Benjamín Franklin: un político polifacético con talento matemático

El estadounidense Benjamin Franklin (1706-1790) fue una figura destacada en el proceso de independencia de los Estados Unidos y fue uno de los autores de su constitución, es considerado como uno de los Padres Fundadores de los Estados Unidos. También es reconocido como científico e inventor, entre sus inventos están el pararrayos y las lentes bifocales. 

A Franklin se le atribuye la autoría de la frase: “Las tres cosas más difíciles de esta vida son: guardar un secreto, perdonar un agravio y aprovechar el tiempo”. Y tal parece que en efecto algunos de sus inventos fueron llevados a cabo para enseñar cómo aprovechar el tiempo, pues entre sus hobbies se menciona que frecuentemente entretenía a sus amigos con ingeniosos pasatiempos que él mismo ideaba, uno de los más conocidos era similar al popular Sudoku.

Pero lo que pocos conocen es que Franklin tenía un especial gusto por las matemáticas y que además las dominaba con habilidad. Una muestra de esta cualidad es un ingenioso aporte, poco conocido, que hoy quiero compartirles. Se trata de la construcción de un cuadrado mágico sorprendente.

El Cuadrado Mágico de Benjamin Franklin tiene 8 filas y 8 columnas, como un tablero de ajedrez, y en cada una de las 64 casillas se ubica un número natural entre 1 y 64, sin repetición; es decir que en el tablero están todos los números del 1 al 64, pero están colocados de forma tal que cumplen las siguientes condiciones:

1. Los números de cada fila suman 260
2. Los números de cada columna suman 260
3. En cualquier subcuadrado de orden 2×2 que se elija, la suma de los números que ocupan las 4 casillas del subcuadrado es igual a 130 (la mitad de la suma de las filas y columnas)
4. En cualquier subcuadrado de orden 4×4 que se elija, la suma de los números que ocupan las 16 casillas del subcuadrado es igual a 520 (el doble de la suma de las filas y columnas).

En la siguiente figura se puede apreciar el cuadrado que construyó Franklin y comprobar las reglas enunciadas, teniendo en cuenta que la tarea puede ser dispendiosa, pues en total son 49 subcuadrados de orden 2×2 que cumplen la regla 3, así como 25 subcuadrados de orden 4×4 que satisfacen la regla 4.

(Fuente:  Marco Vinicio Vásquez Bernal, Revista de investigación “Pensamiento Matemático”,  Volumen IV, Número 2, 2014) 

Pero adicionalmente este cuadrado tiene unas propiedades que son asombrosas. Por ejemplo, los cuatro números de las esquinas, más los cuatro números del centro suman también 260, como sus filas y columnas, tal como puede observarse en la siguiente imagen de  www. arescronida.wordpress.com

Y más sorprendente aún es comprobar que esta misma propiedad la cumplen todos los subcuadrados 4×4 que pueden construirse, como lo ilustra la siguiente imagen (de www. arescronida.wordpress.com) que destaca con diferentes colores esa propiedad en algunos ejemplos donde se puede verificar que la suma de los números que ocupan las casillas del mismo color es 260, la misma de las filas y columnas.

Y para deleite aún mayor de los lectores, puede comprobarse que los cuatro números de una diagonal que sube, más los cuatro número de la diagonal respectiva que baja, también suman, como las filas y columnas, 260. Esta mágica propiedad puede observarse en el siguiente enlace: http://www.taliscope.com/8x8all-ani.gif.

Aun cuando Benjamín Franklin no dio a conocer el método con el que construyó este fantástico cuadrado mágico, las propiedades que tiene el cuadrado han despertado la curiosidad matemática para saber cómo se logran estas geniales piezas; es así como se ha logrado demostrar formalmente que se pueden construir cuadrados mágicos nxn con las propiedades del cuadrado de Benjamín Franklin, siempre que n sea un múltiplo de 8, y que cuando aumenta el tamaño de esos cuadrados, aparecen nuevas y sorprendentes propiedades.

El arte de inventar pasatiempos, acertijos matemáticos y entretenciones numéricas es exigente, pero apasionante y divertido. Y hacerlo para que cualquier persona, sin una formación especial pueda interesarse, es aún más difícil. En muchos casos se repite simplemente una tarea cambiando las cantidades numéricas, sin necesidad de originar una nueva idea, pero presentar un verdadero nuevo reto, como es la construcción de este cuadrado produce admiración.

Benjamin Franklin brilló como político, pero indudablemente también habría sobresalido como matemático; era un genio para los números como lo confirma su habilidad para inventar retos como el sudoku y como lo reafirma su capacidad para construir este maravilloso cuadrado mágico.

@MantillaIgnacio