El problema del ganado de Arquímedes

“Amigo, si has heredado la sabiduría, calcula cuidadosamente a qué número ascendía la multitud de las reses del sol que en otro tiempo pastaban en las llanuras de Trinacria, divididos en cuatro manadas de distinto pelaje: una, de color blanco como la leche, otra de negro lustroso, una tercera oscura, la cuarta manchada…”. 

Así comienza un poema que contiene un interesante problema conocido como «El problema del ganado de Arquimedes», que fue descubierto en 1773 por el poeta Gotthold Ephraim Lessing (1729-1781). Lessing publicó un epigrama griego que había editado a partir de un manuscrito árabe, así como una falsa solución del problema y un análisis del mismo.

El problema, propuesto originalmente por Arquímedes en el siglo III a. C., en forma de epigrama y enviado en una carta a Eratóstenes de Cirene “para que fuera resuelto por quienes en Alejandría se ocupaban de estas materias”, tiene diferentes traducciones y usaré una traducción al español de la que fue publicada en inglés por Thomas I. en  Greek Mathematical Works, Vol. 2, Loeb Classical Library, Harvard, University Press, Cambridge, MA, (1980), 203-–206.

Pero antes de ir con el el problema del ganado, hay que decir que en 1880 el matemático alemán B. Krumbiegel cuestionó que Arquímedes fuese realmente el autor del poema, lo cual ocasionó una controversia con el título del problema, que aún persiste. Si bien es cierto que Arquímedes es quien planteó el problema matemático en sí, caben dudas de su autoría del poema. Pero es posible que la formulación bovina que hizo Arquímedes haya surgido de pasajes conocidos del Canto XII de La Odisea de Homero, el primero de los cuales dice:

“Tuerce el rumbo después de la isla fértil de Trinacria 

donde pastan las vacas del Sol y sus gruesas ovejas,

siete hatos de ovejas y siete manadas de vacas,

de cincuenta por grey,…”

La traducción anunciada del problema es como sigue:

“El dios sol tenía un rebaño formado por un cierto número de toros blancos, negros, manchados y amarillos, así como vacas de los mismos colores. De tal forma que el número de toros blancos es la mitad más la tercera parte de los negros más los amarillos. El número de toros negros es igual a la cuarta más la quinta parte de los manchados más los amarillos. El número de toros manchados es igual a la sexta más la séptima parte de los blancos más los amarillos. El número de vacas blancas es igual a un tercio más un cuarto de la suma de los toros negros y las vacas negras. El número de vacas negras es igual a la cuarta parte más la quinta parte de la suma de los toros manchados más las vacas manchadas. El número de vacas manchadas es igual a la quinta más la sexta parte de la suma de los toros amarillos más las vacas amarillas. El número de vacas amarillas es igual a la sexta más la séptima parte de la suma de los toros blancos más las vacas blancas. La suma de los toros blancos y negros es un número cuadrado y la suma de los toros manchados y amarillos es un número triangular. ¿Cómo estaba compuesto el rebaño?”

El problema debe dividirse en dos parte; la primera corresponde a las 12 primeras líneas del texto y la segunda, la más difícil, a las dos últimas condiciones:

• La suma de los toros blancos y negros es un número cuadrado.
• La suma de los toros manchados y amarillos es un número triangular.

Para quienes no lo saben, los números triangulares son los que se obtienen, como lo indica la figura, sumando los naturales consecutivos:

Resolvamos la primera parte siguiendo el texto. Para tal fin, vamos a llamar X, Y, Z, T el número de toros blancos, negros, manchados y amarillos respectivamente y con letras minúsculas x, y, z, t el número de vacas del mismo color. Entonces el planteamiento lleva a siete indicaciones como sigue:

1. El número de toros blancos es la mitad más la tercera parte de los negros más los amarillos.
2. El número de toros negros es igual a la cuarta más la quinta parte de los manchados más los amarillos. 
3. El número de toros manchados es igual a la sexta más la séptima parte de los blancos más los amarillos.
4. El número de vacas blancas es igual a un tercio más un cuarto de la suma de los toros negros y las vacas negras. 
5. El número de vacas negras es igual a la cuarta parte más la quinta parte de la suma de los toros manchados más las vacas moteadas. 
6. El número de vacas manchadas es igual a la quinta más la sexta parte de la suma de los toros amarillos más las vacas amarillas. 
7. El número de vacas amarillas es igual a la sexta más la séptima parte de la suma de los toros blancos más las vacas blancas.

