¿Cuánta suerte se necesita para ganar el Baloto?

Como si se tratara de un evento deportivo más, las elecciones presidenciales en Estados Unidos han impuesto un nuevo récord en apuestas. Pero esto no debe sorprendernos, los juegos de azar y las apuestas han entretenido a todas las generaciones; hasta los guardias romanos encargados de vigilar a Jesús se jugaron sus ropas apostando a los dados. 

Las apuestas siempre han prosperado, incluso desde la clandestinidad cuando han sido prohibidas. También es cierto que con ellas muchas personas se han enriquecido y muchas otras se han arruinado, y parece ser que la combinación de suerte y estrategia es la fórmula que han empleado las primeras siempre.

Uno de los juegos más populares en el mundo es la lotería, cuya invención se le atribuye al banquero milanés Cristóbal Tavera en el siglo XV. En la actualidad, derivadas de las tradicionales loterías, se han popularizado otras variantes que han introducido cambios en sus reglas con el fin de atraer a más apostadores, acudiendo principalmente a la estrategia de ofrecer muchos premios adicionales al mayor. Pero en ocasiones los administradores de tales loterías también han sido víctimas de su propio invento, como es el conocido caso de la lotería “WinFall” del estado de Michigan (USA), una lotería similar al Baloto, pero diseñada para entregar el mayor premio a quienes acierten 6 números de 49 y muchos otros premios para los aciertos de 5, 4 o 3 números. Esta lotería, hace 20 años, con el ánimo de atraer a los apostadores con tentadores premios, no observó que dejaba una enorme grieta, que fue descubierta por el matemático jubilado Jerry Selbee, quien logró ganar unos 27 millones de dólares recurriendo a una simple estrategia numérica; esta historia está contada en una película bajo el título de “Jerry & Marge Go Large”.

En Colombia el popular Baloto, en 23 años, ha caído 121 veces, lo que muestra que sí es posible ganarlo; pero ¿cuál es la probabilidad de acertar? Las actuales reglas, introducidas en 2017, indican que se necesita acertar 5 números de 43 y uno más entre 16 que se denomina “superbalota”. Esta modificación ha conseguido que la frecuencia con la que cae el Baloto disminuya; en efecto, mientras que entre los años 2014 y 2016 cayó cerca de 30 veces, entre 2018 y 2020 solo cayó 6 veces. 

Veamos cuál es la probabilidad de ganar el Baloto con las actuales reglas: para el primer número elegido nos resultarán favorables 5 casos de los 43 posibles, es decir 5/43. En la segunda elección, al haber extraído ya un número, quedan 42 posibles, y de esos, solo 4 serán favorables, es decir 4/42 y así sucesivamente hasta llegar a la quinta elección. Entonces la probabilidad de acertar los cinco números elegidos entre los 43 posibles será de:

esto quiere decir que hay 962.598 listas posibles, pero sólo hay una lista favorable con los 5 números.

Antes de continuar y encontrar la probabilidad de ganar el Baloto, aclaro que el cálculo anterior es en realidad la regla de Laplace. En matemáticas se enseña que para conocer de cuántas formas podemos escoger 5 elementos distintos, de 43 posibles, basta calcular:

Ahora examinemos la segunda parte de las condiciones del Baloto: hay que acertar la “superbalota”, que es un número de 1 a 16; así que debemos multiplicar:

y obtenemos que la probabilidad de ganar el Baloto es de 1 entre más de 15 millones.

Para tener una mejor estimación de lo que significa esta cifra, pensemos que es cercana al número de habitantes de Bogotá, Medellín y Cali; podemos imaginar entonces que el ganador del Baloto será quien tenga la suerte de ser seleccionado al azar de una lista en la que están todos los habitantes de estas tres ciudades. Con esa cifra (15.401.568) podríamos formar una larga fila continua, de 1300 kilómetros de longitud, uniendo tarjetas de crédito; en ese caso, ganar el baloto significa escoger una de esas tarjetas al azar y que resulte ser la propia.

Pero el Baloto tiene otras reglas para otorgar premios menores que bien vale la pena considerar; una de ellas, muy favorable, es que si se acierta la “superbalota” solamente, se recupera el valor de la apuesta, o sea que con probabilidad del 0,0625 (6,25 %) se recupera lo jugado. Si comparamos con el ejemplo anterior, es bastante más fácil ser seleccionado entre 16 personas solamente que entre todos los habitantes de las tres ciudades.

También se puede ganar sin haber acertado la “superbalota”, con 3, 4 o 5 aciertos de la lista.

A manera de ejemplo, calculemos la probabilidad de acertar 3 números. Es claro que para acertar 3 de los 5 ganadores deben fallar 2, entonces la probabilidad de acertar los tres primeros y fallar los últimos dos es:

pero como el orden de los números acertados y no acertados no importa, hay 10 combinaciones posibles que dan el mismo resultado, entonces la probabilidad buscada será 10 veces ese valor:

que es lo mismo que calcular los casos favorables

y luego dividir por los casos posibles ya calculados en ( * ) que son 962.598.

El resultado significa que hay un poco más de 7 posibilidades entre 1000 para acertar 3 números, una probabilidad que es mejor que la de la lotería tradicional de acertar un número de cuatro cifras, o sea de una posibilidad en 10.000.

Si hacemos el cálculo para dos aciertos, tenemos que la probabilidad es alta, de 1 entre 12. Tal vez por eso no aparece como opción de ser premiada, a menos que además se acierte con la “superbalota”, con lo cual la probabilidad se reduce a 1 entre 192.

En el juego tradicional, que existe en muchos países, consistente en acertar 6 de 49, la opción de acertar 3 números tiene una probabilidad alta, más o menos de 1 entre 57, por lo tanto, cuando se entrega un jugoso premio para 3 aciertos, un apostador que compre esas 57 combinaciones va a ganar con toda seguridad; naturalmente la recuperación y multiplicación de la inversión no solo depende del premio esperado, también del número de ganadores. La estrategia que se usó en el caso de la lotería “WinFall” que mencioné antes, fue muy sencilla: para ganar el sorteo de “WinFall” un jugador debía acertar los 6 números de 49; pero si nadie lo conseguía y el acumulado superaba 5 millones de dólares, el premio se dividía entre quienes acertaran 5, 4 y 3. Con esta regla solo se necesitaba paciencia para jugar todas las 57 combinaciones posibles de 3 números o las cerca de 1032 necesarias para los aciertos de 4 números y asegurar un premio bastante superior a la inversión. La repetición de esta estrategia, por años, le dio a Jerry Selbee la ganancia millonaria arriba mencionada.

Naturalmente es imposible medir la suerte que se necesita para ganar un Baloto y por lo tanto la pregunta planteada en el título no tiene una respuesta, pero el cálculo de la probabilidad de ganar sí nos cambia la pregunta, que debería ser ¿cuánto dinero estamos dispuestos a perder con la ilusión de ganar un Baloto?

Sin embargo, mientras la probabilidad no sea cero, siempre habrá apostadores dispuestos a arriesgar alguna suma y a probar suerte.

@MantillaIgnacio