La fascinante historia de unos primos muy especiales

La Teoría de Números es el área de las matemáticas en la que abundan los problemas de fácil comprensión y difícil solución, y frecuentemente esos problemas involucran a los números primos o sea a los enteros mayores que 1, que solo son divisibles por 1 y por sí mismos. Estos números se convierten en los protagonistas de grandes retos, por eso la fascinación por los números primos, y en general por las curiosidades que ellos ofrecen y las relaciones que guardan, ha sido una constante en la historia de las matemáticas. 

Así por ejemplo, la conjetura de Goldbach, planteada en 1742, aún no ha podido ser demostrada ni refutada y lo que esta afirma se expresa en una sencilla frase: “todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”. Hasta una exitosa novela titulada El tío Petros y la conjetura de Goldbach, escrita por el griego Apostolos Doxiadis, publicada en 1992, ha tenido como argumento central este problema. Vale la pena agregar que como una estrategia publicitaria, los editores de esta obra (Bloomsbury en Estados Unidos y Faber y Faber en Reino Unido) anunciaron que se daría un premio de un millón de dólares a cualquiera que consiguiera demostrar la conjetura dentro de los dos años siguientes a su publicación, premio que nunca fue reclamado.

Esta vez quiero compartir con los lectores justamente una de esas bellas historias en torno a los números primos, y quiero empezar por recordar al monje y matemático francés Marin Mersenne (1588-1648) a quien se le conoce hoy principalmente por los llamados «números de Mersenne», obtenidos de la fórmula que arroja números enteros de una unidad menor que una potencia entera positiva de 2, es decir números de la forma:

M_n = 2ⁿ – 1,   n = 1(1)…

o sea 

1, 3, 7, 15, 31, 63, …

Dentro de ese conjunto de números cobran especial interés, como es de esperarse, los que son primos, es decir solo algunos de los antes listados:

3, 7, 31, …

A mediados del siglo XVII, más exactamente en 1644, Mersenne conjeturó que cuando p es un número primo, entonces el correspondiente número de Mersenne M_p  también es primo, lo cual resultó ser falso, como veremos. Pero la conjetura tomó fuerza especialmente animados los matemáticos en el hecho de que ya en 1588 el italiano Pietro Cataldi había demostrado que 

2¹⁹ – 1 = 524287 

es primo, estableciendo un récord para su época.

Los primos de Mersenne y especialmente su conjetura se convirtió en un reto. Había que demostrarla o refutarla. La mayoría de los matemáticos de la época se inclinaba más por su demostración, teniendo en cuenta que el propio Mersenne había afirmado que ya la había comprobado para todos los primos, hasta un primo muy grande, refiriéndose al número primo 67, con lo cual, según sus extensos cálculos aritméticos, el número

M₆₇ = 2⁶⁷ – 1

era un número primo.

Pero a mediados del siglo XIX apareció un brillante matemático francés llamado Édouard Lucas, famoso por haber definido la conocida “Sucesión de Lucas”, denotada por medio de {L_n} y definida en forma recursiva por:

L₁ = 1,   L₂ = 3,  L_n = L_n-1 + L_n-2  si n ≥ 3. 

Los términos de esta sucesión se llaman “números de Lucas”:

1, 3, 4, 7, 11, … 

y al igual que ocurre con la sucesión de Fibonacci, esta sucesión conduce a unas sorprendentes relaciones con el número de oro φ, pero ese es un tema para otro artículo.

Volvamos a Lucas, quien se destacaba por ser además un hábil calculista. Él no confió en los cálculos y afirmaciones que Mersenne había hecho desde hacía más de dos siglos y que ya nadie ponía en duda, y se encargó de demostrar, en 1867, que Mersenne estaba equivocado y que su conjetura era falsa, pues el número M₆₇  no es un número primo como había afirmado Mersenne. Pero Lucas tuvo también un gesto de generosidad para honrar la memoria de Mersenne y se encargó de comprobar que sí hay números primos de Mersenne aún más grandes; fue así como demostró que el número

M₁₂₇ = 2¹²⁷ – 1

es un número primo de Mersenne. Este número, de 39 dígitos, conserva un récord: continúa siendo el mayor primo descubierto mediante cálculos manuales.

