π está en todas partes: la aguja de Buffon

Uno de los clásicos problemas matemáticos del área de la probabilidad y más concretamente de un campo denominado “Probabilidad Geométrica”, es el que se conoce bajo el nombre de “La aguja de Buffon”, en homenaje al célebre naturalista francés Georges Louis Leclerc (1707 – 1788), Conde de Buffon, quien escribió una gran obra de historia natural, representada en 44 volúmenes; un valioso legado académico, cuyo enfoque tuvo influencia en las siguientes generaciones de importantes naturalistas como Charles Darwin, por ejemplo. Los aportes de Buffon fueron numerosos y diversos: a la geología, a la astronomía, a la literatura, a la biología y por supuesto también, aunque en menor grado, a las matemáticas.

De los trabajos de Buffon en matemáticas se destaca un problema que propuso en 1733 y que retomó en 1757. En su forma más sencilla de plantearlo, se trata de lanzar una aguja (al azar) sobre una superficie horizontal en la que están trazadas unas líneas paralelas equidistantes. Se pide calcular la probabilidad de que la aguja corte al menos a una de las rectas paralelas.

Como es apenas previsible, la longitud de la aguja debe ser decisiva para la solución; pero lo que no es previsible, y sí en cambio resulta sorprendente, es la solución del problema que se puede explicar e ilustrar como sigue:

Para mayor facilidad, vamos a suponer que la aguja tiene una longitud que es igual a la mitad de la distancia entre las paralelas. Al lanzar la aguja y tomar la posición de uno de sus extremos como punto de referencia (digamos P, el que está a nuestra izquierda), entonces, como ocurre con las coordenadas polares, dos valores son suficientes para expresar todas las posibilidades que tiene la posición de ese extremo de la aguja. Esos valores son:

(a) La distancia d entre ese punto P y la recta más cercana a él.

(b) El ángulo θ, formado por la aguja con una línea paralela a las rectas paralelas iniciales, que pasa por el extremo de la aguja que está en P. 

Es evidente que con los dos valores (d,θ) que oscilan de la siguiente manera:

0 ≤ d < L  y  0 ≤ θ < π,

donde L es la distancia entre las paralelas, es posible expresar todas las posibilidades que tiene la aguja al caer sobre la superficie lanzada.

Entonces todas las posibles posiciones de la aguja al caer se pueden representar en un rectángulo cuyos lados son de longitud L y π; es decir, un rectángulo de área Lπ, donde los puntos que están al interior del rectángulo representan todas las formas posibles en las que puede caer la aguja sobre la superficie, y ese es, por lo tanto, el conjunto de los casos posibles. 

Ahora hay que distinguir aquellos casos que son favorables entre todos los casos posibles, representados por el rectángulo antes descrito, o sea los que representan el corte de la aguja con alguna de las paralelas. Se puede observar que los casos favorables se producirán cuando:

d < (L/2)sen(θ)   y   0 ≤ θ < π,

por lo tanto, la probabilidad de que la aguja corte a una de las paralelas será la fracción cuyo numerador expresa los casos favorables y su denominador expresa los casos posibles; es decir la fracción con numerador igual al área bajo la curva correspondiente a la función (L/2)sen(θ) en el intervalo de cero a π, y con denominador igual al área del rectángulo.

Por lo tanto la probabilidad buscada será igual al valor de la fracción cuyo numerador es la integral entre 0 y π  de la función (L/2)sen(θ) y cuyo denominador es Lπ.  Entonces, como el valor de esa integral es (L/2)2 = L, tenemos que:

Probabilidad = L/Lπ  = 1/π.

La solución del problema nos aporta una relación curiosa, pues podría usarse un experimento para aproximar entonces el valor de π. En efecto, como la solución es el inverso de π, podemos lanzar la aguja repetidamente y contabilizar cada lanzamiento. De igual forma, cada vez que la aguja al caer intersecte una línea paralela contabilizamos un caso favorable. El número de casos favorables N’ (o cruces) sobre el número de lanzamientos (o casos posibles) N, a medida que el número de lanzamientos crece, se aproxima a la probabilidad de que la aguja lanzada corte alguna línea, la cual, como vimos es 1/π; por lo tanto:

N’/N ≈ 1/π;

entonces una forma de aproximar el número π es a través de

π ≈ N/N’.

Todo lo que hemos descrito hasta aquí es válido para una aguja que tenga la mitad de la longitud que separa las paralelas, pero en general, si llamamos A a la longitud de la aguja, se puede demostrar que:

Probabilidad = (2A)/(Lπ),

así que si elegimos una aguja que tenga una longitud igual a la distancia entre las paralelas, por ejemplo, entonces la probabilidad será de 2/π y en el experimento descrito solo habrá que multiplicar por 2 el resultado para aproximarse a π.

El problema de la aguja de Buffon nos ofrece una manera diferente de descubrir a π. La tradicional es trazando un círculo y dividiendo lo que mide su circunferencia entre lo que mide su diámetro.

@MantillaIgnacio