El camello de repartir camellos 

Los problemas “de reparto”, como los juegos de azar, han dado origen a estudios que hoy son activas áreas de las matemáticas. Algunos problemas de la teoría de probabilidad, por ejemplo, planteados en la edad media, han sido la fuente inicial de trabajos que fueron  formalizados en el siglo pasado. 

Algunos de esos son problemas curiosos, presentados como acertijos matemáticos, que se convierten en retos que entretienen y estimulan el gusto por las matemáticas. Ese es el caso de uno de los problemas “de reparto”, que he escogido para compartirles.

La versión que les presentaré de este problema aparece en la obra titulada “El hombre que calculaba”, escrita por el escritor y profesor de matemáticas brasileño Malba Tahan -cuyo verdadero nombre era Julio César de Mello y Souza (1895-1974)- un precioso libro de problemas y curiosidades publicado por primera vez en portugués (O homem que calculava) en 1938.

El matemático nómada Beremiz, protagonista de esta historia, se enfrenta al reto de repartir una herencia después de presenciar una acalorada discusión entre tres hermanos que no logran ponerse de acuerdo en el número de camellos que le corresponde a cada uno, atendiendo la voluntad expresa de su padre. 

Al morir, el padre tenía 35 camellos y según su última voluntad, al mayor de sus hijos le correspondía la mitad de la manada, al segundo la tercera parte y al menor solo la novena parte. Naturalmente, al no ser estas partes de 35 unas cantidades enteras, ninguno de los tres acepta el reparto ventajoso que cada uno de sus hermanos propone. 

El mayor no acepta recibir solo 17 camellos, pues la mitad de 35 camellos son 17 y medio, el segundo no se conforma con 11 ya que esa no es la tercera parte de 35 y el menor rechaza la oferta de recibir solo 3. Así las cosas parecía imposible llegar a un acuerdo justo para todos, sin tener que sacrificar un camello para repartirlo por partes.

Beremiz interviene en la discusión y propone un método de reparto justo, sin tener que usar cantidades que no sean enteras, para que cada uno de los tres hermanos quede satisfecho. Él está dispuesto a agregar al grupo de 35 camellos el suyo, que le ha llevado hasta allí, con lo cual ahora son 36 camellos los que hay que repartir.

Respetando la voluntad del padre, al mayor de los hermanos le corresponde la mitad de la nueva manada que es ahora 18, así que el número de camellos que él recibe es mayor de lo esperado y queda muy a gusto, pues está recibiendo más de los 17 y medio que le corresponderían originalmente. Al segundo de los hermanos ya no le corresponden 11 y algo más, sino 12 camellos, que es la tercera parte de 36, con lo cual no puede protestar pues también sale ganando. Y el hermano menor, que ha debido recibir solo 3 camellos y parte de otro, ahora queda feliz con los 4 camellos que le entregan, como novena parte de 36.

Con este reparto los tres hermanos aceptaron de buen agrado la herencia correspondiente que había dispuesto su padre poco antes de morir.

Ahora bien, analicemos los detalles del reparto: Beremiz en realidad ha repartido 18+12+4 = 34 camellos, así que, aún recibiendo cada uno de los tres hermanos más camellos, sobran 2. Uno es el que había prestado Beremiz y el otro es ahora el costo de sus servicios, el premio a su ingenio por haber resuelto el conflicto familiar. Pero veamos cuáles son las matemáticas que están detrás de este bonito problema. 

Obsérvese que el reparto inicial ordenado por el padre es la suma de las fracciones 1/2, 1/3 y 1/9 o sea:

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18.

Como 

17/18 < 1, 

el reparto ordenado por el padre no cubre toda la herencia, le falta

 1/18 = 2/36

que es la fracción de la manada con la que finalmente se queda Beremiz.

Puesto que 

(17/18)x(35) ≈ 33,06

los hermanos en realidad se estaban disputando un poco más de 33 camellos, pero no los 34 que les repartió Beremiz, quien tuvo que haber pensado, al añadir su camello, que siendo 

 (17/18)x(36) = 34

le sobrarían 2 camellos.

Como se puede concluir, los tres hermanos terminaron cediendo parte de su herencia sin darse cuenta, pero quedaron todos satisfechos. 

Después de haber entendido este bonito problema, dejo el siguiente ejercicio para resolverlo en forma similar: 

“Buscando la unidad nacional se ha logrado una coalición de tres partidos para gobernar el país. Debido a los compromisos preestablecidos, ahora hay que repartir 15 ministerios en forma proporcional a la votación obtenida por cada partido. Pero en las elecciones el partido A obtuvo el 50% de los votos, el partido B la mitad de los votos de A y el partido C la mitad de los que obtuvo B. ¿Cuántos ministerios le corresponden a cada partido?”.

@MantillaIgnacio