El problema del recorrido del caballo sobre el tablero del ajedrez

En mi anterior artículo titulado «Retos fantásticos de ajedrez y matemáticas» les compartí el bello problema de la ocho damas (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/retos-fantasticos-de-ajedrez-y-matematicas/) como ejemplo del inimaginable alcance que puede llegar a tener en el desarrollo de los algoritmos y la computación, un reto que mezcla ajedrez y matemáticas. Ahora quiero compartirles otro bonito problema.

El problema del caballo de ajedrez

El problema conocido como «problema del caballo de ajedrez» bien podría clasificarse dentro del grupo de los rompecabezas más apasionantes de ingenio matemático en el ajedrez. Consiste en recorrer todos los 64 cuadros del tablero, pasando solo una vez por cada uno de ellos, con un caballo, respetando las reglas del juego, es decir haciendo que el caballo solo se mueva en forma de “L”. 

Este problema es muy antiguo. Harold Murray, en su libro sobre historia del ajedrez publicado en 1913, cita a los grandes ajedrecistas árabes Al-Adli (hacia el año 840) y Al-Suli (hacia el 910), como autores de manuscitos en los que se presentan recorridos cerrados del caballo en el tablero de ajedrez.

Se han encontrado muchas soluciones a este problema, pero el primero en realizar un análisis matemático riguroso del juego fue el gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien presentó en 1759, ante la Academia de Ciencias de Berlín el artículo titulado «Solución a una cuestión ingeniosa que parece que no ha sido analizada» (Memoria de la Academia de Ciencias de Berlín, 1759) y en sus propias palabras empieza diciendo que: 

“Un día me encontraba en una reunión en la que, con ocasión del juego del ajedrez, alguien propuso la cuestión de recorrer con un caballo todas las casillas de un tablero sin pasar nunca dos veces por la misma y empezando en una casilla dada. Se colocaban fichas, para este fin, en las sesenta y cuatro casillas del tablero, salvo en la que el caballo debía comenzar su ruta, y de cada casilla por la que pasaba el caballo, conforme a su camino, se retiraba la ficha, de manera que se trataba de retirar de esta forma todas las fichas sucesivamente. Había que evitar, pues, por un lado, que el caballo pasara por una casilla vacía y, por otro lado, había que dirigir su camino de suerte que recorriera finalmente todas las casillas”.

Tratándose de Euler, no podía esperarse cualquier solución a este interesante reto. En efecto, Euler decidió dar a conocer una solución, comenzando por la primera casilla de la primera fila y numeró los cuadros en el orden en que se debe desplazar el caballo por todo el tablero, desde 1 hasta 64, como lo indica la figura.

Como se observa, Euler no se limitó a dar una solución cualquiera al problema propuesto, también logró que la solución encontrada fuera un cuadrado mágico: en efecto, cada una de sus filas y cada una de sus columnas suma 260. Y su genialidad agregó otra curiosidad: cada uno de los cuatro subcuadrados (indicados con distinto color en la figura) es un cuadrado mágico cuyas filas y columnas suman la mitad del grande: 130.

Para quienes tengan mayor interés o deseen conocer un análisis matemático del problema del recorrido del caballo sobre un tablero de ajedrez, pueden descubrir cómo este reto se puede plantear formalmente como un problema dentro de la teoría de grafos, como bien se explica en el libro de Raúl Ibáñez, «Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos. El mundo es matemático, RBA, 2015».

Pero para el entretenimiento de los lectores, basta con intentarlo eligiendo cualquier casilla para comenzar.

@MantillaIgnacio