El juego de los 100 estudiantes

Algunos problemas de matemáticas ilustran resultados, otros aclaran conceptos, también los hay para aplicar leyes o para ejercitarse en el manejo de los cálculos. Los ejercicios que aparecen en los textos de matemáticas cumplen el propósito de afianzar el aprendizaje de lo desarrollado en cada capítulo; porque en general, para aprender matemáticas no basta con ver en un tablero o en una pantalla a los profesores resolviendo los problemas; sería como pretender desarrollar los músculos viendo hacer gimnasia. 

Cada problema de matemáticas es un reto y algunos de los más difíciles, con nombre propio, se han hecho famosos y también han dado fama a quienes los han resuelto; tal es el caso de esas conjeturas que después de varios siglos finalmente alguien logra demostrar, como “El Último Teorema de Fermat”, o de aquellos que sorprenden por la solución misma, como “El Problema de Basilea” que un siglo después de haber sido propuesto pudo resolverse, pero cuya solución no solamente indica que la suma infinita de todos los inversos de los cuadrados de los números naturales es convergente, sino que además, ingeniosamente, Leonhard Euler demostró que es igual a π²/6. Es una repuesta absolutamente sorprendente e inesperada, con la presencia del número irracional π como resultado de la suma infinita de números racionales.

(ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/euler-problema-basilea/).

El problema que les quiero presentar no es tan difícil como los mencionados arriba, pero pertenece también a ese grupo de acertijos y retos cuya solución es inesperada, sorprendente y bellísima, razón por la que vale la pena compartirlo.

El problema 

Supongamos que en un auditorio hay reunidos 100 estudiantes que reciben el saludo de bienvenida a la Facultad de Matemáticas de la Universidad. Después de un clásico discurso para la recepción de los nuevos estudiantes y de algunas indicaciones generales sobre la Facultad, el decano les anuncia que van a seleccionar al grupo de estudiantes que ganarán un bono de alimentación para el restaurante universitario, durante todo el semestre, pero que en lugar de hacerlo a través de un tradicional juego de azar como una rifa, un sorteo o una tómbola, va a proponer un juego matemático que les dejará una enseñanza de la Teoría de Números.

El decano pide a todos los estudiantes que de acuerdo con el orden que ocupan en el recinto se numeren; así que el primero se pone de pie, dice en voz alta “uno” y vuelve a sentarse, su compañero vecino hace lo mismo, se pone de pie, dice en voz alta “dos” y se sienta; y así sucesivamente hasta el último, de tal manera que cada uno de los estudiantes presentes tiene asignado un número de 1 a 100. Enseguida el decano procede a explicar en qué consiste el juego que conducirá a la selección anunciada de los ganadores del bono para el restaurante. 

Todos los estudiantes, desde el primero hasta el último, deberán ahora anunciar su número asignado en orden, desde el 1 hasta el 100 y esperar la reacción que produce en sus compañeros la siguiente regla: cuando el estudiante en turno con el número N asignado se anuncie, todos los estudiantes que tengan asignado un número que sea múltiplo de N, deberán cambiar su estado; eso significa ponerse de pie si está sentado o tomar asiento si está de pie. Los estudiantes que al final del juego queden de pie serán los ganadores.

El procedimiento

Puesto que todo número es múltiplo de sí mismo, quien anuncie en voz alta su número asignado, deberá cambiar su estado. Como al comienzo todos están sentados (en estado S), el primer estudiante, el número 1, empezará poniéndose de pie (en estado P) cuando dice en voz alta “uno”. Y como todos los números de 1 a 100 son múltiplos de 1, todos los demás estudiantes deberán ponerse de pie. Si observamos la primera fila del auditorio y suponemos que ésta tiene diez sillas, todos estarán al frente, de pie, o sea que al anunciar el número 1, la primera fila se verá así:

UNO:  P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) P(7) P(8) P(9) P(10).

El siguiente estudiante dice en voz alta “dos”, y tanto él como todos los demás múltiplos de 2, o sea los números pares, cambian de estado, es decir que se sientan. Así que la primera fila del auditorio, con diez sillas, se ve ahora así:

DOS:  P(1) S(2) P(3) S(4) P(5) S(6) P(7) S(8) P(9) S(10).

