Más allá de la influencia de sus textos y de sus célebres aforismos, repetidos incesantemente en los medios, este artículo se centra en uno de sus aportes más significativos a la matemática: una paradoja tan sencilla en su formulación como profunda en sus implicaciones. Se trata de la más famosa de las contradicciones de la teoría de conjuntos y la lógica, la cual paso a exponer a continuación.

Una paradoja es una premisa que, pese a presentarse como veraz, conduce inevitablemente a una contradicción lógica, cuestionando así su propia validez. En el caso específico de la Paradoja de Russell, su formulación no fue un mero ejercicio intelectual: tuvo un impacto disruptivo en la arquitectura de los fundamentos de la matemática, particularmente en el programa del logicismo, al poner en jaque sus bases axiomáticas.

La idea de esta paradoja surge ante la pregunta sobre la existencia de un conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Existen conjuntos que son elementos de sí mismos y otros que no lo son; así, por ejemplo, una caja que contiene a todas las cajas pertenece al conjunto de las cajas, mientras que el conjunto de todos los gatos no es, él mismo, un gato.

Pero nos encontramos frente a una situación paradójica al preguntarnos si existe el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. En efecto, si ese conjunto existe y no pertenece a sí mismo, entonces es de aquellos que, por no pertenecer a sí mismo, debería pertenecer a sí mismo. Suena contradictorio, ¿verdad? Pero esto es por ser el conjunto que tiene a todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. En conclusión: ese conjunto pertenece a sí mismo si y solo si no pertenece a sí mismo. En eso consiste la llamada Paradoja de Russell.

Para comprenderla mejor en términos informales, examinemos la versión que se ha formulado y difundido, conocida como la “Paradoja del Barbero”. Según esta historia, en un pueblo solo hay un barbero y él debe afeitar a todos los habitantes que no se afeiten a sí mismos y únicamente a ellos, por lo que todos los que no se afeiten a sí mismos tienen que acudir a él. Ahora surge la pregunta de si el barbero se afeita o no a sí mismo: si se afeita a sí mismo, estaría incumpliendo la regla (ya que solo debe afeitarse a quienes no lo hacen por sí mismos), por lo que no debería afeitarse; pero si no se afeita a sí mismo, está obligado a acudir al barbero, con lo cual terminaría afeitándose a sí mismo (porque él es el barbero). En conclusión: el barbero se afeita a sí mismo si y solo si el barbero no se afeita a sí mismo. Por lo tanto, ese barbero no puede existir.

La Paradoja de Russell fue descubierta por Ernst Zermelo en 1900, un poco antes que por el propio Bertrand Russell, motivo por el cual en ocasiones se le denomina «Paradoja de Russell-Zermelo». Sin embargo, Russell la descubrió de forma independiente y supo dimensionar su enorme trascendencia. Al principio le despertó únicamente curiosidad, un nuevo y divertido reto intelectual; pero tras un año sin poder resolverla, comprendió que estaba frente a un problema mayúsculo. Si la teoría de conjuntos era contradictoria, las bases mismas de la matemática quedaban en entredicho y no se podía confiar en ninguna demostración basada en ella.

Al comentarlo con su profesor en Cambridge, Alfred North Whitehead —quien había sido su director de tesis—, este exclamó: «Nunca más habrá una alegre y confiada mañana». Y al escribirle al matemático alemán Gottlob Frege, considerado uno de los padres de la lógica matemática y quien acababa de terminar el segundo volumen de su gran obra Grundgesetze der Arithmetik (Las leyes básicas de la aritmética), la respuesta no fue menos devastadora: «Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada».

Tras un tremendo esfuerzo, Russell ideó una solución para su paradoja, a la que posteriormente se sumaron las propuestas de Hilbert, Zermelo y Fraenkel. Sin embargo, el logicismo quedó profundamente debilitado: los lógicos se vieron obligados a limitar el alcance de la teoría de conjuntos —en la que se sustentan las matemáticas— y a prohibir formalmente la existencia de conjuntos que se contuvieran a sí mismos como elementos. Más adelante, la incorporación del axioma de elección abriría un nuevo y fascinante capítulo, mientras que, años más tarde, el teorema de incompletitud de Kurt Gödel sacudiría nuevamente los cimientos de la lógica moderna.

