Condición suficiente y condición necesaria

Hace un tiempo escribí sobre el significado de una expresión que se volvió una frase de cajón, especialmente entre los comunicadores, para indicar un aumento grande. Se trataba de precisar el correcto significado matemático de un crecimiento exponencial y la errónea costumbre de decir siempre que tal o cual cifra crece exponencialmente (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/significa-crecimiento-exponencial).

Hoy quiero, en esa misma dirección, hacer alusión a otras expresiones que se vuelven de uso frecuente, pero que no por eso están bien utilizadas; me refiero al verdadero significado de las condiciones suficientes o necesarias, así como a las que son suficientes y necesarias; es decir al significado lógico de una implicación matemática y también de una doble implicación; lo que seguramente la mayoría de los lectores aprendieron en el colegio como “el entonces, ⇒” y el “si y solo si, ⇔”.

La distinción entre una condición necesaria y una condición suficiente es algo que muchos desconocen o no aplican o lo hacen equivocadamente.

La tendencia ante una condición necesaria es entenderla como si fuera una condición suficiente y viceversa; también es común que ante una condición solamente suficiente o solamente necesaria se le interprete como si además fuese lo uno y lo otro también.

Por “P implica Q” debemos entender que:

“si P es verdadero entonces Q es verdadero”, 

pero esto no significa o es equivalente a afirmar que:

“si Q es cierto entonces P es cierto”.

Veamos un sencillo ejemplo: es evidente que: “si cae nieve entonces hace frío”. Esto no significa que si hace frío entonces cae nieve, pues bien puede bajar la temperatura sin que haya nevado; así que una condición suficiente para que haga frío es que caiga nieve, pero no es ésta una condición necesaria. 

Si soy egresado de una carrera entonces soy exalumno de esa carrera; eso no significa que por ser exalumno entonces soy egresado, pues pude haber abandonado sin graduarme. La implicación sólo es válida en un sentido: “egresado ⇒ exalumno”, pero no es correcto extenderla a: “exalumno ⇒ egresado”,  lo cual parece ser la implicación usada por algunos para hablar de sus títulos inexistentes. 

Cuando se dice: “es necesario que estudies para que pases la materia”, significa que si no estudias entonces no pasas; es decir que “no estudiar” es una condición suficiente para “no pasar”. Pero cuidado: esto no es lo mismo que afirmar: “si estudias entonces pasas”; es decir, “estudiar” no es una condición suficiente para “pasar”.

En general las cosas parecen ser aún más confusas cuando alguna de las proposiciones P o Q contiene negaciones. Por ejemplo: “si no pagas, te multan”. Quiere decir que no pagar es una condición suficiente para que te multen, pero no dice que pagando evites la multa; es decir no es equivalente a decir “si pagas entonces no te multan”.

Un último ejemplo: la chica que le dice a su novio: “si no consigo trabajo entonces no me caso contigo”. Ella consigue un trabajo luego, sin embargo no se casa con su novio y rompe su relación con él. Está claro que la chica no ha incumplido su palabra, pues ella dijo lo que haría (no casarse) si no conseguía un trabajo, pero no afirmó nada sobre lo que haría si conseguía un trabajo.

Naturalmente también hay proposiciones que son válidas en ambos sentidos de la implicación, lo que en matemáticas se aprende como la doble implicación o el “si y solo si”: [hoy es jueves] ⇔ [ayer fue miércoles].  

En el examen sobre la veracidad de una proposición de la forma “P implica Q” es muy importante conocer si P es cierto o no. Mediante las tablas de verdad que se aprenden en los cursos elementales de matemáticas básicas se muestra cómo, partiendo de P verdadero y razonando lógicamente, no se puede llegar a un falso Q. Es decir el único valor falso en la tabla de verdad de P implica Q es precisamente cuando partiendo de P verdadero se llega a un falso Q.

Pero cuando se parte de una proposición falsa puede entonces deducirse una verdadera o falsa. Esta es precisamente una de las técnicas que algunos grandes oradores usan frecuentemente en su retórica para convencer a sus auditorios: parten de un hecho falso y hablan media hora expresando solo verdades que arrancan el aplauso del público y el asentimiento de todos porque todo lo que el orador dice es una verdad evidente. Al cabo de la intervención y después de tantas verdades, el orador concluye con una afirmación falsa, aprovechando que ya todos olvidaron de dónde partió su razonamiento.

Le invito apreciado lector a examinar “lógicamente” los discursos, las afirmaciones, las implicaciones y las verdades que nos transmiten a diario para que podamos entre todos también denunciar los “falsos verdaderos”.

@MantillaIgnacio