De su abundante legado matemático, quiero compartir esta vez un aporte genial pero poco conocido: su contribución a las llamadas q-series.

En las redes sociales circula la siguiente viñeta, y varias personas me han preguntado cuál es el chiste matemático que esconde. Eso es justamente lo que trataré de explicar a continuación.

Para los lectores no expertos, empiezo por referirme a las nociones básicas de sumas infinitas o series numéricas. Un buen ejemplo, interesante de comprender, es la paradoja de Zenón, planteada por Zenón de Elea hace ya 2500 años. Zenón afirmaba que Aquiles, pese a ser mucho más veloz, nunca alcanzaría a una tortuga que le llevara ventaja en una carrera. La razón es esta: cuando Aquiles recorre la distancia S que inicialmente los separa, la tortuga ya ha avanzado un poco más; y cuando Aquiles cubre esa nueva distancia, la tortuga ha vuelto a avanzar, y así sucesivamente, de modo que la brecha nunca termina de cerrarse.

Si suponemos que cuando Aquiles recorre la distancia S, la tortuga avanza la mitad, es decir una distancia igual a S/2, entonces Aquiles estará a una distancia S/2 de la tortuga después de recorrer la distancia S; y cuando avance la distancia S/2, ya la tortuga estará a una distancia igual a S/4, y así sucesivamente, de tal manera que la distancia entre Aquiles y la tortuga siempre será mayor que cero.

Pero todos sabemos que, si Aquiles corre a velocidad constante, alcanzará a la tortuga. Esto significa que su recorrido total —la suma de todas esas distancias cada vez más pequeñas— debe ser finito; es decir, que la suma

$S + \frac{S}{2} + \frac{S}{2^2} + \frac{S}{2^3} + \cdots = S\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$

debe tener un valor finito. Hoy sabemos que 

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$

es una serie geométrica convergente a 2. Por lo tanto, Aquiles alcanzará a la tortuga recorriendo una distancia finita en un tiempo finito: aunque la suma total tiene infinitos sumandos, su resultado es finito. No hay, entonces, ninguna paradoja real.

Pero cuando una suma no converge, es decir, cuando la suma de todos los términos es infinita o no tiene un límite fijo, la situación es diferente. Por ejemplo:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ···

Una forma de sumar podría ser:

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ··· = 0 + 0 + 0 + ··· = 0.

Pero otra forma de sumar puede ser:

1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + ··· = 1 + 0 + 0 + 0 + ··· = 1.

¿Cuál es la correcta? Obviamente, podríamos también agrupar los sumandos de otras formas, reordenarlos y obtener como resultado cualquier número entero, lo que indica que no hay un único valor válido, ni razón para preferir un resultado sobre otro. Como se observa, tratar con series no es nada trivial, y cuando estas divergen, su manejo se vuelve todavía más delicado.

Lo anterior sirve para poner en contexto la fórmula que escribió Ramanujan en su famosa carta, dirigida al matemático británico G. H. Hardy el 16 de enero de 1913, en la que aparece una serie divergente, como lo indica la imagen siguiente de un fragmento conservado de esa carta (fuente: La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, Vol. 23 (2020), Núm. 2):

El fragmento de la carta de Ramanujan dice:

«Tengo teoremas sobre series divergentes, teoremas para calcular los valores convergentes correspondientes a las series divergentes […]»

¿Cómo puede esa tercera suma de la imagen, de números todos positivos, dar como resultado un número negativo? En el lugar de Hardy, cualquier matemático habría creído que se trataba de un loco que escribía basura. Pero, por fortuna, esa carta llegó a las manos de Hardy, quien era seguramente el matemático inglés más importante de esa época. Él entendió de qué se trataba y tuvo el acierto de considerar a Ramanujan un genio, lo que le permitió obtener una beca para estudiar y trabajar con él en Cambridge.

Pero volvamos sobre esa suma en la que, a medida que sumamos términos, obtendremos un número cada vez más grande. Puesto que 

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

entonces, cuando $n$ tiende a infinito, la suma también tiende a infinito, a diferencia de la suma 

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$

que es convergente.

¿Cómo obtuvo entonces Ramanujan ese resultado tan extraño e inverosímil a primera vista?

Para entender el resultado de Ramanujan hay que conocer una fórmula que se estudia en el cálculo diferencial e integral, conocida como la fórmula de Euler-Maclaurin. Se trata de una expresión que involucra una función $f(x)$ que cumple ciertas condiciones especiales, y cuyos coeficientes son los llamados números de Bernoulli:

$B_0 = 1,\ B_1 = \frac{1}{2},\ B_2 = \frac{1}{6},\ B_3 = 0,\ B_4 = -\frac{1}{30},\ \cdots$

y una constante $C$, llamada frecuentemente la constante de la serie, que depende únicamente de la función $f$ y que puede usarse para definir la suma cuando la serie es divergente. Precisamente esa es la definición que usó Ramanujan. En efecto, si la función es $f(x)=x$, esa constante $C$ define la suma y resulta ser:

$C = -\frac{B_2}{2} = -\frac{\frac{1}{6}}{2} = -\frac{1}{12}$

Hay una manera más sencilla de llegar al mismo resultado. La desarrollo a continuación para quienes deseen conocerla:

Sea 

$s_1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots$

entonces

$1 – s_1 = 1 – \left(1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots\right) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots = s_1$

luego $1 – s_1 = s_1$

y se deduce que

$s_1 = \frac{1}{2}.$

Naturalmente, este razonamiento no es válido en el sentido habitual de convergencia de series.

Ahora llamemos

$s_2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + \cdots$

entonces

$2s_2 = (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + \cdots) + (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + \cdots)$

$= 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + – \cdots$

$\phantom{=} \ 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + – \cdots$

 ________________________________

$\phantom{2s_2} = 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots$

$\phantom{2s_2} = s_1 = \frac{1}{2}$

Por lo tanto

$2s_2 = \frac{1}{2}$

luego

$s_2 = \frac{1}{4}$.

Ahora retomemos nuestra suma

$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots$

y calculemos

$S – s_2 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots) – (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – \cdots)$

$\phantom{S – s_2} = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + \cdots$

$\phantom{S – s_2} = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots)$

$\phantom{S – s_2} = 4S$.

Reemplazando ahora el valor de $s_2$ tenemos que:

$S – \frac{1}{4} = 4S$.

Por lo tanto:

$3S = -\frac{1}{4}$

y así obtenemos el valor dado por Ramanujan: 

$S = -\frac{1}{12}$.

De todo lo anterior se puede observar que tratar una suma de infinitos números no es un problema sencillo; como lo dijo el gran matemático noruego Niels H. Abel en 1826: «Las series divergentes son la invención del diablo, y es vergonzoso basar en ellas cualquier demostración».

Así que no podemos escandalizarnos por el valor que Ramanujan dio a esta serie. Al igual que hizo Hardy, es mejor tomar en serio la respuesta. Los profesores deberíamos hacer lo mismo: tomarnos el trabajo de descubrir la razón detrás de una respuesta aparentemente descabellada de un estudiante, porque es posible que estemos frente a un genio.

La historia de esta suma tan singular, ideada por Ramanujan, nos recuerda que, a veces, lo que parece un error o una locura puede ser, en realidad, la puerta a una verdad más profunda que todavía no hemos descubierto.

@MantillaIgnacio