Ilustración de @archimedestub, autor Urtzi Buijs Martín (@UrtziBuijs ):

Volviendo a Bertrand Russell, cabe destacar que gran parte de estas ideas cruciales —que mantuvieron ocupados a los matemáticos más brillantes de principios del siglo pasado— fueron desarrolladas durante una década de intenso trabajo junto a su exprofesor Whitehead. Este monumental esfuerzo quedó plasmado en los tres volúmenes de los Principia Mathematica, considerados uno de los trabajos lógicos más importantes escritos desde los tiempos de Aristóteles.

Aun cuando las matemáticas han sufrido fuertes remezones —como el provocado por la Paradoja de Russell—, siempre ha sido posible llevar a cabo una restauración rigurosa y un reforzamiento oportuno. Hoy en día, la disciplina mantiene sus cimientos con la solidez necesaria para seguir sosteniendo el vasto edificio de la ciencia.

@MantillaIgnacio

Una de esas paradojas —la que quiero compartirles a continuación— es la conocida como «la paradoja de la caja de Bertrand». Este interesante problema constituye, además, un excelente ejemplo para comprender la importancia del concepto de probabilidad condicional.

El enunciado del problema propuesto por Bertrand es el siguiente: se tienen tres cajas, cada una con dos cajones, uno izquierdo y otro derecho. En cada cajón hay una moneda. La caja 1 contiene dos monedas de oro (ORO, ORO); la caja 2, dos monedas de plata (PLATA, PLATA); y la caja 3 alberga una moneda de plata en un cajón y una de oro en el otro (PLATA, ORO). En total, entonces, hay seis monedas —tres de plata y tres de oro— y ninguno de los cajones está vacío. Además, una vez cerrados, no es posible saber desde afuera cuál es el contenido de cada cajón. 

Después de escoger una caja al azar, se selecciona también al azar uno de sus dos cajones y se encuentra que contiene una moneda de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda del otro cajón, perteneciente a la misma caja, sea también de oro? La solución del problema podría parecer trivial; sin embargo, como veremos, más que trivial resulta contraintuitiva.

Un razonamiento que parece convincente es el siguiente: si la moneda encontrada es de oro, solo existen dos posibilidades. La primera, que la caja elegida sea la caja 1, que contiene dos monedas de oro (ORO, ORO); y la segunda, que sea la caja 3, que contiene una moneda de plata y una de oro (PLATA, ORO). Por lo tanto, la única situación en la que la otra moneda también sería de oro es haber elegido la caja 1 (ORO, ORO) entre las dos cajas que poseen al menos una moneda de oro. En consecuencia, solo una de las dos situaciones es favorable, de modo que la probabilidad de que la moneda del otro cajón sea también de oro sería igual a 1/2.

La paradoja consiste en que, aunque este razonamiento parece completamente razonable, la respuesta es incorrecta. En efecto, el enunciado nos da como condición que la moneda encontrada en el cajón elegido al azar es de oro, y por lo tanto nos pide calcular una probabilidad condicional. Consideremos entonces las tres posibilidades:

• Que hayamos escogido la única moneda de oro de la caja 3 (PLATA, ORO*).
  
• Que hayamos elegido la moneda del cajón izquierdo de la caja 1 (ORO*, ORO).
  
• Que hayamos tomado la moneda del cajón derecho de la caja 1 (ORO, ORO*).
  

En el caso (A), la moneda restante en la caja es de plata.

En el caso (B), la otra moneda es de oro.

En el caso (C), la moneda restante también es de oro.

Como se observa, de los tres casos posibles —sabiendo que la primera moneda es de oro— hay dos que resultan favorables. La probabilidad de que la otra moneda sea también de oro es, por tanto, el doble de la probabilidad de que sea de plata. En consecuencia, la probabilidad buscada es 2/3 (es decir, un 66,67%), valor superior al que inicialmente sugería la intuición, que nos llevaba a pensar en 1/2 o 50%.

Este tipo de problemas, llamados paradojas precisamente porque su solución contradice la intuición, merecen una atención especial: nos enseñan a ser cautelosos y a no confiar en respuestas aparentemente obvias. Este problema en particular me resulta fascinante porque, aunque desafía la intuición, revela de manera transparente una solución inesperada, recordándonos la importancia de examinar con rigor cualquier razonamiento antes de aceptarlo. 

@MantillaIgnacio