Existe una carta dirigida a Henry Oldenburg, de fecha 24 de octubre de 1676, en la que Newton comenta que Leibniz había desarrollado un método nuevo para él, refiriéndose a las series de potencias, lo que revelaría que incluso llegaron a trabajar juntos, pues tanto Leibniz como Newton, gracias a ese intercambio de cartas, pudieron haber conocido los avances del otro.

Aun cuando en 1713 la Real Sociedad determinó que Newton se había anticipado a Leibniz algunos años, esta conclusión no fue aceptada por todos y la disputa tomó muchos años, hasta después de muertos los dos. Hoy en día se acepta que ambos llegaron al cálculo independientemente, por lo que no hubo plagio.

Pero hay que reconocer que Leibniz tuvo que enfrentar a un gigante de la ciencia como lo fue Isaac Newton, tarea que para la época nadie hubiese querido realizar; sin embargo, Leibniz no fue un enano de la ciencia, sino uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, reconocido como «el último genio universal». Realizó profundas e importantes contribuciones en áreas de filosofía, matemáticas, física, geología, jurisprudencia e historia. 

Leibniz presentó en Londres su desarrollo del cálculo, así como una máquina calculadora que había estado diseñando y construyendo desde 1670, la primera máquina de este tipo que podía ejecutar las cuatro operaciones aritméticas básicas. Por estos aportes, la Real Sociedad, muy complacida, le nombró miembro externo.

Menos conocida es la controversia que existió entre Newton y Raphson por la invención del conocido «método de Newton» o «método de Newton-Raphson» para calcular ceros de funciones en forma aproximada. El matemático inglés Joseph Raphson (1668-1715) fue nombrado miembro de la Real Sociedad en 1689, cuando tenía apenas 21 años de edad, a solicitud del célebre astrónomo, físico y matemático Edmond Halley, y su elección se basó principalmente en la solidez de su trabajo. 

Según consta en las actas: “El Sr. Halley relató que el Sr. Raphson había inventado un método para resolver todo tipo de ecuaciones y dar sus raíces en series infinitas que convergen rápidamente, y que le había pedido que le propusiera una ecuación de quinta potencia, a la cual devolvió respuestas con siete cifras en mucho menos tiempo del que se podría haber logrado con los métodos conocidos de Vieta”. 

Este método, dado a conocer por Raphson y descrito en su libro Analysis aequationum universalis, publicado en 1690, es el que se denomina ahora método de Newton o método de Newton-Raphson, pues también Newton lo describió como un método para aproximar las raíces de una ecuación en su trabajo Method of Fluxions. La controversia surge aquí al intentar determinar quién es el autor del método, cuestión que vamos a tratar de aclarar a continuación.

El método Newton, o método de Newton-Raphson, es un poderoso procedimiento iterativo para resolver 

$f(x)=0$

cuando $f$ es una función continuamente diferenciable en una vecindad de la raíz buscada. Se trata de un método iterativo particular de punto fijo, tal como lo conocemos hoy, en el cual la función $f(x)$ se linealiza en $x_n$ para hallar $x_{n+1}$. Presentado con la notación que se usa actualmente (la de Leibniz), dado un valor inicial $x_0$, se define:

$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \quad n = 0,1,2,\dots$

La convergencia del método está garantizada siempre y cuando el valor inicial elegido esté suficientemente próximo a la raíz buscada.

En 1671, Newton describió ese método para aproximar ceros de polinomios y, como ejemplo, halló la raíz de la ecuación

$x^{3} – 2x – 5 = 0$

situada entre 2 y 3, obteniendo aproximadamente:

$x \approx 2.09455.$

Pero, aunque fue escrito en 1671, no se publicó hasta 1736, por lo que se afirma que Raphson dio a conocer el resultado casi cincuenta años antes que Newton. Las actas de la reunión de la Royal Society del miércoles 17 de diciembre de 1690 (calendario juliano) contienen una referencia al Análisis aequationum universalis de Raphson en los siguientes términos:

“El libro del Sr. Raphson fue publicado hoy por E. Halley, en el cual ofrece una notable mejora del método de resolución de todo tipo de ecuaciones, mostrando cómo extraer sus raíces mediante una regla general que duplica las cifras conocidas de la raíz obtenida en cada operación. De esta manera, al repetir el procedimiento tres o cuatro veces, se obtienen resultados con una precisión de ocho o diez cifras decimales. La Sociedad, muy complacida con su trabajo, le expresó su agradecimiento y le deseó que continuara con los estudios en los que ha tenido tanto éxito”.

El sábado 17 de enero de 1691 (calendario juliano) se presentó a la Royal Society un ejemplar del libro de Raphson como “un regalo del autor”.

