Lectores de todo el mundo, filósofos y educadores le conocen por sus ideas brillantes plasmadas en sus textos y sintetizadas en frases que se repiten en los medios a diario. Pero voy a referirme solamente a uno de sus grandes aportes a la matemática, contenidos en una sencilla, pero profunda paradoja. Se trata de la más célebre de las paradojas de la teoría de conjuntos y la lógica, que expondré a continuación.

Una paradoja, como sabemos, es una afirmación que en apariencia es verdadera, pero que lleva a una contradicción lógica y pone en duda su veracidad. El planteamiento de la Paradoja de Russell tuvo un impacto importante en la concepción de los fundamentos de las matemáticas asociados al logicismo.  

La idea de esta paradoja surge ante la pregunta sobre la existencia de un conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Existen conjuntos que son elementos de sí mismos y otros que no lo son; así por ejemplo una caja que contiene a todas las cajas pertenece al conjunto de las cajas, mientras que el conjunto de todos los gatos no es, él mismo, un gato. 

Pero nos encontramos frente a una situación paradójica al preguntarnos si existe el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. En efecto, si ese conjunto existe y no pertenece a sí mismo, entonces es de aquellos que, por no pertenecer a sí mismos debería pertenecer a sí mismo. Suena contradictorio ¿verdad? Pero esto es por ser el conjunto que tiene a todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. En conclusión: ese conjunto pertenece a sí mismo si y sólo no pertenece a sí mismo. En eso consiste la llamada Paradoja de Russell.

Para comprenderla mejor en términos informales, examinemos la versión que se ha formulado y difundido, conocida como “Paradoja del Barbero”. Según esta historia, en un pueblo solo hay un barbero y él debe afeitar a todos los habitantes de su pueblo que no se afeitan a sí mismos y únicamente a ellos, así que todos los que no se afeiten a sí mismos tienen que acudir al barbero. Ahora surge la pregunta de si el barbero se afeita o no a sí mismo. Si se afeita a sí mismo, no debe acudir al barbero, así que no se afeita a sí mismo. Y si no se afeita a sí mismo, debe acudir al barbero, con lo cual debe afeitase a sí mismo, porque él es el barbero. Entonces: el barbero se afeita a sí mismo si y solo si el barbero no se afeita a sí mismo. Por lo tanto ese barbero no podría existir.

La Paradoja de Russell fue descubierta por Ernst Zermelo en 1900, un poco antes que por Bertrand Russell, eso explica que también se le llame “Paradoja de Russell-Zermelo”; sin embargo, Russell la descubrió en forma independiente y sí le supo dar la importancia que tiene. Al principio le despertó sólo curiosidad, era un nuevo y divertido reto, pero después de un año seguía sin poder resolverla y comprendió que estaba frente a un problema muy grande, pues si la teoría de conjuntos era contradictoria, no se podía confiar en ninguna demostración matemática basada en ella.

Al comentarlo con su director de tesis en Cambridge, el profesor Alfred North Whitehead, éste dijo: “Nunca más habrá una alegre y confiada mañana”. Y al escribirle al matemático alemán Gottlob Frege, considerado uno de los padres de la lógica matemática, quien acababa de terminar de escribir el segundo volumen de su gran obra Grundgesetze der Arithmetik (Las leyes básicas de la aritmética), éste expresó: “Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada”.

Tras un tremendo esfuerzo, Russell encontró una solución para su paradoja y posteriormente Hilbert, Zermelo y Fraenkel propusieron otras, pero el logicismo había quedado debilitado, pues los lógicos tendrían que limitar el alcance de la teoría de conjuntos en la que están basadas las matemáticas y aceptar que esos conjuntos que se contienen a sí mismos como elemento, no pueden existir. Luego vendría el axioma de elección, dando paso a otro fascinante tema. Y años más tarde Kurt Gödel daría un nuevo gran aporte a la lógica con el teorema de incompletitud.

