Hay conjeturas, como la de Goldbach, formulada por el matemático alemán Christian Goldbach en 1742, que establece que «todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos», que aún nadie ha podido demostrar ni refutar.

Uno de los matemáticos más sobresalientes y célebres de nuestro tiempo ha sido el británico John Conway, quien falleció en 2020, a causa del Covid, en Princeton donde fue profesor durante sus últimos años de vida. 

El legado de Conway en varias ramas de las matemáticas lo constituyen contribuciones complejas, difíciles de transmitir, pero Conway también incursionó en la matemática recreativa y nos dejó algunos acertijos y juegos fáciles de entender, así como problemas abiertos y conjeturas.

Un ejemplo de uno de esos retos es la conjetura conocida bajo el nombre de «la escalada hasta un primo», que consiste en escoger un número entero positivo cualquiera que sea mayor que 1 y seguir los siguientes pasos:

1. Descomponer el número elegido en sus factores primos. Esto es posible siempre, gracias al Teorema Fundamental de la Aritmética que establece que «cada número entero mayor que 1 es primo o puede expresarse como un producto único de números primos, salvo por el orden de los factores». Ejemplo, si el número elegido es 40, los primos de su descomposición son 2, 2, 2 y 5, ya que
   
   40 = 2³ · 5.
   
   
2. El segundo paso consiste en tomar esos números primos y sus exponentes, ordenarlos de menor a mayor tal como aparecen en la descomposición y concatenarlos formando un nuevo número. En el ejemplo, el nuevo número es el proveniente de 40 = 2³ · 5. O sea:
   
   235.
   
   
3. A partir de aquí, repetir los dos pasos anteriores con el nuevo número hasta conseguir un número primo. Para el ejemplo:
   
   235 = 5 · 47
   
   y aquí termina la escalada del número 40 hasta un primo porque el nuevo número formado con los factores primos 5, 4 y 7 es el número 547 que es primo.

Con esto podemos ahora formular y comprender mejor la conjetura de Conway conocida como «escalada hasta un primo»: Conway conjeturó que el paso 3 siempre es posible, es decir que cualquier número entero mayor que 1, sometido a este procedimiento, acabaría devolviendo un número primo. Es más, cuando propuso la conjetura llegó a ofrecer 1.000 dólares a quien demostrara su veracidad o falsedad.

Decidir sobre su veracidad o falsedad no es sencillo; hay números que parecen servir de contraejemplos, pero que no lo son; sin embargo su escalada hasta un primo sí constituye una tarea sumamente extensa y tediosa como para creer, al cabo de muchos pasos, que se trata de un contraejemplo; tal es el caso del número 20 por ejemplo, que requiere más de 100 pasos para escalar hasta un primo. Y frente a estos números, después de tantos pasos que hasta se había llegado a creer que se trataba de un contraejemplo y al final no lo era, viene la pregunta: ¿será verdadera la conjetura?

Se le atribuye a un aficionado a las matemáticas, de nombre James Davis, haber demostrado a mediados del año 2017, que la conjetura de Conway «escalada hasta un primo» es falsa. Davis logró encontrar un contraejemplo: el número 

d = 13.532.385.396.179 

que se devuelve a sí mismo al ser descompuesto en números primos, entrando en un bucle sin fin del que no podrá salir un primo. En efecto,

d = 13.532.385.396.179 = 13 · 53² · 3853 · 96179

y obsérvese que el proceso de escalar buscando un primo lo convierte en él mismo, pues el número 2 ocupa el quinto lugar entre sus dígitos y también esa posición como exponente del primo 53 en la descomposición del número, así que d es como un punto fijo que no consigue «escalar» hasta un número primo. 

Naturalmente este no es el único contraejemplo, y teniendo ya uno, a partir de él podemos construir otros. Por ejemplo, si tomamos los 4 dígitos de d, que siguen a los dos primeros (13) tenemos el número 5323 que es primo y si el dígito siguiente (8) lo usamos como exponente, entonces podemos aprovechar que el número que forman los últimos dígitos que quedan (5396179) también es primo, para escribir el número:

D = 13 · 5323⁸ · 5396179 = 45.214.884.853.168.941.713.016.664.887.087.462.487 

que al ser descompuesto en sus factores primos es el mismo número inicial anterior d, por lo tanto D es otro contraejemplo, un número que no puede escalar hasta un primo.