Esto traducido al lenguaje matemático no es otra cosa que:

Aquí tenemos un sistema de 7 ecuaciones con 8 incógnitas, que al resolverlo nos da infinitas soluciones de la forma:

donde m es un parámetro que toma cualquier valor entero positivo. 

Puesto que buscamos soluciones enteras porque las variables representan cantidad de reses, debemos ahora buscar entonces el mínimo común múltiplo entre los denominadores de la solución; es decir entre 

1813071, 604357 y 5439213.

Como el último es múltiplo de los otros dos: 

5439213 = (3)(1813071) = (9)(604357),

la solución entera es:

(X, Y, Z, T, x, y, z, t) = 

m · (10366482, 7460514, 7358060, 4149387, 7206360, 4893246, 3515820, 5439213).

Si tomamos m=1 por ejemplo, tenemos una solución (la mínima) que nos permite responder que el rebaño estaba compuesto por:

10.366.482 toros blancos,

7.460.514 toros negros,

7.358.060 toros manchados,

4.149.387 toros amarillos,

7.206.360 vacas blancas,

4.893.246 vacas negras,

3.515.820 vacas manchadas y 

5.439.213 vacas amarillas.

Bastante grandes debían ser entonces los potreros de la isla de Trinacria para albergar a tantas reses que en total sumarían más de 50 millones de cabezas de ganado, exactamente 50.389.082; y esa es la más pequeña de las soluciones de la primera parte.

Para abordar la segunda parte del problema hay que considerar que X+Y es un cuadrado y que Z+T es un número triangular. La solución es muy difícil de hallar y habría que publicar otro artículo introduciendo el estudio de ecuaciones diofánticas y en especial las llamadas “Ecuaciones de Pell”, lo que escapa al objetivo divulgativo de este artículo. No obstante, vale la pena saber que el primero en encontrar una solución fue A. Amthor en 1880. Después de Amthor, en 1895, y tras cuatro años de arduo trabajo, A. H. Bell con colaboración de otros miembros del Club de Matemáticas “Hillsboro” de Illinois, publicó 30 de las primeras cifras y 12 de las últimas de cada una de las ocho incógnitas; es decir, de los números de toros y vacas distribuidas en los ocho grupos correspondientes del rebaño. 

Lo cierto es que el número total de cabezas de ganado debe ser como mínimo:

7,76027140648681826953023283321388666423232240592337610315062 × 10²⁰⁶⁵⁴⁴

En 1965, con ayuda de un computador IBM 7040, se calculó por primera vez el número completo de esa solución mínima y se determinó que tenía 206545 cifras. Este cálculo fue corroborado por Harry Nelson en 1981, usando un computador Cray 1; Nelson publicó la solución impresa de ese número de 206545 dígitos y calculó cuatro soluciones más. Para tener una idea del tamaño de este número pensemos que necesitaríamos unas 100 páginas tamaño carta para imprimir todas sus cifras en papel. No habría espacio suficiente en el planeta para acomodar tantos toros y tantas vacas.

Es evidente que en el siglo III a. C. no hubiese sido posible resolver el problema del ganado y parece confirmarse, por la dificultad que encierra, que el verdadero destinatario de semejante reto era Apolonio, con quien Arquímedes tenía continuos desencuentros.

Actualmente un problema como este puede resolverse en un computador personal construyendo y programando el algoritmo correspondiente, una excelente tarea, como ejercicio de programación. 

@MantillaIgnacio