La ecuación más bella de las matemáticas

Sería imposible ponernos de acuerdo sobre quién es el escritor favorito o la escritora más admirada o sobre cuál es el mejor libro que hemos leído. También ocurre lo mismo si intentamos lograr un consenso sobre quién es el mejor cantante o el mejor compositor de música clásica. Igualmente difícil es poner de acuerdo a los matemáticos sobre cuál es el matemático o la matemática más importante de la historia; pero sin duda, si se hiciera una encuesta, en los primeros cinco lugares de la lista de nuestros matemáticos favoritos, figurará Leonhard Euler, el suizo nacido en la ciudad de Bassel (Basilea) en el año 1707.

Euler trabajó la mayor parte de su vida en dos ciudades: San Petesburgo y Berlín. Perdió la visión en un ojo cuando realizaba estudios sobre cartografía y posteriormente, durante sus últimos siete años de vida, estuvo completamente ciego. Euler ha sido el matemático más prolífico de la historia; durante los 25 años de su permanencia en Berlín, la tercera parte de su vida, publicó alrededor de 380 artículos. El ritmo vertiginoso, nunca más visto, al que Euler produjo matemáticas del más alto nivel, no dio tiempo para dar a conocer todos sus trabajos hasta décadas después de su fallecimiento; en efecto, tras su muerte a la edad de 76 años en 1783, las Academias de Berlín y de San Petesburgo siguieron publicando trabajos inéditos de Euler durante los siguientes 50 años. 

Si me dedicara solamente a mencionar algún aporte de Euler a las matemáticas en una columna cada semana, tendría material suficiente para más de 20 años.

Pero si resulta difícil, como decía al comienzo, ponernos de acuerdo sobre un autor, un libro o una composición, en el caso de las matemáticas hay consenso en que la ecuación más bella es la identidad de Euler, que resulta ser una expresión que recoge, como si se tratase de agrupar a grandes estrellas, a cinco números sobre los que también hay consenso, que son de la mayor importancia para las matemáticas, cinco protagonistas insustituibles de las matemáticas, pero que aparentemente no guardan una relación especial. Estos cinco son: primero, el módulo para la suma, la súper estrella: el cero. El segundo es el módulo para el producto, pieza clave de la aritmética, el número 1. Dos famosos irracionales y trascendentes, ambos con sus infinitas cifras decimales: el número π que todos conocemos y que es fundamental en la geometría y el número de Euler e, esencial en el cálculo y el análisis matemático. Y completa este quinteto maravilloso el número imaginario i, definido como la raíz cuadrada de -1, sin el cual no podríamos tener el conjunto de los números complejos, una celebridad del álgebra y de la ingeniería.

Antes de escribir la ecuación más bella que les estoy anunciando, hay que dar un breve contexto que permita admirarla y maravillarse: Euler logró encontrar una fórmula básica para escribir las potencias complejas, relacionando la función exponencial con las funciones trigonométricas conocidas, de tal manera que cualquier número con exponente complejo pudiese escribirse de manera simple como otro complejo. Esto lo logró Euler con una fórmula que permite expresar siempre la parte imaginaria de la función exponencial así:

Como x es real y no complejo, entonces el exponente complejo queda expresado en la forma conocida de un número complejo z = a+ib, pero siendo a = cosx y b = senx.

Y ahora la identidad de Euler: obsérvese que si x = π, como desde el colegio sabemos, gracias a la trigonometría, que cos(π) = -1 y sen(π) = 0, entonces la fórmula (*) se convierte en:

o lo que es lo mismo:

y esta es la famosa identidad de Euler; la más bella ecuación de las matemáticas que reúne esas cinco estrellas que les mencioné antes y las presenta como un solo objeto fantástico y simple a la vez. 

@MantillaIgnacio