Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

La Hipótesis de Riemann

Esta semana se conoció la noticia que anunciaba que en el marco del prestigioso evento denominado “Heidelberg Laureate Forum 2018”, que se desarrolla entre el 23 y el 28 de septiembre en la ciudad alemana de Heidelberg, el matemático británico de 89 años de edad, de ascendencia libanesa, Michael Atiyah, presentaría la esperada demostración de la llamada Hipótesis de Riemann.

Tratándose de un matemático de tanto prestigio como es Atiyah, ganador de los dos máximos galardones con los que puede reconocerse a un matemático, la Medalla Fields en 1966 y el Premio Abel de Matemáticas en 2004, la expectativa entre los matemáticos de todo el mundo es enorme, pues la Hipótesis de Riemann es el problema matemático no resuelto más importante en la actualidad; el Instituto Clay de Matemáticas ofrece un millón de dólares desde hace ya varios años, como premio para la primera persona que demuestre la conjetura planteada en 1859 por el matemático alemán Bernhard Riemann. 

Se trata de un problema que formó parte de los 23 retos para el siglo XX planteados por David Hilbert en el año de 1900 y clasificado también como uno de los siete problemas matemáticos del milenio. Con todos estos pergaminos que ilustran su dificultad y su importancia es natural que exista el escepticismo entre un buen número de matemáticos sobre la demostración que ha presentado esta semana Michael Atiyah. 

Intentaré ofrecer una explicación para no matemáticos sobre el significado de esta famosa Hipótesis de Riemann.

Para tener un contexto razonable e indispensable hay que recordar en primer lugar que el gran matemático griego Euclides, quien vivió hace cerca de 2300 años, demostró de manera muy sencilla que hay infinitos números primos (enteros mayores que 1, que son divisibles únicamente por 1 y por sí mismos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…). Su demostración es una pieza magistral que usa el método de reducción al absurdo, suponiendo que hay un numero finito de primos.

Hubo después, como es natural, un interés en saber cuántos primos hay, que sean menores que un número dado. El primero en ofrecer un método para contar primos fue Eratóstenes (276 – 194 a. C.), quien ideó una criba que permite seguir un algoritmo con tal fin.

Para hacer muy sucinta la exposición debo decir que hasta el siglo XVIII nadie había podido descubrir un patrón de comportamiento de los números primos. Éstos aparecen entre los naturales (que son aquellos con los que comúnmente contamos) sin ningún orden aparente, aunque su frecuencia parece disminuir a medida que avanzamos en la sucesión de números naturales. En 1737 el prolífico matemático suizo Leonhard Euler introdujo una función que se denominó originalmente Función Zeta, la cual va a ser la base de la llamada Función Zeta de Riemann. La Función Zeta se denota con la letra griega ζ y si usamos la variable x, entonces puede definirse como: 

ζ(x) := 1 + (1/2)^x + (1/3)^x + (1/4)^x + … (nota: ^x significa elevado a la x).

Si x = 1  el resultado es infinito; es decir que diverge. Sin embargo para los valores de x mayores que 1 da siempre como resultado una cantidad finita, así que Euler la restringió a números x mayores que 1. Pero Euler consideró la variable x no solo como un número natural sino también como un número real mayor que 1; es decir, además de los enteros consideró números que incluyen los racionales (fraccionarios) y los irracionales (como raíz cuadrada de 2, π, e, y en general los que todos  conocemos). Haciendo uso de esta función, Euler demuestra (de manera completamente diferente a como lo demostró Euclides), que los números primos son infinitos. Éste es un cambio fundamental, pues se pasa de herramientas puramente aritméticas a conceptos de análisis matemático para estudiar los números primos y su comportamiento.

Hay que mencionar que desde antes de cumplir 20 años de edad el gran matemático C. F. Gauss, ya se había interesado en contar los números primos y fue así como posteriormente, hacia 1798, Gauss presentó una fórmula para aproximar la cantidad de números primos que son menores que un número real positivo dado. Gauss llama π(x) a la función que nos da el número de primos menores que x (la contadora de primos) y conjetura que π(x) se comporta como se comporta el cociente x/ln(x), o sea el cocienteg entre x y el logaritmo neperiano de x, es decir que si queremos conocer en forma aproximada cuántos números primos hay, que sean menores que un número x, tenemos una forma de calcularlo. Así por ejemplo, para ilustrarlo mejor (aunque la utilidad de la fórmula es para números grandes) podemos decir que la cifra de números primos menores que 40 es cercana a 40/ln(40) = 40/(3,6889) ≈ 10,84 ≈ 11. En efecto, si hacemos la lista obtenemos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37, para un total de 12; es decir que el error es de apenas un número primo menos. De esta manera Gauss encuentra que por ejemplo hay aproximadamente 216.971 primos menores que 3.000.000 y que el error es apenas cercano a 200 primos. Esta conjetura de Gauss hoy se conoce como el Teorema de los Números Primos; fue demostrada de forma independiente en 1896 por el matemático francés J. Hadamard y el matemático belga C. J. d Vallée-Poussin.

