Galileo y el problema del duque de Toscana

La fascinación por los juegos de azar, así como el deseo de hacerse rico con un golpe de suerte, han incentivado el estudio de algunas áreas de la matemática y en algunos casos ha motivado la investigación a profundidad para identificar maneras de acertar en las apuestas con una mayor probabilidad o para ganar sobre los demás con base en un mejor conocimiento. 

Contrario a nuestra intuición, abundan las paradojas matemáticas que nos muestran resultados inesperados que no son fruto del azar solamente y cuyo estudio pertenece a la fascinante área de la probabilidad. La famosa frase de Einstein: “Dios no juega a los dados”, puede explicar la razón por la que, ante el asombro por algunas respuestas insospechadas, queremos descubrir alguna razón lógica que las aclare y que reafirme la existencia de un gobierno universal regido por leyes naturales que no pueden ser incumplidas.

Como se ha podido documentar, el dado es un invento milenario; en efecto, un antiguo dado persa, descubierto en una excavación arqueológica en la antigua ciudad de Shahr-i Sokhta (ciudad quemada), ubicada al sudeste de Irán, tallado hace más de 5000 años en el hueso de un pie de un animal, así lo confirma. 

El juego de los dados fue uno de los más populares de la Edad Media y la fascinación por su práctica se extendió por varios siglos más. A mediados del siglo XVI atraía la atención de quienes gustaban de los juegos de azar en Italia y a esta atracción no escapaban los nobles. Fue así como en el año de 1560 el duque de La Toscana, de quien se dice que era un jugador empedernido, le consultó al célebre matemático Gerolamo Cardano (1501-1576) un problema sobre el juego con tres dados. Cardano  estudió el problema y lo incluyó en su obra titulada Liber de ludo aleae (Libro de los juegos de azar), considerado como el primer tratado de probabilidad. Pero la obra de Cardano solo fue publicada por primera vez en 1663, un siglo después de su redacción.

Galileo Galilei (1564-1642), quien no conoció la obra de Cardano, se interesó en este problema 50 años después de haberlo planteado el duque de Toscana y lo resolvió dando una respuesta convincente que puso fin a la discusión que generaba y despejando toda duda.

El problema, hoy conocido también como “la paradoja de los tres dados”, es el siguiente: el duque de Toscana había observado que en el juego, en el que se lanzaban tres dados y se sumaban los puntos, el resultado 10 aparecía más veces que el 9, lo que a él le parecía absurdo pues ambos números pueden obtenerse de seis formas posibles solamente y en tal caso los dos resultados deberían ser igualmente probables de obtener. En efecto, el duque tenía razón en que hay seis formas de obtener el 9 o el 10 con tres dados:

9 = 1 + 2 + 6       10 = 1 + 3 + 6 

9 = 1 + 3 + 5       10 = 1 + 4 + 5

9 = 1 + 4 + 4       10 = 2 + 2 + 6

9 = 2 + 2 + 5       10 = 2 + 3 + 5

9 = 2 + 3 + 4       10 = 2 + 4 + 4

9 = 3 + 3 + 3       10 = 3 + 3 + 4,

entonces, ¿cuál es la explicación de ese resultado paradójico?

A Galileo se le ocurrió una idea que es genial, como son las soluciones que nos parecen simples, cuando las conocemos; observó que había que tener en cuenta el resultado de cada dado y no solo los números requeridos en la suma, es decir, que, por ejemplo, la tripla (2,1,6), que indica que en el primer dado salió 2, en el segundo 1 y en el tercero 6, se puede producir también en la forma (1,2,6), con 1 en el primer dado, 2 en el segundo y de nuevo 6 en el tercero. Teniendo en cuenta esta observación, la misma tripla de números que suman 9 o 10 puede aparecer ordenada de diferentes formas; así por ejemplo, para la tripla antes indicada tenemos estas posibilidades:

(1,2,6), (1,6,2), (2,1,6), (2,6,1), (6,1,2), (6,2,1).

Si hacemos lo mismo para cada tripla de números que suman 9 o 10, las diferentes formas en las que se puede ordenar cada tripla son las siguiente, indicadas entre paréntesis:

9 = 1 + 2 + 6   (6)       10 = 1 + 3 + 6   (6)

9 = 1 + 3 + 5   (6)       10 = 1 + 4 + 5   (6)

9 = 1 + 4 + 4   (3)       10 = 2 +2 + 6    (3)

9 = 2 + 2 + 5   (3)       10 = 2 + 3 + 5   (6)

9 = 2 + 3 + 4   (6)       10 = 2 + 4 + 4   (3)

9 = 3 + 3 + 3   (1)       10 = 3 + 3 + 4   (3).

Las cuentas que realizó Galileo son esas exactamente, mostrando que el 9 podía aparecer en el lanzamiento de tres dados de 25 formas posibles y el 10 en cambio, de 27 formas posibles, con lo cual quedaba resuelta la duda y explicada la razón por la cual es más probable obtener 10 puntos que obtener 9 puntos al lanzar tres dados.

En realidad el error del duque de Toscana y la creencia generalizada que conducía al mismo error, era pensar que los dados lanzados eran objetos iguales e indistinguibles. Galileo cambió esa hipótesis y con esa sencilla, pero no evidente observación, separando luego los casos favorables a cada suma, hizo un aporte de vital importancia para el estudio de posibles eventos o sucesos equiprobables.

Como se puede concluir, los secretos que esconden las matemáticas de los juegos de azar también, como los juegos mismos, no solo nos entretienen sino que además nos enriquecen, especialmente con curiosidades y conocimientos.  

@MantillaIgnacio