Pero la prueba que dio Lucas para afirmar que el número de Mersenne M₆₇  no era primo, como se creía, tampoco había dejado contentos del todo a los matemáticos, pues él lo demostró de manera indirecta, probando que debía tener divisores distintos a 1 y a sí mismo, pero sin encontrarlos y exhibirlos. En este punto vale aclarar que la magia que encierran los números primos también se transmite a los números compuestos, es decir números mayores que 2, que no son primos, porque todos ellos, sin excepción, pueden escribirse como producto de divisores distintos a sí mismos y a 1, y encontrar estos factores resulta un reto adicional para ayudar al encuentro de los factores primos, pues todos esos número naturales compuestos se descomponen en un producto de primos. Así por ejemplo el número compuesto 72 puede escribirse como 72 = 18×4 y finalmente reducirse, en forma única, como producto de solo números primos:

72 = 2×2×2×3×3.

Continuando con la historia del número M₆₇ , no fue hasta el 31 de octubre de 1903 que el matemático Frank Nelson Cole dio por terminada la discusión. En efecto, ese “Día de Brujas” había una reunión de la American Mathematical Society y entre los conferencistas programados estaba Cole. Cuando le tocó su turno, se levantó de su silla y fue caminando hasta el tablero. Sin pronunciar palabra alguna escribió paso a paso, 67 veces, la multiplicación 2 por 2 y luego restó 1, obteniendo el resultado:

M₆₇ = 147 573 952 589 676 412 927. 

Luego, Cole sin borrar pasó al otro lado del tablero y escribió:

193 707 721 × 761 838 257 287, 

y realizó sobre la pizarra los tediosos cálculos. Al completar la multiplicación obtuvo como resultado el mismo número, igual a M_67. Cole volvió a su asiento sin haber pronunciado una palabra durante la presentación de un poco mas de una hora, no hubo preguntas y la audiencia, que sabía que este era un momento histórico, se puso de pie para ofrecerle una larguísima ovación.

Cole admitió más tarde que encontrar esos dos factores le había tomado tres años, incluyendo los días domingo. 

Aun cuando la conjetura de Mersenne fue refutada, hay otros retos, problemas y nuevas conjeturas que se han generado a partir de los números de Mersenne, empezando por su recíproco: si el número de Mersenne M_n  es primo ¿entonces n es primo?

Desde la aparición del computador se han podido calcular nuevos y cada vez más grandes números primos de Mersenne. En 1999 el mayor número primo de Mersenne encontrado era M_6972593, un número que alcanza más de dos millones de dígitos. Hoy en día se usa un software fruto del proyecto Great Internet Mersenne Prime Search  (GIMPS) creado por George Woltman del Instituto Tecnológico de Massachusetts con el cual ha sido posible descubrir el primo 51 de Mersenne en 2018, se trata del número M_82589933 que alcanza una cifra cercana a los 25 millones de dígitos, lo que ocuparía unas 10.000 páginas si intentásemos imprimirlo.

La búsqueda de números primos gigantes no se detiene, parecería un deporte de cazadores de primos compitiendo por conseguir un nuevo récord y es posible que con la computación cuántica y las tecnologías de Inteligencia Artificial se logren descubrimientos de números primos asombrosamente gigantes. 

¿Cuál es su utilidad? Aunque la búsqueda podría ser solo por diversión, sí hay también aplicaciones; menciono solo una, la de su uso en la criptografía RSA (iniciales de los nombres de sus desarrolladores Rivest, Shamir y Adleman), basada en el producto conocido de dos números primos grandes, y que solo puede descifrar quien conoce esos dos factores primos. Este tipo de encriptación, llamada asimétrica o de clave pública, se utiliza para el cifrado en internet y fue la base para lograr el desarrollo de la firma digital.

@MantillaIgnacio