El problema del reparto de una apuesta

Las loterías y los juegos de azar han existido desde la antigüedad, pero es a partir de la Edad Media que se empiezan a estudiar formalmente, dando origen a una importante y muy activa área de la matemática como es la probabilidad. 

Es histórico el interés que despertó durante siglos el famoso problema del reparto de una apuesta, que plantea el reto de repartir correctamente una apuesta en un juego interrumpido. Una versión de este problema, abordado por primera por el fraile franciscano Luca Pacioli en 1494, es la siguiente:

“Dos equipos juegan a la pelota de tal modo que se necesitan un total de 6 tantos para ganar el juego. La apuesta es de 22 ducados, donde cada bando ha puesto 11 ducados. Por un incidente no pueden terminar y el juego se interrumpe cuando un bando ha conseguido 5 tantos y el otro 3. Se quiere saber qué participación del dinero del premio le corresponde a cada bando”

Para determinar cómo debe dividirse la apuesta entre los dos equipos, Pacioli consideró que debía tenerse en cuenta el número máximo de tantos posibles de alcanzar en el juego, que es 11; pues cuando el bando ganador alcanza 6 se acaba el juego y el perdedor habrá alcanzado, a lo sumo 5.

Puesto que se han conseguido 8 tantos cuando se interrumpe el juego, Pacioli resuelve que la apuesta de 22 ducados se hace por 8/11 partes del juego y no por el juego completo. Ahora bien, como el equipo con ventaja ha logrado ya 5 tantos, entonces debe recibir como premio 5/11 de los 8/11; es decir (5/11) / (8/11) = 5/8 partes de la apuesta de 22 ducados, que corresponden a 13,75 ducados.

El otro equipo, que había conquistado 3 tantos, no puede considerarse perdedor porque el juego no pudo terminar como se había pactado, así que debe recibir (3/11) / (8/11) = 3/8 partes; es decir 8,25 ducados.

Esta solución fue aceptada hasta 1556 cuando apareció el matemático, también italiano, Niccolo Tartaglia y estuvo en desacuerdo con Pacioli, pues  con ese criterio, dice Tartaglia, si en el momento de interrumpir el juego el segundo equipo no ha anotado, el de la ventaja se quedaría con todo el premio, aun cuando haya conseguido solamente un tanto. 

Tartaglia propone entonces esta solución: el equipo que va ganando debe recibir lo apostado por él más una cantidad proporcional a lo logrado. La proporción adecuada, acorde con su ventaja, es lo que se le quita a la apuesta que hizo el equipo que va perdiendo y debe ser la diferencia de tantos entre uno y otro dividida por el número de tantos que debe conseguir el ganador; así que para el caso que nos ocupa esta proporción sería de 2/6 = 1/3, y tendríamos que el equipo en ventaja debe recibir:

11 + (1/3) x 11 = (14 + 2/3) ducados.

El equipo en desventaja debe recibir entonces el resto de la apuesta; es decir:

22 – (14 + 2/3) = (7 + 1/3) ducados.

La solución de Tartaglia, aproximando los centavos, es entonces dar al equipo en ventaja 14,67 ducados y al otro 7,33 ducados.

Es claro que las soluciones aritméticas al problema, dadas por Pacioli y Tartaglia, no tienen en cuenta lo que hubiera podido ocurrir en el caso en el cual el juego no se hubiera interrumpido abruptamente. Especialmente no se tiene en cuenta la posibilidad que tiene cada uno de ganar. Pero esto no es algo fácil de imaginar; menos aún de incluirlo en una fórmula. 

El primero en advertirlo es el gran matemático italiano Gerolamo Cardano, quien falleció en 1576 pero dejó una obra en la que señala que en la solución debe tenerse en cuenta el número de tantos que a cada jugador le hacen falta para ganar en la eventualidad de que el juego continuara. El uso de esta nueva idea es un paso hacia el pensamiento probabilístico.

Haciendo caso a Cardano tenemos que considerar que al equipo en ventaja solo le falta un punto para ganar, mientras que al otro le faltan 3. Entonces 3 -1 = 2 es la ventaja del uno sobre el otro. De cuatro marcadores finales posibles (6-3, 6-4, 6-5, 5-6) un bando tiene 3 posibilidades de ganar, mientras que el otro sólo tiene 1, entonces las cuentas para el equipo en ventaja son: 

Posibilidades = (favorables)/(posibles) = (3/4).

Como la ventaja cuando se suspende el juego es 2, entonces el factor por el que debe multiplicarse la apuesta debe ser:

(3/4) x 2 = 6/4 = 3/2.

 Luego al primer equipo le corresponde

(3/2) x 11 = 16,5 ducados.

Al segundo equipo le correspondería entonces recibir el resto de la apuesta, o sea 5,5 ducados.

Cardano dedica buena parte de su obra al estudio de los juegos de azar, pero desafortunadamente su trabajo “Liber de ludo aleae” solo fue publicado hasta 1663, mucho tiempo después de su muerte. En ese tratado Cardano aborda el problema de cómo establecer correctamente las apuestas en el juego de dados y logra identificar la necesidad de conceptos matemáticos tales como la probabilidad, que serían precisados y estudiados ampliamente después. 

Hubo que esperar un siglo desde Tartaglia para que grandes matemáticos como los franceses Fermat y Pascal, estimulados indirectamente por las preguntas formuladas por un experto jugador empedernido, el Caballero de Merè, dieran la misma solución correcta, siguiendo razonamientos diferentes, en términos de la probabilidad condicional de ganar de cada jugador.

De acuerdo con esta solución, el equipo en ventaja tiene, como ya lo dijimos, 3 opciones de ganar de las 4 posibles; pero en cada opción el equipo en ventaja solo tiene la mitad de las posibilidades de lograr el tanto que le falta, entonces la siguiente es su probabilidad de ganar:

1/2 + (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2)(1/2) = 7/8.

Por lo tanto le corresponden 

(7/8) x 22 = 19,25 ducados,

mientras que al segundo equipo solo le corresponden 2,75 ducados de la apuesta de 22 ducados.

Posteriormente el matemático holandés Christiaan Huygens profundiza en los trabajos de Pascal y Fermat, introduce el concepto de valor esperado o esperanza matemática y confirma la solución dada por ellos, poniendo así fin al reto. Huygens abona el terreno para el nacimiento de la teoría de la probabilidad que consolidó el matemático ruso Andrei Kolmogorov a principios del siglo pasado. 

Una reflexión final que quiero transmitir a los lectores es que problemas sencillos o aparentemente sin importancia o aplicación inmediata, que solo nos divierten, pueden ser, como en el caso del problema del reparto, la motivación para llegar a grandes teorías. Así son las maravillosas matemáticas: puras, aplicadas, abstractas y útiles.

@MantillaIgnacio