El teorema fue planteado por el matemático británico Frank P. Ramsey —fallecido a la temprana edad de 26 años—, quien demostró un teorema general de combinatoria en su artículo On a Problem of Formal Logic. El texto fue leído ante la London Mathematical Society en 1928, pero no se publicó sino hasta 1930, cuando Ramsey ya había muerto sin ver su artículo impreso; con él nació la llamada «teoría de Ramsey».

Frank P. Ramsey

Dentro de la denominada «teoría de Ramsey» se estudian las condiciones sobre el número de elementos que debe tener un conjunto dado para que se cumpla una determinada propiedad. Un ejemplo sencillo es el conocido «principio del palomar», que da respuesta a la siguiente pregunta: dado un conjunto de n palomares, ¿cuántas palomas se necesitan para que haya al menos un palomar con más de una paloma? Claramente, si llamamos m al número de palomas, la condición pedida es m > n. El «principio del palomar» también se suele formular así: si hay más palomas que palomares, alguno de los palomares deberá contener por lo menos dos palomas.

Un ejemplo menos sencillo del «principio del palomar» podría ser el siguiente: siempre que el Teatro Colón de Bogotá se llena, hay al menos dos personas del público cuyos apellidos comparten tanto la primera como la última letra, como Gómez y González, o Restrepo y Romero. En efecto, el Teatro Colón tiene un aforo de 773 personas, que consideramos nuestras palomas. Por su parte, los palomares están dados por los pares de letras —como (G, z) o (R, o), los de los ejemplos anteriores— que se pueden formar con las 27 letras del alfabeto, desde (A, a) hasta (Z, z); en total, 27 × 27 = 729 pares. Como hay más palomas (773 personas) que palomares (729 pares de letras), entonces al menos dos palomas deberán compartir el mismo palomar, es decir, dos personas compartirán el mismo par de letras en su apellido. Por lo tanto, podemos concluir que, cuando el Teatro Colón se llena, al menos dos personas del público comparten la primera y la última letra de sus apellidos.

El teorema de la amistad puede enunciarse mediante un ejemplo célebre que ilustra el alcance de la teoría de Ramsey: en cualquier grupo de seis personas, siempre habrá tres que se conocen mutuamente entre sí, o bien tres que son mutuamente desconocidas. Este resultado, conocido informalmente como el «problema de la fiesta», corresponde al caso particular R(3,3) = 6 del teorema general demostrado por Ramsey.

Para comprobar este resultado, observemos primero que un grupo de seis personas se puede representar mediante un hexágono con todas sus diagonales trazadas, donde cada persona es un vértice. Así obtenemos lo que se llama un grafo completo, pues cada vértice está conectado con todos los demás. Si ahora coloreamos con una arista azul a cada par de personas que se conocen, y con una arista roja a cada par que no se conoce, el resultado nos dice que siempre debe existir al menos un triángulo completamente azul o uno completamente rojo; es decir, siempre habrá un grupo de tres personas que se conocen entre sí, o un grupo de tres que son mutuamente desconocidas.

Para visualizar el problema, podemos considerar las 78 maneras esencialmente distintas —no isomorfas— de colorear con estos dos colores las aristas del hexágono completo, e identificar en cada una los triángulos azules (de conocidos) y los triángulos rojos (de desconocidos).

En cada hexágono, el color de cada arista indica si el par de personas correspondiente se conoce o no. Se observa que, en todos los casos, existe un triángulo rojo o un triángulo azul; es decir, siempre hay tres personas que no se conocen entre sí, o tres que sí se conocen mutuamente.

Vale la pena señalar que seis es, en efecto, el menor número de personas para el cual el resultado se cumple siempre. Con solo cinco personas, es posible construir una red de conocidos y desconocidos en la que no aparece ningún triángulo monocromático.

Imaginemos una gran recepción de negocios, donde el anfitrión organiza mesas de seis personas para el almuerzo. Sin importar cómo se distribuyan los invitados, en cualquier mesa de seis el teorema garantiza que habrá un trío que ya se conocía de antes, o bien un trío de completos desconocidos entre sí. El caso más fácil de ver es el de dos bloques definidos: tres colegas de una misma empresa sentados junto a tres proveedores que nunca se han visto. Pero el teorema no exige un arreglo tan ordenado: aun con relaciones más enredadas, el trío siempre termina apareciendo entre los seis comensales.

Este ejemplo también deja ver por qué cinco personas no bastan. Sentemos a cinco comensales alrededor de una mesa redonda, de modo que cada uno conozca únicamente a las dos personas que tiene inmediatamente al lado, pero sea un extraño para los otros dos, incluidos los vecinos de sus propios vecinos. Con este acomodo, cualquier trío que se escoja queda incompleto: dos de los tres pares se conocen, pero el tercero no —por ejemplo, dos vecinos de una misma persona nunca se conocen entre sí—. Así, ningún trío resulta enteramente de conocidos ni enteramente de desconocidos, y el anfitrión logra evitar, con solo cinco comensales, lo que el teorema vuelve inevitable a partir de seis.

Guardaba la esperanza de poder afirmar, gracias al teorema de la amistad, que en toda coalición política de seis precandidatos siempre hay tres que se conocen entre sí. Pero el teorema es más cauteloso que eso: solo garantiza que hay tres que se conocen, o bien tres que no se conocen, sin asegurar cuál de las dos opciones ocurre. Así que la próxima vez que vea una coalición de seis candidatos, lo único que puedo afirmar con certeza es que entre ellos hay un trío muy unido… o un trío de completos desconocidos.

@MantillaIgnacio