Generalmente el reto de demostrar la veracidad o la falsedad de una conjetura es grande. No siempre es fácil dar con un contraejemplo o con una demostración; ni siquiera es sencillo decidirse por lo uno o por lo otro y en la mayoría de los casos solo la intuición del matemático le induce a buscar la prueba o en cambio el contraejemplo.

@MantillaIgnacio

La clasificación de los números de diferente tipo tiene una notable importancia en el estudio de las diferentes áreas de la matemática. La clasificación establece los conjuntos más conocidos:

los naturales ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}, 

los enteros, que contienen a los anteriores, ℤ =  {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …},

los racionales ℚ, que contienen a los enteros y que pueden escribirse como fracciones entre enteros (ej. 4/3), su expresión decimal es periódica (ej. 1,33333…),

los irracionales 𝕀, que no pueden escribirse en forma de fracción entre enteros (ej. √3), su expresión decimal es infinita, no periódica (1,7320508076…),

los reales ℝ, que son todos los anteriores,

los complejos ℂ, de la forma (a + bi), que tienen una parte real y otra imaginaria y que contienen a todos los reales.

Y dentro de esta clasificación se encuentran muchas otras categorías, son subconjuntos de estos grandes conjuntos, que se destacan con características especiales, algunos son poco conocidos, pero son tantos, que desde hace un tiempo me he propuesto recoger los nombres de conjuntos de números que tienen una denominación especial.

Por el alto número de tales grupos, he elegido esta vez solo los que son subconjuntos de los Números Primos, que como se sabe, son números naturales mayores que 1, que sólo son divisibles por 1 y por ellos mismos; este conjunto es infinito: {2, 3, 5, 7, 11, …}.

Voy a presentarles ahora solo subconjuntos de estos, los conjuntos de números que también son primos, pero que tienen alguna propiedad adicional especial y que reciben una denominación particular; es decir, que tienen el mismo nombre y diferente apellido.

Primos Gemelos: son pares de números primos que difieren en 2, por ejemplo (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), … Aun cuando parecería que a medida que tomamos primos más grandes estos están cada vez más distantes entre sí y por lo tanto habría menos parejas de gemelos, se conjetura que hay infinitos primos gemelos, más exactamente, que: 

Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.

Primos de Mersenne: los números primos de Mersenne, en honor al matemático francés Marin Mersenne (1588-1648), son aquellos números primos de la forma 2ᵖ – 1 donde p es también un número primo, por ejemplo 3, 7, 31, 127, … Aunque se conjetura que hay infinitos primos de Mersenne, solo hay 52 conocidos, el último y más grande (el 52) se encontró en octubre del año pasado, se trata del número 

2^{136 279 841} 

que tiene más de 41 millones de cifras. 

Primos de Fermat: los números primos de Fermat, en honor al matemático francés Pierre de Fermat (1607-1665), son aquellos números primos de la forma

donde n es un número natural. Por ejemplo, F₁ = 5, F₂ = 17. Fermat conjeturaba que todos los números de esa forma eran primos, pero Euler demostró en 1732 que no es así. Actualmente solo se conocen cinco primos de Fermat.

Primos de Germain: los números primos de Germain, en honor a la matemática francesa Sophie Germain (1776-1831), son aquellos números primos p tales que 2p + 1 es también primo. Por ejemplo, los números 2, 3 o 5 son primos de Germain, ya que 2 x 2 + 1 = 5, 2 x 3 + 1 = 7 y 2 x 5 + 1 = 11 son también primos. La sucesión de los primeros números primos de Germain son:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, …

Se desconoce, al igual que ocurre con los números primos gemelos, si existen infinitos números primos de Germain.

Primos Seguros: estos números primos se relacionan muy estrechamente con los anteriores. A los números primos de la forma 2p + 1, donde p es un número primo (por lo tanto p es un primo de Germain), se les llama números primos seguros. Los números primos seguros son:

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, … 

Primos Fuertes: un número primo fuerte es un número primo que es mayor que el promedio de sus primos vecinos. En otras palabras, si un número primo p tiene primos vecinos a y b, entonces, para que p sea un primo fuerte debe cumplirse que p > (a + b) / 2. Así por ejemplo 11 es un primo fuerte porque sus primos vecinos son 7 y 13 y se cumple que: 11 > (7 + 13) / 2. Los primos fuertes son 11, 17, 29, 37, 41, 59, 67, 79, 97, …

Primos Primoriales: cuando al sumar o restar 1 al producto de los primeros n números primos, el resultado es un número primo, al número resultante se le llama número primo primorial. Por ejemplo, el producto de los 2 primeros primos es 2 x 3 = 6, entonces, tanto 5 = 6 – 1  como  7 = 6 + 1 son primos primoriales.