Ilustración de @archimedestub, autor Urtzi Buijs Martín (@UrtziBuijs ):

Volviendo a Bertrand Russell, hay que decir que muchas de esas importantes ideas que ocuparon a los más destacados matemáticos a principios del siglo pasado, fueron desarrolladas durante una década de duro trabajo por Russell y su ex profesor Whitehead y fueron plasmadas en los tres volúmenes del libro Principia Mathematica, considerado uno de los trabajos en lógica más importante que se haya escrito desde los tiempos de Aristóteles.

Aun cuando las matemáticas han sufrido fuertes remezones, como el que le dio la Paradoja de Russell, siempre ha sido posible llevar a cabo una correcta restauración y realizar un reforzamiento oportuno. Hoy las matemáticas mantienen sus cimientos suficientemente sólidos para seguir soportando el peso de la ciencia.

@MantillaIgnacio

Una de esas paradojas, que quiero compartirles a continuación, es la que se conoce hoy en día como “La paradoja de la caja de Bertrand”. Este interesante problema es además un buen ejemplo que contribuye a entender la importancia del concepto de “probabilidad condicional”.

El enunciado del problema propuesto por Bertrand es el siguiente: tenemos tres cajas y cada una de ellas tiene dos cajones, uno izquierdo y otro derecho. En cada cajón hay una moneda. La caja 1 tiene dos monedas de oro, digamos que (ORO, ORO) es el contenido en los cajones de esta caja. La caja 2 contiene dos monedas de plata (PLATA, PLATA) y en la caja 3 hay una moneda de plata en un cajón y una de oro en el otro cajón (PLATA, ORO). Es decir que en total hay seis monedas, tres de plata y tres de oro y ninguno de los seis cajones está vacío; por otra parte, una vez se han cerrados los cajones, desde afuera, sin abrirlos, no hay forma de saber cuál es su contenido.

Después de escoger una caja al azar se selecciona también al azar uno de sus dos cajones y se encuentra que contiene una moneda de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda del otro cajón, de la misma caja, sea también de oro?

La solución del problema parece ser trivial, pero como veremos, más que trivial es contraintuitiva. 

Un razonamiento que parece convincente es que si la moneda encontrada es de oro, solo tenemos dos opciones: que la caja elegida sea la caja 1 que contiene dos de oro (ORO, ORO) o que la caja escogida sea la caja 3 que contiene una de plata y otra de oro  (PLATA, ORO). Por lo tanto la única posibilidad para que la otra moneda también sea de oro es que hayamos elegido la caja 1 (ORO, ORO) entre las dos cajas que tienen monedas de oro en al menos uno de sus cajones, o sea que solo una de las dos situaciones es favorable; es decir que la probabilidad de que la moneda del otro cajón sea también de oro sería igual a 1/2. 

La paradoja es que aunque parece razonable, esta respuesta es incorrecta.

En efecto, el enunciado nos da como condición, que la moneda que contiene el cajón escogido al azar es de oro y por lo tanto nos pide calcular una probabilidad condicional. Veamos las tres posibilidades:

1. Que hayamos escogido la única moneda de oro en la caja 3 (PLATA, ORO*).

2. Que hayamos elegido la moneda del cajón izquierdo en la caja 1 que contiene (ORO*, ORO).

3. Que hayamos tomado la moneda del cajón derecho de la caja 1 (ORO, ORO*).

En el caso (A) la moneda que queda en la caja es la de plata.

En el caso (B) la otra moneda es de oro.

En el caso (C) la moneda que queda también es de oro.

Como se observa, de los tres casos posibles, sabiendo que la primera moneda es de oro, hay dos que son favorables. La probabilidad de que la otra moneda sea también de oro, es entonces el doble de la probabilidad de que la otra sea de plata. Por lo tanto la probabilidad pedida es 2/3; es decir 66,67%, que es mayor que la probabilidad que intuitivamente habíamos calculado como 1/2 o del 50%.

Este tipo de problemas que son llamados paradojas porque su solución es contraintuitiva, merecen una atención especial pues nos enseñan a ser muy cautelosos en las respuestas. Este problema en particular me parece fascinante porque aunque atenta contra la intuición, nos revela de manera comprensible una solución insospechada inicialmente, lo que enseña a no confiarnos en una primera respuesta sin precaución. 

@MantillaIgnacio