Indiana, presentar un proyecto de ley con «una nueva verdad matemática». El proyecto, que se radicó con el número 246 de 1897, y fue aprobado unánimemente por una de las dos cámaras de la Asamblea General de Indiana, la de Representantes por 67 votos a favor y 0 en contra, estuvo a punto de ser aprobado también en el Senado de no ser por el matemático Clarence Abiarhar Waldo, quien había acudido a la sesión del Senado para gestionar el presupuesto anual de la Universidad de Purdue y de la Academia de Ciencias de Indiana y al conocer de este disparate, escandalizado logró convencer a los senadores de la barbaridad que estaban a punto de aprobar aproximando a π como 3,2 por medio de una ley.

Parte de la magia de π es que aparece en los lugares más insospechados y en todas las ramas de las ciencias y la ingeniería. Pero la fascinación es tal que lo encontramos en la cultura, el cine, la literatura, la música y también en series de televisión, humor gráfico, incluso en grafitis. La polaca Wislawa Szymborska (1923-2012), Premio Nobel de literatura le dedicó un poema. 

También se ha compuesto una melodía asignando una nota a cada dígito en su desarrollo decimal:

Y finalmente les comparto una manera divertida de verificar la conjetura según la cual, cualquier secuencia finita de dígitos puede encontrarse entre las cifras decimales de π. En este enlace se puede comprobar que con la secuencia de la fecha del cumpleaños se verifica la conjetura.

https://www.smm.org.mx/eventos/pi/index.php?f=

Como se observa, la magia de π nos envuelve a todos. Y para terminar, un chiste para los niños que están conociendo a π:

— ¿Cuáles son los animales que tienen más de 3, pero menos de 4 ojos?

— Los pi-ojos.

@MantillaIgancio