El producto de los primeros 4 números primos es 2 x 3 x 5 x 7 = 210, y como 210 + 1 = 211 es primo, entonces 211 es un primo primorial.

Los primeros números primos primoriales son: 2, 3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, …

Primos de Pierpont: los números primos de Pierpont, en honor al matemático estadounidense James Pierpont (1866-1938), son aquellos números primos de la forma  2^m · 3ⁿ + 1 donde m y n son enteros no negativos. Si n es positivo, entonces m también es positivo, y el número primo de Pierpont es de la forma 6k + 1. Los primeros números primos de Pierpont son:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, … 

Primos Cubanos: el nombre de “cubano” viene de “cubo” y no de “Cuba”. Un número primo cubano es un número primo que se puede escribir como diferencia de dos cubos consecutivos. Más específicamente, que se puede escribir en la forma n³ – (n-1)³, donde n es un entero mayor que 1. Por ejemplo, 61 es un número primo cubano porque es primo y 61 = 5³ – 4³.

Los primeros números primos cubanos son: 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, …

Primos Parientes: son pares de números primos que difieren en 4, por ejemplo (3, 7), (43, 47) o (109, 113). Las primeras parejas de números parientes son:

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), …

Primos Sexis: estos números no tienen nada que ver con algún atractivo erótico, su nombre se debe a que la palabra en latín para el número “seis” es “sex”. En forma similar a los anteriores, se trata de las parejas de números primos que difieren en 6, tales como (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), (53, 59), …

No se ha demostrado que haya infinitas parejas de primos sexis, sin embargo existe la llamada “Conjetura de Polignac”, formulada por el matemático francés Alphonse de Polignac (1826-1863) que establece que:

“Para cada número natural k, existen infinitos números primos p, tales que (p + 2k) también es primo”.

Esta conjetura aplicaría, tanto para los primos sexis como para los primos parientes y los primos gemelos.

Primos Trillizos: se trata de ternas de primos de la forma:

(p, p + 2, p + 6) o (p, p + 4, p + 6) 

como por ejemplo  (5, 7, 11) o (7, 11, 13).

Obsérvese que en cada terna de números primos trillizos, hay una pareja de números primos gemelos, (p, p + 2) o (p + 4, p + 6), una pareja de números primos parientes, (p +2, p + 6) o (p, p + 4), y una pareja de números primos sexis, (p, p + 6). Así por ejemplo, en la terna de números primos trillizos (37, 41, 43), 41 y 43 son gemelos, 37 y 41 son parientes y 37 y 43 son sexis. 

Las primeras ternas de números primos trillizos son: 

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), … 

También existen los tríos de números primos sexis consecutivos, como (7, 13, 19), (17, 23, 29) o (31, 37, 43), pero estas no son ternas de números primos trillizos.

A manera de anécdota, hay que decir que existe también un conjunto unitario de números primos. Se trata del Primo de Sheldon, el número 73, llamado así porque Sheldon Cooper en un capítulo de la famosísima serie “The Big Bang Theory”, aseguraba que es el mejor número que existe y lo justificaba enumerando bastantes curiosas propiedades.

Como se observa, la variedad de conjuntos de números primos y de parejas de primos con nombre propio es abundante. Finalmente hay que anotar que en la actualidad los números primos se usan especialmente en la construcción de algoritmos que brindan seguridad, pues en los sistemas de cifrado o criptosistemas son ellos el fundamento que permite garantizar la seguridad de los textos cifrados, son los números primos la base de las claves que se emplean en muchos de los métodos de encriptación, así que, aun cuando no lo notemos, los números primos nos protegen también de los ataques que pretenden vulnerar nuestras contraseñas, por ejemplo.

@MantillaIgnacio

Así por ejemplo, la conjetura de Goldbach, planteada en 1742, aún no ha podido ser demostrada ni refutada y lo que esta afirma se expresa en una sencilla frase: “todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”. Hasta una exitosa novela titulada El tío Petros y la conjetura de Goldbach, escrita por el griego Apostolos Doxiadis, publicada en 1992, ha tenido como argumento central este problema. Vale la pena agregar que como una estrategia publicitaria, los editores de esta obra (Bloomsbury en Estados Unidos y Faber y Faber en Reino Unido) anunciaron que se daría un premio de un millón de dólares a cualquiera que consiguiera demostrar la conjetura dentro de los dos años siguientes a su publicación, premio que nunca fue reclamado.