La relación de Raphson con Newton es significativa, ya que entre ellos no hubo disputa alguna por el método. Raphson fue una de las pocas personas a quienes Newton permitía acceder a sus trabajos matemáticos, incluso llegó a traducir algunos de ellos del latín al inglés.

En 1691, Raphson y Edmond Halley participaron en los planes para publicar la obra de Newton de principios de la década de 1670 sobre la cuadratura de curvas, un proyecto que solo se concretó en 1704. Asimismo, se sabe que en 1711 Roger Cotes y William Jones propiciaron que Raphson pudiera consultar algunos de los trabajos de Newton para su proyecto de redactar la Historia de las Fluxiones, que no se publicó hasta 1715,  después de la muerte de Raphson, bajo el título Historia fluxionum.

En definitiva, la controversia se resuelve aceptando que Newton había descrito el método en 1671, antes de la publicación de Raphson, aunque aplicado exclusivamente a la aproximación de raíces de polinomios. Unos años más tarde, Raphson —quien había tenido acceso a este trabajo— publicó su propio método, más general, válido para el resto de funciones continuamente diferenciables. Por lo tanto, podemos concluir que Raphson partió del procedimiento de Newton para desarrollar su versión del método y que, en consecuencia, no existió un «robo» ni por parte de Newton ni de Raphson. Así, la denominación actual de «método de Newton-Raphson» constituye un justo reconocimiento a la historia de su aparición.

Como bien puede observarse, conocer la historia detrás de los aportes matemáticos que hoy disfrutamos nos permite valorar el esfuerzo y la dedicación de quienes nos transmitieron sus descubrimientos e invenciones.

@MantillaIgnacio

Indudablemente todos, quienes nos dedicamos a las ciencias, cometemos errores con frecuencia y muchas veces son esos errores los que mejor nos señalan el camino para descubrir la respuesta correcta. Pero tratándose de un genio como lo fue Newton, la sola mención de que pudo haberse equivocado resolviendo un problema de matemáticas despierta una curiosidad inusual, una especie de “morbo matemático”, y con algo de incredulidad queremos conocer el problema y auscultar para examinar cuál fue ese error, hasta poder decir: ¡claro! Newton no lo vio. Esa curiosidad, que de seguro ya se ha despertado en cada lector, es la que pretendo satisfacer con esta historia, que exige concentración. 

El 22 de noviembre del año de 1693, Samuel Pepys —quien había sido presidente de la Royal Society de Londres entre 1684 y 1686, período en el que Newton había presentado para su publicación su gran obra Principia— escribió una carta dirigida a Isaac Newton formulándole una pregunta que no se refería propiamente a cuestiones científicas. En la misiva, Pepys le pedía su consejo sobre la conveniencia de una apuesta. 

Newton le contestó con tres cartas, en las que primero respondía a la pregunta de forma breve y luego ofrecía más información cuando Pepys le pedía aclaraciones a su respuesta. Esas cartas fueron guardadas y no se les dio importancia hasta que aparecieron citadas por varios autores a mediados del siglo pasado cuando se planteaba el denominado “problema de Pepys” en algunos libros de texto; pero fue L. Gani, quien en 1982 analizó la solución de Newton, contenida en las citadas cartas, y la calificó como errónea. Finalmente, en 2006, Stephen M. Stigler —profesor del Departamento de Estadística de la Universidad de Chicago— publicó un completo artículo sobre el tema (en el cual me apoyo para escribir esta nota) y a partir de allí aparecieron muchos otros trabajos que han rescatado la importancia de esas cartas de Newton y de ese problema, aparentemente simple, del área de la probabilidad. 

El artículo de Stigler retoma el “problema de Pepys”, tal como surgió en la correspondencia de Pepys con Newton. La pregunta fue:

¿Cuál de las tres proposiciones siguientes tiene la mayor probabilidad de éxito?

A. Se lanzan seis dados corrientes (o «justos») de forma independiente y se saca al menos un “6”.

B. Se lanzan doce dados corrientes de forma independiente y se sacan al menos dos “6”.

C. Se lanzan dieciocho dados corrientes de forma independiente y se sacan al menos tres “6”.

Como se ha podido establecer a partir de la correspondencia con Newton, Pepys pensaba que la C era la mejor opción, pero Newton le dio inicialmente una sencilla razón lógica para concluir que A era el evento más probable; esa respuesta aparece en la primera carta fechada el 26 de noviembre de 1693. Ante las nuevas inquietudes expresadas por Pepys con esa respuesta, Newton le envía una segunda carta fechada el 16 de diciembre de 1693 (parece que el correo postal era más eficiente que ahora) en la que le presenta los cálculos precisos. En detalle, es equivalente a la solución que podría presentarse hoy en día usando la distribución binomial, aunque hay que aclarar que para la época, Newton tuvo que deducirla. 