Para aproximarnos ahora al problema de la Hipótesis de Riemann hay que hablar de los números complejos. Éstos se representan como puntos del plano cartesiano  a diferencia de los reales que se pueden representar en una recta. Un número complejo puede imaginarse entonces como una pareja de reales: su primera componente se llama parte real y su segunda componente recibe el nombre de parte imaginaria. La parte real está en el eje horizontal del plano y la imaginaria en el vertical, de tal manera que el punto (a,b) representa entonces a un número complejo z que acostumbramos escribir como z = a + ib, donde i es el número complejo conocido como la raíz cuadrada de -1 (o sea el punto (0,1) sobre el eje vertical, que está a una unidad de distancia del origen del plano cartesiano). Así como sabemos realizar operaciones con números reales, también se pueden multiplicar, sumar, dividir o restar números complejos, pero ese es un tema que no voy a tratar explícitamente aquí.

Lo anterior para poder ahora indicar que fue precisamente a Riemann a quien se le ocurrió que la función Zeta que Euler había restringido para números reales mayores que 1 solamente podía extenderse para números complejos s, pero especialmente para valores donde esta función fuera interesante de estudiar; así que introduce la llamada función Zeta de Riemann:

ζ(s) := 1 + (1/2)^s + (1/3)^s + (1/4)^s + …, pero para complejos s, cuya parte real sea mayor que 1 (matemáticamente Re(s) > 1).

Para las funciones complejas como ésta hay especialmente unos valores que nos interesan, como son los ceros de la función (es decir los valores de s donde la función corta el eje horizontal) así como los polos de la función (valores de s para los cuales la función se vuelve infinita). 

Con referencia a sus ceros, la función ζ(s) extendida para todos los complejos s, excepto los que tienen Re(s) = 1, tiene un número infinito de ceros; es decir puntos por donde su gráfica corta el eje horizontal. En efecto, están todos los denominados ceros triviales: -2, -4, -6, y todos los demás números pares negativos. Pero no todos los ceros resultan interesantes, pues no todos aportan información. Riemann se dio cuenta de que existe una relación entre la forma como se distribuyen los números primos y los ceros (que llamaremos no triviales) de esa función. Observó que la Función Zeta tiene un número infinito de ceros no triviales cuando s es un número complejo con parte real entre 0 y 1, sin embargo no se sabía con exactitud cuáles son. Riemann se decidió a conjeturar que estos ceros se producen en los números complejos cuya parte real es 1/2; es decir números de la forma s = 1/2 + ib. Y esa es la Hipótesis de Riemann, formulada en 1859, cuatro años después de la muerte de Gauss, cuya demostración es uno de los problemas más preciados, valorada en un millón de dólares.

Muchos son los matemáticos que han intentado dar una demostración o refutar la Hipótesis de Riemann; también ha habido trabajos usando las herramientas modernas de computación que han comprobado la conjetura para billones de ceros no triviales; no obstante, aunque eso no reemplaza la demostración sí ha dado mayor seguridad sobre la veracidad de la Hipótesis de Riemann. 

La confirmación formal de la Hipótesis de Riemann tendrá consecuencias trascendentales no solo en la teoría de números; por ejemplo, los físicos han encontrado un misterioso vínculo entre la física cuántica y la teoría de números al investigar la Hipótesis de Riemann. Y muchos resultados de la matemática y la computación están sustentados en la suposición de la veracidad de esta afirmación. Temas que aparentemente no tienen conexión tales como la criptografía, los métodos de codificación y la misma seguridad de Internet se sustentan en algoritmos que tienen qué ver con la distribución de los números primos, por lo tanto están íntimamente ligados a la Hipotesis de Riemann. Su demostración tendrá entonces un efecto de desembotellamiento, será como abrir una frontera que ha permanecido cerrada y de pronto se abre libremente.

No obstante, al parecer la presentación de Atiyah esta semana ha dejado muchas dudas dentro de la comunidad matemática mundial. De acuerdo con las primeras reacciones de los expertos tras la exposición de Michael Atiyah llevada a cabo este lunes, no es claro que su trabajo pueda derivar en una demostración de la veracidad de la Hipótesis de Riemann y el escepticismo parece haber crecido. Habrá que esperar unos meses para que los expertos en el área puedan calificar el trabajo de Atiyah como suficiente, libre de errores y correcto o insuficiente o errónea la prueba de la conjetura. En todo caso no cabe duda de que gracias a este anuncio se ha hablado mucho más de matemáticas esta semana y se ha logrado despertar el interés por entender algunos problemas abiertos. 

Para nosotros en Colombia es una suerte que podamos ocuparnos, al menos durante una de las 52 semanas del año, de temas tan interesantes, ajenos a la política doméstica, que nos permite sustraernos por un tiempo de la violencia, la corrupción y olvidarnos de las angustias que nos producen anuncios (sin demostración) de cambios positivos para el futuro del país con una nueva reforma tributaria.

@MantillaIgnacio

Comentarios