Esta vez quiero compartir con los lectores justamente una de esas bellas historias en torno a los números primos, y quiero empezar por recordar al monje y matemático francés Marin Mersenne (1588-1648) a quien se le conoce hoy principalmente por los llamados «números de Mersenne», obtenidos de la fórmula que arroja números enteros de una unidad menor que una potencia entera positiva de 2, es decir números de la forma:

M_n = 2ⁿ – 1,   n = 1(1)…

o sea 

1, 3, 7, 15, 31, 63, …

Dentro de ese conjunto de números cobran especial interés, como es de esperarse, los que son primos, es decir solo algunos de los antes listados:

3, 7, 31, …

A mediados del siglo XVII, más exactamente en 1644, Mersenne conjeturó que cuando p es un número primo, entonces el correspondiente número de Mersenne M_p  también es primo, lo cual resultó ser falso, como veremos. Pero la conjetura tomó fuerza especialmente animados los matemáticos en el hecho de que ya en 1588 el italiano Pietro Cataldi había demostrado que 

2¹⁹ – 1 = 524287 

es primo, estableciendo un récord para su época.

Los primos de Mersenne y especialmente su conjetura se convirtió en un reto. Había que demostrarla o refutarla. La mayoría de los matemáticos de la época se inclinaba más por su demostración, teniendo en cuenta que el propio Mersenne había afirmado que ya la había comprobado para todos los primos, hasta un primo muy grande, refiriéndose al número primo 67, con lo cual, según sus extensos cálculos aritméticos, el número

M₆₇ = 2⁶⁷ – 1

era un número primo.

Pero a mediados del siglo XIX apareció un brillante matemático francés llamado Édouard Lucas, famoso por haber definido la conocida “Sucesión de Lucas”, denotada por medio de {L_n} y definida en forma recursiva por:

L₁ = 1,   L₂ = 3,  L_n = L_n-1 + L_n-2  si n ≥ 3. 

Los términos de esta sucesión se llaman “números de Lucas”:

1, 3, 4, 7, 11, … 

y al igual que ocurre con la sucesión de Fibonacci, esta sucesión conduce a unas sorprendentes relaciones con el número de oro φ, pero ese es un tema para otro artículo.

Volvamos a Lucas, quien se destacaba por ser además un hábil calculista. Él no confió en los cálculos y afirmaciones que Mersenne había hecho desde hacía más de dos siglos y que ya nadie ponía en duda, y se encargó de demostrar, en 1867, que Mersenne estaba equivocado y que su conjetura era falsa, pues el número M₆₇  no es un número primo como había afirmado Mersenne. Pero Lucas tuvo también un gesto de generosidad para honrar la memoria de Mersenne y se encargó de comprobar que sí hay números primos de Mersenne aún más grandes; fue así como demostró que el número

M₁₂₇ = 2¹²⁷ – 1

es un número primo de Mersenne. Este número, de 39 dígitos, conserva un récord: continúa siendo el mayor primo descubierto mediante cálculos manuales.

Pero la prueba que dio Lucas para afirmar que el número de Mersenne M₆₇  no era primo, como se creía, tampoco había dejado contentos del todo a los matemáticos, pues él lo demostró de manera indirecta, probando que debía tener divisores distintos a 1 y a sí mismo, pero sin encontrarlos y exhibirlos. En este punto vale aclarar que la magia que encierran los números primos también se transmite a los números compuestos, es decir números mayores que 2, que no son primos, porque todos ellos, sin excepción, pueden escribirse como producto de divisores distintos a sí mismos y a 1, y encontrar estos factores resulta un reto adicional para ayudar al encuentro de los factores primos, pues todos esos número naturales compuestos se descomponen en un producto de primos. Así por ejemplo el número compuesto 72 puede escribirse como 72 = 18×4 y finalmente reducirse, en forma única, como producto de solo números primos:

72 = 2×2×2×3×3.

