Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

Fórmulas que no se enseñan: un ejemplo

Hay quienes afirman que la primera universidad en el mundo fue la famosa Biblioteca de Alejandría, pues allí se desarrollaban actividades docentes, se hacía investigación, se publicaban resultados, se conservaban manuscritos y se hacía difusión de la cultura y del conocimiento. Uno de los personajes que contribuyó al esplendor de la Biblioteca con sus escritos y apuntes de clase para cursos de matemáticas y física fue Herón de Alejandría, quien vivió en el siglo I y era reconocido también como un gran ingeniero, experimentador e inventor. Aunque gran parte de su obra se ha perdido, algunos manuscritos pudieron conservarse como parte de los documentos del Imperio Romano de Oriente. 

En matemáticas no se le recuerda especialmente y si no fuese por una muy útil fórmula para calcular el área de un triángulo, conociendo solo las longitudes de sus lados, tal vez estaría olvidado. La denominada “Fórmula de Herón” y su demostración aparece en el libro Métrica, escrito por Herón en el año 60 d. C. Por tratarse de una colección de resultados matemáticos que eran conocidos en el mundo antiguo, se cree que dos siglos antes ya Arquímedes conocía esta fórmula.

La fórmula de Herón, sin embargo, pertenece a ese grupo de resultados, que por alguna extraña razón no siempre se enseñan en los cursos básicos y por lo tanto permanecen ocultos, como sucede con grandes voces de cantantes sin suerte que no triunfan.

Comúnmente, para calcular el área de un triángulo, solo se aprende que ésta es la mitad del producto de su base por su altura, resultando a veces engorroso de aplicar por la dificultad para encontrar la longitud de la altura.

La fórmula de Herón es la siguiente: el área de un triángulo cualquiera que tenga lados de longitudes a, b y c es:

donde s es el semiperímetro del triángulo,

No siempre los triángulos son tan inofensivos como el clásico ejemplo del triángulo rectángulo pitagórico de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm, cuya área es igual a 6 cm² y se calcula fácilmente.

Más frecuentemente nos encontramos con algunos como el que indica la siguiente figura:

y calcular su área con la fórmula de Herón es sencillo. En efecto:

La fórmula de Herón se puede expresar a través de una ingeniosa y sorprendente expresión que usa la raíz cuadrada, el valor absoluto y el determinante de una matriz de orden 4, con elementos 0, 1 y los cuadrados de los lados del triángulo; esa bella forma es la siguiente:

Por tratarse de una matriz simétrica cuya diagonal principal solo tiene ceros, el cálculo de este determinante no es una tarea difícil de realizar.

La fórmula de Herón también fue generalizada a comienzos del siglo XVI por el matemático italiano Niccolò Fontana (apodado Tartaglia a causa de su tartamudez) para calcular el volumen de un tetraedro en función de las longitudes de sus lados.

@MantillaIgnacio

 

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