Dos astutos prisioneros

Existen muchos acertijos que se presentan como retos de lógica matemática y que nos deleitan a todos gracias a su ingeniosa formulación. Dentro de estos hay una amplia gama de acertijos protagonizados por prisioneros en los que se nos pide descubrir cómo podrían los condenados lograr su libertad haciendo la pregunta correcta o usando métodos insospechados de razonamiento lógico para burlar a los carceleros o para dar con la llave de su celda. Algunos ejemplos de este tipo de retos he publicado en este mismo espacio hace algún tiempo (ver por ejemplo https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/la-libertad-la-hoguera). 

Hay un acertijo en particular, similar a los antes mencionados, que es uno de mis favoritos y que quiero presentarle a los lectores. Aun cuando el problema que voy a compartirles a continuación es sobre prisioneros, no pertenece propiamente a ese mismo grupo de acertijos lógicos ingeniosos, pues se resuelve, como veremos, sin conocimientos matemáticos especiales y solo se necesita del sentido común para dar con su solución.

El divertido problema al que me refiero es el siguiente:

Mientras tomaba su desayuno dominical, el rey Enrique II fue informado de que por fin habían sido capturados dos peligrosos bandidos, enemigos del reino, que hacía varios meses venían atemorizando a todos. Los capturados, llamados Plinio y Flavio, fueron sorprendidos por su guardia personal en cercanías del palacio real al amanecer, cuando intentaban huir en un carruaje real. 

Por orden del rey, Plinio y Flavio fueron separados y puestos tras las rejas de dos celdas que están ubicadas en torres diferentes del castillo. Desde cada una de las celdas puede observarse, a través de una pequeña ventana, una parte del jardín que separa las torres, pero los prisioneros no pueden tener comunicación alguna entre ellos. 

En el jardín hay 20 árboles altos y Plinio puede ver 12 árboles desde su celda, mientras que Flavio solo alcanza a divisar 8 árboles.

Ese detalle lo había observado el rey desde cuando planeó lo que haría cuando tuviese a sus enemigos tras las rejas; y como buen jugador e ingenioso que es, el rey había diseñado desde antes una estrategia para mostrarse bondadoso ante sus súbditos, ofreciendo a los condenados una oportunidad de conseguir su libertad.

El reto que reveló el rey es el siguiente: Plinio y Flavio serán conducidos a la horca, instalada en la plaza central, dentro de ocho días, con el fin de que puedan asistir muchas familias a presenciar la ejecución; sin embargo, los condenados podrán quedar libres antes si logran adivinar cuántos árboles hay en el jardín que separa las torres donde están sus celdas.

La estrategia del rey se basa en esas observaciones que él mismo ha realizado durante las últimas semanas y consiste en informar a los condenados que todos los árboles del jardín que los separan pueden ser vistos entre los dos desde sus respectivas celdas, pero que ninguno de los árboles es visto por ambos. Los prisioneros quedarán libres si adivinan cuántos árboles hay en el jardín, y para hacer más fácil la tarea se les da una importante pista adicional: los árboles del jardín son en total 18 o 20.

A los prisioneros se les informa que al día siguiente (lunes) un guardián preguntará a las 8 de la mañana a Plinio: “¿Hay 18 o 20 árboles en el jardín? Si Plinio responde correctamente, él y Flavio serán liberados inmediatamente. Si su respuesta es incorrecta ambos serán ejecutados como está previsto, el próximo domingo. Pero Plinio puede optar por no responder, en cuyo caso el guardián hará la misma pregunta a Flavio y su respuesta tendrá las mismas consecuencias. Si Flavio no responde, el día martes a las 8 de la mañana nuevamente se repetirá la pregunta a Plinio y así se repetirá el proceso, de ser necesario, hasta el próximo sábado por última vez.

¿Podrán Plinio y Flavio conseguir su libertad sin acudir al azar, antes del próximo domingo de su ejecución?

Pensemos un momento la respuesta…

La historia cuenta que Plinio y Flavio quedaron libres el día viernes. El rey, sorprendido y muy enojado los invitó a palacio y les pidió que le explicaran cómo lo lograron. Y esto fue lo que declaró Plinio:

Cada acción de uno de nosotros, como no responder, se convirtió en información muy valiosa para el otro. Cada día se usó esa información de la siguiente manera:

Lunes: si yo Plinio hubiese podido ver 19 o 20 árboles, habría sabido inmediatamente que eran 20 en total, pero como solamente veía 12, callé y no me arriesgué con ninguna respuesta. Cuando el guardián le preguntó a Flavio, él pudo deducir que yo Plinio veía como mucho 18 árboles, pues de lo contrario yo habría podido responder acertadamente. Ahora bien, si Flavio no hubiese podido ver ningún árbol o hubiese visto solo uno, habría concluido que son 18 los árboles porque sería entonces imposible que fuesen 20 si yo solo veía a lo sumo 18; pero Flavio veía 8 árboles, así que decidió no responder, pues no tenía certeza sobre el número total de árboles.

 Martes: cuando el carcelero llegó puntual a las 8 de la mañana, yo inmediatamente supe que Flavio no respondió el día anterior, por lo tanto él debió ver al menos 2 árboles, en otro caso, habría respondido correctamente. Ahora bien, si yo hubiese visto 17 o 18 árboles, habría sabido inmediatamente que hay 20 porque ya sabía que Flavio veía al menos 2 árboles. Mi silencio indicó a Flavio que yo veía como mucho 16 árboles, pues de lo contrario habría acertado la respuesta. Nuevamente, si Flavio hubiese visto 2 o 3 árboles, habría concluido que hay 18 puesto que sería imposible que hubiese 20, pero veía 8, así que Flavio tampoco se arriesgó con una respuesta y también calló. 

Miércoles: en esta jornada ya cada uno de nosotros tenía más información, yo sabía que Flavio veía al menos 4 árboles. Y si yo hubiese podido ver 15 o 16, habría sabido inmediatamente entonces que son 20; como solo veía 12, pasé nuevamente. Mi decisión de callar le indicó a Flavio que yo veía como mucho 14, pues de lo contrario habría acertado la respuesta. Ahora bien, Flavio también calló pues el veía 8, si hubiese visto solo 4 o 5 habría concluido que hay 18.

Jueves: el silencio de Flavio el día anterior me indicó que Flavio veía al menos 6 árboles, si fuesen menos habría respondido, como ya se indicó. Entonces, si yo hubiese podido ver 13 o 14 habría sabido inmediatamente que tienen que ser 20, pero solo veía 12, así que decidí callar y no responder. Mi silencio le dio la información a Flavio de que yo debía ver 12 a lo sumo, de lo contrario habría respondido correctamente, y si Flavio pudiese ver solo 6 o 7 habría concluido que son 18, pero él veía 8 y yo debía ver 12 o menos, así que prefirió pasar sin responder.

Viernes: Flavio, con su silencio del jueves me dio la clave: él veía 8 árboles como mínimo, pero como yo veía 12, la respuesta, con toda seguridad es 20 árboles. Y así fue como logramos quedar libres.

Con la respuesta de Plinio, el mismo día viernes quedaron libres Plinio y Flavio; desde ese día el rey pasó a llamarse “Enrique el ingenuo”.

@MantillaIgnacio