Continuando con la historia del número M₆₇ , no fue hasta el 31 de octubre de 1903 que el matemático Frank Nelson Cole dio por terminada la discusión. En efecto, ese “Día de Brujas” había una reunión de la American Mathematical Society y entre los conferencistas programados estaba Cole. Cuando le tocó su turno, se levantó de su silla y fue caminando hasta el tablero. Sin pronunciar palabra alguna escribió paso a paso, 67 veces, la multiplicación 2 por 2 y luego restó 1, obteniendo el resultado:

M₆₇ = 147 573 952 589 676 412 927. 

Luego, Cole sin borrar pasó al otro lado del tablero y escribió:

193 707 721 × 761 838 257 287, 

y realizó sobre la pizarra los tediosos cálculos. Al completar la multiplicación obtuvo como resultado el mismo número, igual a M_67. Cole volvió a su asiento sin haber pronunciado una palabra durante la presentación de un poco mas de una hora, no hubo preguntas y la audiencia, que sabía que este era un momento histórico, se puso de pie para ofrecerle una larguísima ovación.

Cole admitió más tarde que encontrar esos dos factores le había tomado tres años, incluyendo los días domingo. 

Aun cuando la conjetura de Mersenne fue refutada, hay otros retos, problemas y nuevas conjeturas que se han generado a partir de los números de Mersenne, empezando por su recíproco: si el número de Mersenne M_n  es primo ¿entonces n es primo?

Desde la aparición del computador se han podido calcular nuevos y cada vez más grandes números primos de Mersenne. En 1999 el mayor número primo de Mersenne encontrado era M_6972593, un número que alcanza más de dos millones de dígitos. Hoy en día se usa un software fruto del proyecto Great Internet Mersenne Prime Search  (GIMPS) creado por George Woltman del Instituto Tecnológico de Massachusetts con el cual ha sido posible descubrir el primo 51 de Mersenne en 2018, se trata del número M_82589933 que alcanza una cifra cercana a los 25 millones de dígitos, lo que ocuparía unas 10.000 páginas si intentásemos imprimirlo.

La búsqueda de números primos gigantes no se detiene, parecería un deporte de cazadores de primos compitiendo por conseguir un nuevo récord y es posible que con la computación cuántica y las tecnologías de Inteligencia Artificial se logren descubrimientos de números primos asombrosamente gigantes. 

¿Cuál es su utilidad? Aunque la búsqueda podría ser solo por diversión, sí hay también aplicaciones; menciono solo una, la de su uso en la criptografía RSA (iniciales de los nombres de sus desarrolladores Rivest, Shamir y Adleman), basada en el producto conocido de dos números primos grandes, y que solo puede descifrar quien conoce esos dos factores primos. Este tipo de encriptación, llamada asimétrica o de clave pública, se utiliza para el cifrado en internet y fue la base para lograr el desarrollo de la firma digital.

@MantillaIgnacio

El matemático griego Eratóstenes propuso una forma (no una fórmula) para encontrar los primeros números primos, hasta un número concreto n dado, mediante una ingeniosa criba que se construye en una tabla en la que están todos los números hasta n y se empieza a tachar los múltiplos de 2, luego los múltiplos de 3, los de 5, 7, 11 y así sucesivamente. Los que quedan sin tachar son primos.

Si queremos conocer a todos los primos menores que 100, por ejemplo, esta es la criba de Eratóstenes resultante: 

Pero en este ejemplo el test solo hay que hacerlo hasta los múltiplos de 7 porque en general, para saber si un numero n es primo, basta verificar que ningún primo menor o igual que su raíz cuadrada lo divide. En nuestro ejemplo la raíz cuadrada de 100 es 10 y el mayor primo que es menor o igual que 10 es precisamente 7.

Este criterio se deduce de un teorema, muy fácil de demostrar, que afirma que si un número n no es primo, entonces tiene un divisor primo que es menor o igual que su raíz cuadrada.

Cuando el número es grande, digamos n = 237 532 341 y tenemos la suerte, como en este caso, de comprobar fácilmente que es múltiplo de 3 porque la suma de sus cifras (= 30) lo es, inmediatamente podemos afirmar que este número no es primo. Pero si quisiéramos hacerlo para un número “grande” que sí es primo, digamos n = 237 532 343, basta comprobar entonces que ningún número primo menor que su raíz cuadrada (en este caso menor que 15 412) lo divide, para poder concluir que sí es primo. 

Hoy en día es fácil programar este algoritmo para verificar si un número dado es o no un número primo, pero la limitante está en la computación cuando se trata de números enormes que desbordan la capacidad de las máquinas.

@MantillaIgnacio