El acertijo matemático del círculo de la muerte

A los acertijos matemáticos más atractivos pertenecen los llamados problemas de eliminación, y algunos están inspirados en episodios históricos. Uno de los más conocidos, que quiero compartirles, es el que tiene origen en el antiguo “decimatio” romano, un castigo ejemplar utilizado para condenar los actos de sedición y cobardía de una legión romana. El castigo consistía en elegir uno de cada diez hombres para ser asesinado a golpes por sus propios compañeros de cohorte.

De esta práctica surgió un famoso acertijo, conocido bajo el nombre de “problema de Josefo”, en honor al historiador y autor del libro “De bello Judaico” (“La guerra de los judíos”), Flavio Josefo (37 – 95).

Se dice que Josefo, que era judío, logró sobrevivir al castigo que impuso la Roma de Nerón para controlar la rebelión judía, gracias a las matemáticas. En efecto, se cuenta que en el año 66, cuando tuvo lugar la insurrección judía en Galilea, Josefo y otros 39 compañeros fueron cercados hasta que tuvieron que resguardarse en una cueva en la que lograron esconderse por un tiempo. Cuando se sintieron descubiertos y acorralados, acordaron que no permitirían ser convertidos en esclavos y que ante el inminente apresamiento era mejor morir. 

Fue entonces cuando Josefo, aprovechando que la mayoría rechazaba la inmolación como solución, propuso a sus compañeros un juego para que entre ellos seleccionaran a las víctimas y a los verdugos, pero escogidos unos y otros al azar, siguiendo un ritual matemático de tal manera que ninguno pudiera negarse a actuar contra su propio compañero aunque se tratase de su mejor amigo, hasta morir todos asesinados por la espada amiga, salvo el último que sería el único que debía inmolarse.

Josefo y los 39 simpatizantes formaron un círculo ubicándose en forma aleatoria y determinaron al azar a uno de ellos como el primero. Éste debía matar al segundo y pasarle la espada al tercero quien acabaría con la vida del cuarto; luego la espada la tomaría el quinto para asesinar a quien ocupara la sexta posición y así sucesivamente. De esta forma el azar y solo el azar elegiría al judío que no tendría más remedio que suicidarse. 

La fama de la trágica historia y el nombre del juego se debe a que evidentemente Flavio Josefo esperaba poder salir con vida de la cueva, así que se ofreció para coordinar el inicio del juego y una vez supo quién sería el primero calculó rápidamente la posición del último hombre en morir para colocarse allí; pero cuando habían muerto todos sus compañeros, decidió entregarse a los romanos en vez de inmolarse. 

Otra versión dice que el orden de ejecución fue determinado por Josefo, quien quería salir con vida de allí en compañía de su mejor amigo y que rápidamente, gracias a sus habilidades matemáticas, logró la ubicación correcta de ambos para que fueran ellos dos los últimos en el proceso y así poder entregarse a los romanos en lugar de matarse entre ellos. Esta sabia e interesada decisión habría permitido que Josefo sobreviviera y que su problema trascendiera en el tiempo.

 Naturalmente después de 2000 años la historia ha sido contada con múltiples variantes, pero como acertijo matemático es bastante interesante plantear el reto de averiguar qué posición debe ocupar el único sobreviviente al “eliminarse” (no matarse) uno por uno a todos los demás participantes del juego, en orden, señalando cada N personas la siguiente víctima, dentro de un grupo conformado por M jugadores organizados en un círculo (M > N).

Por ejemplo con un círculo de M = 12 personas y eliminándose cada N = 3, tendríamos:

1 elimina a 3

4 elimina a 6

7 elimina a 9

10 elimina a 1

Ahora quedan 8 sobrevivientes, a saber: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11. 

En la siguiente ronda:

1 elimina a 4

5 elimina a 8

y ahora el turno es de 10 para que elimine el tercero entre los siguientes sobrevivientes:

10, 11, 1, 2, 5, 7.

Entonces:

10 elimina a 1

2 elimina a 7 

y nuevamente 10 tiene el turno para eliminar al tercero de la lista que queda conformada así:

10, 11, 2, 5

Por lo tanto:

10 elimina a 2

5 elimina a 11 

y solo quedan 10 y 5 como sobrevivientes.

Como el turno para la siguiente eliminación la tiene 5, de continuar la regla, entonces 5 debe ahora autoeliminarse y el único sobreviviente sería 10; pero también puede pactarse un acuerdo para que ambos sobrevivan, como ocurrió en una de las versiones de la historia de Josefo.

La solución general del problema con las constantes M y N así definidas no es trivial y puede usted, como tarea, intentar resolverlo para M = 40, N = 2, tal como lo hizo Josefo y así verificar que él se tuvo que haber ubicado en la posición 17 del círculo conformado junto con sus otros 39 compañeros. Observe que en este caso, en la primera ronda todos los que ocupan una posición par, son eliminados. 

Finalmente un ejercicio para entretenerse: si tal como se narra en la historia, Josefo se salvó junto con su mejor amigo, ¿en qué posición del círculo debía estar su mejor amigo?

@MantillaIgnacio