A continuación viene el anuncio de “tres”, que consigue que todos los múltiplos de 3 cambian de estado; así por ejemplo, en las diez sillas de la primera fila se presentan cambios en los estados de los estudiantes 3, 6 y 9 solamente y ahora la primera fila luce así:

TRES:  P(1) S(2) S(3) S(4) P(5) P(6) P(7) S(8) S(9) S(10).

Tras el anuncio del “cuatro” la primera fila solo cambia el 4 y el 8 y se ve así:

CUATRO:  P(1) S(2) S(3) P(4) P(5) P(6) P(7) P(8) S(9) S(10).

Y con el “cinco” cambia el 5 y el 10:

CINCO:  P(1) S(2) S(3) P(4) S(5) P(6) P(7) P(8) S(9) P(10).

Continuando así, tenemos:

SEIS:  P(1) S(2) S(3) P(4) S(5) S(6) P(7) P(8) S(9) P(10)

SIETE:  P(1) S(2) S(3) P(4) S(5) S(6) S(7) P(8) S(9) P(10)

OCHO:  P(1) S(2) S(3) P(4) S(5) S(6) S(7) S(8) S(9) P(10)

NUEVE:  P(1) S(2) S(3) P(4) S(5) S(6) S(7) S(8) P(9) P(10) 

DIEZ:  P(1) S(2) S(3) P(4) S(5) S(6) S(7) S(8) P(9) S(10).

El resultado del anuncio de los diez primeros números deja en la primera fila, que ya no podrá cambiar, a solo tres estudiantes de pie: 1, 4, 9.  

La solución

Hasta ahora solo podemos afirmar que de la primera fila han resultado tres ganadores. ¿Qué pasa en la segunda fila, si también tiene 10 sillas? Es fácil verificar que después de anunciarse los primeros 20 estudiantes, el único estudiante que está de pie en esa fila es el que tiene el número 16.

Los lectores pueden ya inferir cuáles son todos los que quedan de pie en el auditorio al finalizar el juego; sí en efecto solo son los siguientes 10 estudiantes: 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

que corresponden a los que tienen asignados cuadrados perfectos. ¿No es bellísima esta solución numérica?

El problema puede extenderse a 1000 o más estudiantes y ya sabemos que solo los cuadrados perfectos permanecerán de pie al finalizar el juego.

La explicación

Obsérvese que el estudiante 1 sólo tuvo un cambio de estado: estaba sentado y se puso de pie cuando dijo “uno”, luego estuvo siempre de pie. Para los demás, los cambios de estado son como sigue:

Estudiante 1: P(1) …                                       Total 1

Estudiante 2: P(1) S(2)  …                             Total 2

Estudiante 3: P(1) S(3) …                              Total 2

Estudiante 4: P(1) S(2) P(4) …                      Total 3

Estudiante 5: P(1) S(5) …                               Total 2

y así sucesivamente. Por ejemplo

Estudiante 8: P(1) S(2) P(4) S(8) …             Total 4

Estudiante 9: P(1) S/3) P(9) …                      Total 3 

veamos dos más:

Estudiante 15: P(1) S(3) P(5) S(15) …           Total 4

Estudiante 16: P(1) S(2) P(4) S(8) P(16) …  Total 5

Seguramente ya los lectores han descubierto cómo los cambios de estado dependen de cuántos divisores tiene el número correspondiente; así por ejemplo 15 tiene cuatro divisores y 16 tiene 5 divisores, que son los que influyen para que haya un total de 4 y de 5 cambios de estado respectivamente. Pero en esa lista de totales hay algo más indicado que es sorprendente: solo los cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, … tienen un número impar de divisores, por lo que también tienen un número impar de cambios de estado, y eso explica por qué terminan de pie los estudiantes con esos números.

Conclusiones

Este bello problema, que puede presentarse con 100 lamparas, 100 ventanas, 100 puertas (así puede consultarse en www.gaussianos.com donde aparece con una excelente demostración matemática), 100 soldados, etc. revela una proposición matemática de la teoría de números: sólo los cuadrados prefectos tienen un número impar de divisores.

Quienes deseen profundizar en esas matemáticas que están detrás de esta solución, pueden demostrar que en efecto, si existe un número natural m tal que n = m², entonces n tiene un número impar de divisores.

Espero haberles deleitado con este bonito problema.

@MantillaIgnacio