La solución obtenida por Newton es exactamente la que se logra aplicando la fórmula binomial para obtener la probabilidad de k éxitos en una repetición de n experimentos:

aplicada como sigue:

Sea X = “Número de veces que se obtiene “6” en n lanzamientos de un dado corriente”

entonces la probabilidad de éxito para cada uno de los casos que preguntaba Pepys es:

Newton no comete error alguno en sus cálculos aritméticos manuales, que coinciden con los indicados arriba, aproximados a tres cifras decimales de manera impecable, y esos son los datos que envía en la segunda carta a Pepys para reafirmar lo que ya le había dicho en la primera carta, asegurando que la mejor opción para apostar es la del caso A, en la que la probabilidad de éxito es mayor.

Puesto que Pepys responde con nuevas preguntas sobre su método empleado, Newton le escribe una tercera carta el 23 de diciembre de 1693 (una respuesta inmediata si se observan las fechas) en la que retoma su argumento y lo amplía personificando las opciones con dos nombres para explicarlo mejor; llama “Peter” al jugador con la apuesta A y “James” al jugador con la apuesta B. Newton escribió entonces:

«Tal y como está planteada la apuesta, Peter debe ganar siempre que saque un seis [es decir, que saque al menos un “6” entre los seis dados], pero James puede sacar un seis y no ganar nada, porque nunca puede ganar con un solo “6”. Si Peter saca un “6”, por ejemplo, cuatro veces en ocho lanzamientos, sin duda ganará cuatro veces, pero James, con la misma suerte, puede sacar un “6” ocho veces en dieciséis lanzamientos y, sin embargo, no ganar nada, ya que, tal como está planteada la cuestión en la apuesta, no gana en cada lanzamiento con un “6”, como hace Peter, sino sólo en cada dos lanzamientos en los que saque al menos dos “6”. Y por lo tanto, si él saca sólo un seis en los dos primeros lanzamientos, y uno en los dos siguientes, y sólo uno en los dos siguientes, y así sucesivamente hasta dieciséis lanzamientos, no gana nada en absoluto, aunque saque un “6” el doble de veces que Peter, y en consecuencia tenga la misma suerte que Peter».

Aunque en la primera carta Newton había señalado cuidadosamente que “sacar un seis” debe entenderse como “sacar al menos un seis”, aquí confundió las dos afirmaciones. Su argumento podría funcionar si se entendiera “exactamente un seis”, pero entonces no correspondería al problema tal como él y Pepys habían acordado que debía entenderse. De hecho, Peter no necesariamente gana de nuevo con cada “6” que saque, ya que si saca dos o más “6” en el primer lanzamiento, gana lo mismo que sacando un solo “6”.

Ahora bien, la probabilidad de que Peter saque exactamente un “6” en un lanzamiento es apenas del 40% (menor que la probabilidad de sacar «uno o más»). Cuando Newton dice que Peter puede obtener un “6” en cuatro de ocho lanzamientos y entonces gana cuatro veces, está suponiendo que saca exactamente un “6” cuando gana, como si no fuera posible sacar más de uno en algún lanzamiento y no ganar entonces cuatro veces. Ese es su argumento erróneo.

Muchas de las victorias de Peter, aquellas con dos o más “6” en un solo lanzamiento, ocurren aproximadamente el 26% de las veces y esas también serían victorias de James, si tiene la misma suerte. Y en algunas de las victorias de James, que tienen una pequeña probabilidad de ocurrir —como son las que tienen al menos dos “6” en la mitad de los lanzamientos y ninguno en la otra mitad—, son también victorias de Peter (si cuenta con “igual suerte”), pero en tal caso Peter no tendría más victorias que James y solo habría ganado una vez sacando dos “6” en la mitad de los lanzamientos y ninguno en la otra mitad, es decir que Peter habría ganado solo la mitad de las veces, contrario a lo que indica Newton.

Como se observa, en la última carta Newton, por querer explicar más de la cuenta lo que ya había calculado con exactitud y respondido con claridad, termina cometiendo un error lógico de argumentación. No obstante, hay que reconocer que Newton, desde la primera carta, había contestado a Pepys correctamente, aconsejándole la mejor opción para la apuesta. 

El problema es, sin duda, muy bonito e interesante, y recomendaría que se incluya en un curso básico de probabilidad. Animará además a cualquier estudiante descubrir un error cometido por el gran genio de la física y las matemáticas que fue Isaac Newton y saber que aún los personajes más sobresalientes por su inteligencia y capacidad, pueden equivocarse.  

@MantillaIgnacio